Beppo Levi < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:05 Di 27.10.2015 | | Autor: | James90 |
Hi!
In meinem Skript steht:
Ist [mm] (f_n) [/mm] eine Folge nichtnegativer, messbarer Funktionen [mm] f_n:\Omega\to[0,\infty] [/mm] mit [mm] $f_n\uparrow [/mm] f$ [mm] \mu [/mm] -fast überall für [mm] n\to\infty, [/mm] so gilt [mm] $\lim_{n\to\infty}\int f_n d\mu=\int [/mm] f [mm] d\mu$.
[/mm]
Dadrunter steht das Korollar:
Ist [mm] (f_n) [/mm] eine Folge integrierbarer Funktionen [mm] f_n:\Omega\to[0,\infty] [/mm] mit [mm] $f_n\uparrow [/mm] f$ [mm] \mu [/mm] -fast überall für [mm] n\to\infty [/mm] und [mm] $\sup_{n\in\IN}\int f_n d\mu<\infty$, [/mm] so ist f integrierbar und es gilt [mm] $\lim_{n\to\infty}\int f_n d\mu=\int [/mm] f [mm] d\mu$.
[/mm]
Wie genau komme ich von integrierbaren Funktionen auf nichtnegative, messbare Funktionen? Ich denke, dass es aus der Definition von integrierbaren Funktionen folgt, da diese nach Voraussetzung immer messbar waren.
Was bedeutet [mm] $f_n\uparrow [/mm] f$ [mm] \mu [/mm] -fast überall? [mm] (f_n) [/mm] ist monoton steigende Folge, die gegen f konvergiert, also [mm] f_n(x)\le f_{n+1}(x) [/mm] für alle x aus der Sigma-Algebra und [mm] \lim_{n\to\infty}f_n(x)=f [/mm] für alle [mm] n\in\IN. [/mm] Wofür ist das [mm] \mu [/mm] -fast überall?
Danke!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:31 Di 27.10.2015 | | Autor: | fred97 |
> Hi!
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> In meinem Skript steht:
>
> Ist [mm](f_n)[/mm] eine Folge nichtnegativer, messbarer Funktionen
> [mm]f_n:\Omega\to[0,\infty][/mm] mit [mm]f_n\uparrow f[/mm] [mm]\mu[/mm] -fast
> überall für [mm]n\to\infty,[/mm] so gilt [mm]\lim_{n\to\infty}\int f_n d\mu=\int f d\mu[/mm].
>
> Dadrunter steht das Korollar:
>
> Ist [mm](f_n)[/mm] eine Folge integrierbarer Funktionen
> [mm]f_n:\Omega\to[0,\infty][/mm] mit [mm]f_n\uparrow f[/mm] [mm]\mu[/mm] -fast
> überall für [mm]n\to\infty[/mm] und [mm]\sup_{n\in\IN}\int f_n d\mu<\infty[/mm],
> so ist f integrierbar und es gilt [mm]\lim_{n\to\infty}\int f_n d\mu=\int f d\mu[/mm].
>
> Wie genau komme ich von integrierbaren Funktionen auf
> nichtnegative, messbare Funktionen? Ich denke, dass es aus
> der Definition von integrierbaren Funktionen folgt, da
> diese nach Voraussetzung immer messbar waren.
Ja, so ist es.
>
> Was bedeutet [mm]f_n\uparrow f[/mm] [mm]\mu[/mm] -fast überall? [mm](f_n)[/mm] ist
> monoton steigende Folge, die gegen f konvergiert, also
> [mm]f_n(x)\le f_{n+1}(x)[/mm] für alle x aus der Sigma-Algebra
Nein, sondern für alle x [mm] \in \Omega.
[/mm]
> und
> [mm]\lim_{n\to\infty}f_n(x)=f[/mm] für alle [mm]n\in\IN.[/mm]
" für alle [mm]n\in\IN[/mm]" ist doch Unsinn.
