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| Aufgabe | Gegeben ist ein Tetraeder ABCD mit A(3|1|2), B(5|3|4), C(-2|1|-1) und D(1|-3|1)
a)Berstimme den Abstand eines jeden Punktes von der Ebene, die durch die übrigen Punkte betimmt wird.
b)Bestimme den Flächeninhalt für jedes der Dreiecke des Tetraeders.
c)Berechne das Volumen des Tetraeders aus Teilaufgabe a) und b) |
Die Aufgabe wurde insoweit eingeschrenkt, dass ich nur ABC und ABD berechnen soll. Ich habe etwas angefangen zu rechnen komme aber leider nicht weiter :(
E1: [mm] \vektor{3 \\ 1 \\ 2} [/mm] + [mm] \lambda [/mm] {2 [mm] \\ [/mm] 2 [mm] \\ [/mm] 2} + [mm] \mu [/mm] {-5 [mm] \\ [/mm] 0 [mm] \\ [/mm] -3}
E2: [mm] \vektor{3 \\ 1 \\ 2} [/mm] + [mm] \lambda [/mm] {2 [mm] \\ [/mm] 2 [mm] \\ [/mm] 2} + [mm] \mu [/mm] {-2 [mm] \\ [/mm] -4 [mm] \\ [/mm] -1}
So die beiden Ebenen habe ich bestimmt, aber wie mache ich denn jetzt weiter :( ich bin am verzweifeln, bitte helft mir!!! Danke schon mal im Vorraus!
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Hallo,
habt ihr schon die Hesse-Formel behandelt? Dafür müsstest du nur einen Normalenvektor der Ebene bestimmen, diesen normieren (so dass er die Länge 1 hat) und dann den Ortsvektor zu dem Punkt, dessen Abstand zur Ebene bestimmt werden soll, in die Formel einsetzen.
Reicht das als Tipp?
Viele Grüße,
zerbinetta
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Tut mir leid :( danke für deinen Tipp, aber das sagt mir irgendwie gar nichts, Hessesche Form hatten wir schonmal aber :s ?!wäre nett wenn mir das jemand etwas deutlicher erklären könnte. Danke!!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:18 Di 12.12.2006 | | Autor: | M.Rex |
Hallo,
Also, du hast diene Ebene in Parameterform gegeben. Also in der Form:
[mm] E:\vec{x}=\vec{a}+\lambda\vec{u}+\mu\vec{v}
[/mm]
Mit Hilfe des Kreuzproduktes [Dateianhang nicht öffentlich]
aus den beiden Richtungsvektoren [mm] \vec{u} [/mm] und [mm] \vec{v} [/mm] berechnest du jetzt einen Normalenvektor nennen wir ihn [mm] \vec{n}.
[/mm]
Dann kannst du die Gerade [mm] g:\vec{x}=\vec{d}+\nu\vec{n} [/mm] berechnen, wobei [mm] \vec{d} [/mm] der Punkt ist, der nicht auf der Ebene liegt.
Dann berechnest du den Schnittpunkt S der Gerade und der Ebene.
Die Länge des Vektors [mm] \overrightarrow{DC} [/mm] ist der gesuchte Abstand.
Jetzt klarer?
Marius
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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Danke das Ihr euch soviel Mühe gebt, aber ich verstehe nur Bahnhof :( kann mir nicht jemand der gerade Zeit hat bitte mal das mit ABC ausrechnen so das ich das gesamte Verfahren dann mal versuchen kann auf ABD anzuwenden?! Wäre wirklich sehr sehr nett! Danke!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:58 Di 19.12.2006 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Du hast die Ebene E gegeben durch:
[mm] \vektor{3\\1\\2}+\lambda\vektor{2\\2\\2}+\mu\vektor{-5\\0\\-3}
[/mm]
Aus dem Kreuzprodukt berechnest du jetzt deinen Normalenvektor
[mm] \vec{n}=\vektor{-6\\4\\10}
[/mm]
Und jetzt bildest du eine Hilfsgerade g:
g: [mm] \vec{x}=\vec{d}+\nu\vec{n}
[/mm]
[mm] \vec{x}=\vektor{1\\-3\\1}+\nu\vektor{-6\\-4\\10}
[/mm]
Diese schneitet E ja in einem von dir zu berechnendem Punkt F, weil [mm] \vec{n} [/mm] senkrecht auf E steht.
