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Berechnung Orthonormalbasis: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:37 Mo 07.05.2012
Autor: yangwar1

Aufgabe
Es sei V:={f(X) [mm] \in \IR[x] [/mm] | deg(f(X)) [mm] \le [/mm] 2} der [mm] \IR- [/mm] Vektorraum aller Polynome vom Grad kleiner gleich 2 mit Koeffizienten aus [mm] \IR. [/mm] Weiter Sei durch [mm] \Phi(f(X),g(X)):=\integral_{0}^{1}{f(x)g(x) dx} [/mm] eine Bilinearform gegeben. Berechnen Sie eine Orthonormalbasis von V bezüglich [mm] \Phi [/mm]







Zunächst habe ich mir die Basis [mm] (v_1,v_2,v_3)=1,x,x^2 [/mm] gewählt. Mit dieser starte ich.
Ich habe nach dem Schmidt-Verfahren bereits zwei Basisvektoren berechnet, und zwar wie folgt:

[mm] v_1'=v_1 [/mm]
[mm] w_1=1/\wurzel{\Phi(1,1)}*v_1'=1/1*1=1. [/mm]

Überprüfen: [mm] \Phi(w_1,_1)=\Phi(1,1)=1. [/mm] Also stimmt.

[mm] v_2'=-\Phi(v_2,w_1)w_1+v_2 [/mm]
=-1/2+x

[mm] w_2=\bruch{1}{\wurzel{\Phi(-1/2+x,-1/2+x)}}*(-1/2+x)=-(\bruch{1}{4* \wurzel{3}} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2* \Wurzel{3}}*x [/mm]

Überprüfe ich das, kommt aber für
[mm] \integral_{0}^{1}{(-(\bruch{1}{4* \wurzel{3}} + \bruch{1}{(2* \Wurzel{3}}*x)^2 dx}=1/144 [/mm] heraus. Was ja nicht 1 ist, wie gewünscht. Wo liegt denn der fehler?

        
Bezug
Berechnung Orthonormalbasis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:59 Di 08.05.2012
Autor: angela.h.b.

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)


> Es sei V:={f(X) [mm]\in \IR[x][/mm] | deg(f(X)) [mm]\le[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

2} der [mm]\IR-[/mm]

> Vektorraum aller Polynome vom Grad kleiner gleich 2 mit
> Koeffizienten aus [mm]\IR.[/mm] Weiter Sei durch
> [mm]\Phi(f(X),g(X)):=\integral_{0}^{1}{f(x)g(x) dx}[/mm] eine
> Bilinearform gegeben. Berechnen Sie eine Orthonormalbasis
> von V bezüglich [mm]\Phi[/mm]
>  
>
>
>
>
>
> Zunächst habe ich mir die Basis [mm](v_1,v_2,v_3)=1,x,x^2[/mm]
> gewählt. Mit dieser starte ich.
> Ich habe nach dem Schmidt-Verfahren bereits zwei
> Basisvektoren berechnet, und zwar wie folgt:

Hallo,

Du startest also mit [mm] v_1:=1, v_2:=x, v_3:=x^2. [/mm]

>  
> [mm]v_1'=v_1[/mm]
>  [mm]w_1=1/\wurzel{\Phi(1,1)}*v_1'=1/1*1=1.[/mm]
>  
> Überprüfen: [mm]\Phi(w_1,_1)=\Phi(1,1)=1.[/mm] Also stimmt.
>  
> [mm]v_2'=-\Phi(v_2,w_1)w_1+v_2[/mm]
>  =-1/2+x

Ja.


>  
> [mm]w_2=\bruch{1}{\wurzel{\Phi(-1/2+x,-1/2+x)}}*(-1/2+x)=-(\bruch{1}{4* \wurzel{3}}[/mm]  + [mm]\bruch{1}{2* \Wurzel{3}}*x[/mm]

Ich glaube, Du hast [mm] \wurzel{\Phi(-1/2+x,-1/2+x)} [/mm] falsch berechnet.
Es ist meiner Rechnung nach [mm] \wurzel{\Phi(-1/2+x,-1/2+x)}=\bruch{1}{2\wurzel{3}}, [/mm] und folglich ist
[mm] \bruch{1}{\wurzel{\Phi(-1/2+x,-1/2+x)}}=2\wurzel{3}. [/mm]

Überprüfe das mal!

LG Angela


>  
> Überprüfe ich das, kommt aber für
> [mm]\integral_{0}^{1}{(-(\bruch{1}{4* \wurzel{3}} + \bruch{1}{(2* \Wurzel{3}}*x)^2 dx}=1/144[/mm]
> heraus. Was ja nicht 1 ist, wie gewünscht. Wo liegt denn
> der fehler?


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