Du hast doch oben den Grenzübergan $n [mm] \to \infty$
[/mm]
> Wofür ist das
> [mm]\mu[/mm] -fast überall?
Die Folge [mm] (f_n) [/mm] konvergiert [mm]\mu[/mm] -fast überall gegen f bedeutet:
es ex. eine [mm] \mu [/mm] - Nullmenge N mit
[mm] f_n(x) \to [/mm] f(x) (n [mm] \to \infty) [/mm] für alle $x [mm] \in \Omega \setminus [/mm] N$
FRED
>
>
> Danke!
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| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 02:58 Mi 28.10.2015 | | Autor: | James90 |
Hi!!
> > In meinem Skript steht:
> >
> > Ist [mm](f_n)[/mm] eine Folge nichtnegativer, messbarer Funktionen
> > [mm]f_n:\Omega\to[0,\infty][/mm] mit [mm]f_n\uparrow f[/mm] [mm]\mu[/mm] -fast
> > überall für [mm]n\to\infty,[/mm] so gilt [mm]\lim_{n\to\infty}\int f_n d\mu=\int f d\mu[/mm]. (***)
> > Dadrunter steht das Korollar:
> >
> > Ist [mm](f_n)[/mm] eine Folge integrierbarer Funktionen
> > [mm]f_n:\Omega\to[0,\infty][/mm] mit [mm]f_n\uparrow f[/mm] [mm]\mu[/mm] -fast
> > überall für [mm]n\to\infty[/mm] und [mm]\sup_{n\in\IN}\int f_n d\mu<\infty[/mm],
> > so ist f integrierbar und es gilt [mm]\lim_{n\to\infty}\int f_n d\mu=\int f d\mu[/mm].
>
> >
> > Wie genau komme ich von integrierbaren Funktionen auf
> > nichtnegative, messbare Funktionen? Ich denke, dass es aus
> > der Definition von integrierbaren Funktionen folgt, da
> > diese nach Voraussetzung immer messbar waren.
>
> Ja, so ist es.
Sei [mm] (f_n) [/mm] eine Folge integrierbarer Funktionen [mm] f_n:\Omega\to[0,\infty]. [/mm] Nach Definition der Integrierbarkeit gilt: [mm] f_n [/mm] ist messbar für alle [mm] n\in\IN. [/mm] Also reicht es zu zeigen: f ist messbar. Muss ich das überhaupt zeigen? Eigentlich folgt es doch, auch wenn es nicht oben (***) beim Satz steht, aus dem Satz, denn sonst wäre [mm] \lim_{n\to\infty}\int f_n d\mu=\int [/mm] f [mm] d\mu [/mm] nicht definiert auf der rechten Seite. Allerdings verstehe ich dann nicht, weshalb die Voraussetzung [mm] \sup_{n\in\IN}\int f_n d\mu<\infty [/mm] benötigt wird.
Also zu zeigen: f messbar. Beweis: [mm] f:\Omega\to[0,\infty], [/mm] also [mm] f:(\Omega,F)\to(\IR,B(R)). [/mm] Sei [mm] I=[0,a]\subseteq[0,\infty]. [/mm] Zu zeigen ist [mm] $f^{-1}(I)\subseteq [/mm] F$. Es gilt: [mm] f^{-1}(I)=\{\omega\in\Omega|f(\omega)\in I\}. [/mm] Nach Voraussetzung ist [mm] f(\omega)\ge f_n(\omega) [/mm] für alle [mm] n\in\IN [/mm] und I ist abgeschlossen, also gilt: [mm] f^{-1}(I)=\{\omega\in\Omega|f(\omega)\in I\}=\bigcap_{n\in\IN}\{\omega\in\Omega|f_n(\omega)\in I\}. [/mm] Ich weiß nun, dass aus der Definition einer Sigma-Algebra folgt, dass der beliebige Schnitt von Elementen einer Sigma-Algebra wieder in der Sigma-Algebra liegen, aber wie argumentiere ich hier? Wir bilden den Schnitt von Elementen von [mm] \Omega. [/mm] Nach Definition einer Sigma-Algebra ist [mm] $\Omega\in [/mm] F$, also sei [mm] \omega\in\Omega, [/mm] dann muss aber nicht [mm] $\omega\in [/mm] F$ sein....