Dazu musst du g und E gleichsetzen und das GLS lösen.
Die Länge des Vektors [mm] \overrightarrow{DF} [/mm] ist der Abstand von der Ebene.
Marius
[EDIT: Ich habe es inzwischen korrigiert, danke für die Fehlerkorrektur]
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Wie komme ich denn auf den Normalvektor?! Ich weiss du hast es mir beschrieben, aber das verstehe ich nicht und dieses eine unbekannte Zeichen das einem C ähnelt, kann ich da auch einfach nen s oder so benutzen?! und wenn ich das gleichsetze, also g und E1 was erhalte ich dann?! da habe ich doch 3 unbekannte?!
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Hallo,
also der Normalenvektor ist ja orthogonal zu den beiden Richtungs- bzw. Spannvektoren der Ebene in Parameterform. Am einfachsten kommst du an den Richtungsvektor, indem du das Kreuzprodukt der Spannvektoren bildest, wie es bereits beschrieben wurde. Das ist meiner Meinung nach von der Rechnung her am schnellsten, du kannst auch einen anderen Ansatz nehmen. Wenn [mm] \vec{u} [/mm] und [mm] \vec{v} [/mm] die Spannvektoren der Ebene sind und [mm] \vec{n} [/mm] der Normalenvektor, dann gilt:
1. [mm] \vec{n}\*\vec{u}=0
[/mm]
2. [mm] \vec{n}\*\vec{v}=0
[/mm]
Dieses Gleichungssystem musst du jetzt lösen. Es hat unendlich viele Lösungen, denn mit [mm] \vec{n}(\vec{n}\not=\vec{o}) [/mm] ist auch jeder Vektor [mm] r*\vec{n} (r\not=0) [/mm] Normalenvektor der Ebene.
Und dann noch zu deiner anderen Frage. Wenn du die Geradengleichung mit der Ebenengleichung gleichsetzt hast du ein Gleichungssystem mit 3 Gleichungen und 3 Variablen; es ist also eindeutig lösbar. Den Wert den du für die Variablen rausbekommst dann noch in die entsprechenden Gleichung einsetzen und du bist fast fertig (ich denke das wurde ja alles ausreichend gut beschrieben).
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Ich habe das mit dem Normalverktor leider immer noch nicht verstanden :( aber ich habe mal g und E1 gleich gesetzt und habe für s= [mm] \bruch{1}{5} [/mm] für [mm] \lambda \bruch{-1}{3}{5} [/mm] und für [mm] \mu \bruch{-2}{7}{15} [/mm] raus stimmt das so und wenn ja, wie mache ich jetzt weiter?! Ich weiss mir ist es momentan bischen schwer etwas beizubringen aber danke trotzdem an alle!
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Also die Lösungen stimmen schonmal nicht, weil der Normalenvektor (bzw. Richtungsvektor der Geraden) nicht korrekt war. Rechne das LGS nun nochmal aus. Du erhälst wieder Werte für s, [mm] \lambda [/mm] und [mm] \mu. [/mm] Wenn du die hast kannst du entweder den Wert von s in die Geradengleichung einsetzen oder [mm] \lambda [/mm] und [mm] \mu [/mm] in die Ebenengleichung. Es müsste der gleiche Vektor rauskommen. Dann hast du den Ortsvektor. Jetzt musst du noch über die Dreiecksgleichung deinen gesuchten Vektor ausrechnen und seine Länge bestimmen.
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| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 21:38 Di 19.12.2006 | | Autor: | madeinindia |
Ich habe gerade nochmal das Vektorprodukt berechnet und bin auf den Normalenvektor [mm] \vec{n}=\vektor{6 \\ 4 \\ -10} [/mm] gekommen. Dies ist dann auch der entsprechenden Richtungsvektor der Hilfsgeraden. Damit solltest du das LGS nochmal lösen!
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