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| Aufgabe | | Berechne [mm] 2503^{2011} [/mm] (mod 16). |
Hi nochmal,
hier habe ich auch zwei Lösungen vorliegen. Jedoch verstehe ich eine davon nicht so besonders.
[mm] 2503*2503^{2010} [/mm] (mod 16)
[mm] \equiv [/mm] 2503*(2503 (mod [mm] 16))^{2010} [/mm] (mod 16)
[mm] \equiv [/mm] 2503 (7 (mod [mm] 16)^{2010} [/mm] (mod 16)
[mm] \equiv [/mm] 2503 (1 (mod [mm] 16))^{1005} [/mm] (mod 16)
[mm] \equiv [/mm] 7 (mod 16).
Meine Fragen:
> [mm] 2503*2503^{2010} [/mm] (mod 16)
Das ist noch klar.
> [mm] \equiv [/mm] 2503*(2503 (mod [mm] 16))^{2010} [/mm] (mod 16)
Hier fängt's an. Wieso habe ich auf einmal zwei mal (mod 16)?
> [mm] \equiv [/mm] 2503 (7 (mod [mm] 16)^{2010} [/mm] (mod 16)
Das ist ok. nur wie kommen von dieser Zeile dann auf
> [mm] \equiv [/mm] 2503 (1 (mod [mm] 16))^{1005} [/mm] (mod 16)
???? Also 1005 ist ja die Hälfte von 2010, aber wo kommt die 1 (mod 16) her?
Und wieso folgt dann daraus
> [mm] \equiv [/mm] 7 (mod 16).???
Danke schon einmal für eure Hilfe.
Grüße
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Hallo steve.joke,
> Berechne [mm]2503^{2011}[/mm] (mod 16).
> Hi nochmal,
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> hier habe ich auch zwei Lösungen vorliegen. Jedoch
> verstehe ich eine davon nicht so besonders.
>
>
> [mm]2503*2503^{2010}[/mm] (mod 16)
>
> [mm]\equiv[/mm] 2503*(2503 (mod [mm]16))^{2010}[/mm] (mod 16)
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> [mm]\equiv[/mm] 2503 (7 (mod [mm]16)^{2010}[/mm] (mod 16)
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> [mm]\equiv[/mm] 2503 (1 (mod [mm]16))^{1005}[/mm] (mod 16)
>
> [mm]\equiv[/mm] 7 (mod 16).
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> Meine Fragen:
>
> > [mm]2503*2503^{2010}[/mm] (mod 16)
>
> Das ist noch klar.
>
> > [mm]\equiv[/mm] 2503*(2503 (mod [mm]16))^{2010}[/mm] (mod 16)
>
> Hier fängt's an. Wieso habe ich auf einmal zwei mal (mod
> 16)?
Die Schreibweise 2503 (mod [mm]16)[/mm] für 2503
ist etwas unglücklich.
>
> > [mm]\equiv[/mm] 2503 (7 (mod [mm]16)^{2010}[/mm] (mod 16)
Besser:
[mm]\equiv 2503*(2503)^{2010} \equiv 2503 *(7)^{2010} \ (mod \ 16)[/mm]
>
> Das ist ok. nur wie kommen von dieser Zeile dann auf
>
> > [mm]\equiv[/mm] 2503 (1 (mod [mm]16))^{1005}[/mm] (mod 16)
>
> ???? Also 1005 ist ja die Hälfte von 2010, aber wo kommt
> die 1 (mod 16) her?
>
Es ist [mm]7^{2010}=7^{2*1005}=\left(7^{2}\right)^{1005}[/mm]
Damit:
[mm]\equiv 2503 *(7)^{2010} \equiv 2503*\left(7^{2}\right)^{1005} \equiv 2503*\left(49\right)^{1005} \equiv 2503*\left(1\right)^{1005} (mod \ 16)[/mm]
> Und wieso folgt dann daraus
>
> > [mm]\equiv[/mm] 7 (mod 16).???
>
Weil [mm]1^{1005}=1[/mm]
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> Danke schon einmal für eure Hilfe.
>
> Grüße
>
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:52 Di 21.06.2011 | | Autor: | steve.joke |
Vielen Dank für die Erklärung.
Grüße
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