> > Was bedeutet [mm]f_n\uparrow f[/mm] [mm]\mu[/mm] -fast überall? [mm](f_n)[/mm] ist
> > monoton steigende Folge, die gegen f konvergiert, also
> > [mm]f_n(x)\le f_{n+1}(x)[/mm] für alle x aus der Sigma-Algebra
>
> Nein, sondern für alle x [mm]\in \Omega.[/mm]
Danke!
> > und
> > [mm]\lim_{n\to\infty}f_n(x)=f[/mm] für alle [mm]n\in\IN.[/mm]
>
> " für alle [mm]n\in\IN[/mm]" ist doch Unsinn.
>
> Du hast doch oben den Grenzübergan [mm]n \to \infty[/mm]
Sorrrrrry
> > Wofür ist das
> > [mm]\mu[/mm] -fast überall?
>
> Die Folge [mm](f_n)[/mm] konvergiert [mm]\mu[/mm] -fast überall gegen f
> bedeutet:
>
> es ex. eine [mm]\mu[/mm] - Nullmenge N mit
>
> [mm]f_n(x) \to[/mm] f(x) (n [mm]\to \infty)[/mm] für alle [mm]x \in \Omega \setminus N[/mm]
Ist das denn wichtig? [mm] $\int f_n d\mu=\int_{\Omega\setminus N}f_n d\mu$ [/mm] und [mm] $\int [/mm] f [mm] d\mu=\int_{\Omega\setminus N}f d\mu$
[/mm]
Danke nochmal!!!!!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 03:20 Do 05.11.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:15 Do 05.11.2015 | | Autor: | James90 |
Hi!
Ich habe leider vergessen auf die Fälligkeit meiner Frage zu achten, also stelle ich meine überarbeitete Frage erneut.
> > In meinem Skript steht:
> >
> > Ist [mm](f_n)[/mm] eine Folge nichtnegativer, messbarer Funktionen
> > [mm]f_n:\Omega\to[0,\infty][/mm] mit [mm]f_n\uparrow f[/mm] [mm]\mu[/mm] -fast
> > überall für [mm]n\to\infty,[/mm] so gilt [mm]\lim_{n\to\infty}\int f_n d\mu=\int f d\mu[/mm]. (***)
> > Dadrunter steht das Korollar:
> >
> > Ist [mm](f_n)[/mm] eine Folge integrierbarer Funktionen
> > [mm]f_n:\Omega\to[0,\infty][/mm] mit [mm]f_n\uparrow f[/mm] [mm]\mu[/mm] -fast
> > überall für [mm]n\to\infty[/mm] und [mm]\sup_{n\in\IN}\int f_n d\mu<\infty[/mm],
> > so ist f integrierbar und es gilt [mm]\lim_{n\to\infty}\int f_n d\mu=\int f d\mu[/mm].
>
> >
> > Wie genau komme ich von integrierbaren Funktionen auf
> > nichtnegative, messbare Funktionen? Ich denke, dass es aus
> > der Definition von integrierbaren Funktionen folgt, da
> > diese nach Voraussetzung immer messbar waren.
>
> Ja, so ist es.
Sei [mm] (f_n) [/mm] eine Folge integrierbarer Funktionen [mm] f_n:\Omega\to[0,\infty]. [/mm]
Nach Definition der Integrierbarkeit gilt: [mm] f_n [/mm] ist messbar für alle [mm] n\in\IN. [/mm]
Reicht es nun zu zeigen, dass f messbar ist oder muss ich das überhaupt zeigen? Eigentlich folgt es doch, auch wenn es nicht oben (***) beim Satz steht, aus dem Satz, denn sonst wäre [mm] \lim_{n\to\infty}\int f_n d\mu=\int [/mm] f [mm] d\mu [/mm] nicht definiert auf der rechten Seite. Allerdings verstehe ich dann nicht, weshalb die Voraussetzung [mm] \sup_{n\in\IN}\int f_n d\mu<\infty [/mm] benötigt wird.
Also zu zeigen: f messbar. Beweis: [mm] f:\Omega\to[0,\infty], [/mm] also [mm] f:(\Omega,F)\to([0,\infty],B([0,\infty])). [/mm] Sei [mm] I=[0,a]\subseteq[0,\infty]. [/mm] Zu zeigen ist [mm] $f^{-1}(I)\subseteq [/mm] F$. Es gilt: [mm] f^{-1}(I)=\{\omega\in\Omega|f(\omega)\in I\}.
[/mm]
Nach Voraussetzung $ [mm] f_n\uparrow [/mm] f $ $ [mm] \mu [/mm] $ -fast überall, also $ [mm] (f_n) [/mm] $ ist eine monoton steigende Folge, die gegen f konvergiert, also
$ [mm] f_n(\omega)\le f_{n+1}(\omega) [/mm] $ für alle [mm] n\in\IN [/mm] und alle [mm] \omega\in\Omega [/mm] und [mm] \lim_{n\to\infty}f_n(\omega)=f. [/mm] Also gilt insgesamt [mm] $f(\omega)\ge f_n(\omega)\ge [/mm] 0$ für alle [mm] n\in\IN [/mm] und alle [mm] \omega\in\Omega
[/mm]
Aus [mm] f(\omega)\in [/mm] I=[a,0] für alle [mm] \omega\in\Omega [/mm] folgt wegen [mm] $f(\omega)\ge f_n(\omega)\ge [/mm] 0$ für alle [mm] \omega\in\Omega, [/mm] dass [mm] $f_n(\omega)\in [/mm] I$ für alle [mm] \omega\in\Omega, [/mm] also gilt [mm] f^{-1}(I)=\{\omega\in\Omega|f(\omega)\in I\}=\bigcap_{n\in\IN}\{\omega\in\Omega|f_n(\omega)\in I\}.
[/mm]
Nach Voraussetzung sind gilt für alle [mm] n\in\IN: f_n [/mm] ist messbar. Also für jedes [mm] n\in\IN [/mm] ist wegen [mm] I=[a,0]\subseteq[0,\infty] [/mm] mit [mm] \{\omega\in\Omega|f_n(\omega)\in I\} [/mm] das Urbild von einer messbaren Funktion [mm] f_n [/mm] auf einer borel messbaren Teilmenge gemeint. Also ist [mm] $\{\omega\in\Omega|f_n(\omega)\in I\}\in [/mm] F$ für alle [mm] n\in\IN [/mm] und da der beliebige Schnitt von messbaren Mengen wieder eine messbare Menge ergibt ist die Aussage gezeigt.
Ist das richtig???
> > Wofür ist das
> > [mm]\mu[/mm] -fast überall?
>
> Die Folge [mm](f_n)[/mm] konvergiert [mm]\mu[/mm] -fast überall gegen f
> bedeutet:
>
> es ex. eine [mm]\mu[/mm] - Nullmenge N mit
>
> [mm]f_n(x) \to[/mm] f(x) (n [mm]\to \infty)[/mm] für alle [mm]x \in \Omega \setminus N[/mm]
Ist das denn wichtig? Es ist doch [mm] $\int f_n d\mu=\int_{\Omega\setminus N}f_n d\mu$ [/mm] und [mm] $\int [/mm] f [mm] d\mu=\int_{\Omega\setminus N}f d\mu$ [/mm]
Danke!!!!!
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Hiho,
> Nach Definition der Integrierbarkeit gilt: [mm]f_n[/mm] ist messbar
> für alle [mm]n\in\IN.[/mm]
>
> Reicht es nun zu zeigen, dass f messbar ist oder muss ich das überhaupt zeigen?
Ihr habt bestimmt gezeigt: Für eine Folge meßbarer Funktionen ist auch $f = [mm] \lim_{n\to\infty} f_n$ [/mm] wieder meßbar.
Der punktweise Grenzwert meßbarer Funktionen ist also immer meßbar und damit ist hier nix zu zeigen.
Dein Beweis läuft aber letztlich darauf hinaus, genau das zu zeigen.
Aber das darfst du sicherlich auch voraussetzen.
Dann: Ich vermute, dass du dein Korollar falsch abgeschrieben hast, denn so wie du es formuliert hast, als:
> Ist $ [mm] (f_n) [/mm] $ eine Folge integrierbarer Funktionen $ [mm] f_n:\Omega\to[0,\infty] [/mm] $ mit $ [mm] f_n\uparrow [/mm] f $ $ [mm] \mu [/mm] $ -fast überall
sind die [mm] f_n [/mm] ja gerade wieder nichtnegativ und meßbar, damit wäre dein Satz eins zu eins ohne Zusatzbedingung anwendbar.
Es sollte wohl eher heißen:
> Ist $ [mm] (f_n) [/mm] $ eine Folge integrierbarer Funktionen $ [mm] f_n:\Omega\to\IR$ [/mm] mit $ [mm] f_n\uparrow [/mm] f $ $ [mm] \mu [/mm] $ -fast überall
beachte: In deinem Satz sind die [mm] f_n [/mm] als nichtnegativ vorausgesetzt, im Korollar aber nicht mehr!
Dein Korollar ist auch gar nicht schwer zu zeigen, was übrigens der Name "Korollar" schon impliziert. Zitat dazu aus Wikipedia:
"Korollar (lateinisch corollarium „Zugabe“, „Geschenk“, eigentlich „Kränzchen“; von lat. corona „Kranz“, corolla „Kränzchen“)[1] bezeichnet in der Mathematik und Logik eine Aussage, die sich aus einem schon bewiesenen Satz, dem Beweis eines schon bewiesenen Satzes oder aus einer Definition ohne großen Beweisaufwand ergibt. "
Für den Beweis: Für beliebige Funktionen g gilt: $g=g^+ - g^-$ mit $g^+ = [mm] \max\{0,g\}, [/mm] g^- = [mm] \max\{0,-g\}$.
[/mm]
Und damit gilt:
$0 [mm] \le f-f_n [/mm] = f - [mm] (f_n^+ [/mm] - [mm] f_n^-) [/mm] = (f + [mm] f_n^-) [/mm] - [mm] f_n^+$
[/mm]
Sowohl [mm] $f_n^+$ [/mm] als auch $(f + [mm] f_n^-)$ [/mm] sind jetzt nichtnegative, wachsende Funktionenfolgen und erfüllen damit die Voraussetzungen deines Satzes (zeige das!) und daraus folgt das zu zeigende. (zeigen!)
Gruß,
Gono
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 03:23 Mo 09.11.2015 | | Autor: | James90 |
Hi Gono und danke für deine Antwort!
> Hiho,
>
> > Nach Definition der Integrierbarkeit gilt: [mm]f_n[/mm] ist messbar
> > für alle [mm]n\in\IN.[/mm]
> >
> > Reicht es nun zu zeigen, dass f messbar ist oder muss ich
> das überhaupt zeigen?
>
> Ihr habt bestimmt gezeigt: Für eine Folge meßbarer
> Funktionen ist auch [mm]f = \lim_{n\to\infty} f_n[/mm] wieder
> meßbar.
> Der punktweise Grenzwert meßbarer Funktionen ist also
> immer meßbar und damit ist hier nix zu zeigen.
> Dein Beweis läuft aber letztlich darauf hinaus, genau das
> zu zeigen.
> Aber das darfst du sicherlich auch voraussetzen.
Stimmt, da hatte ich wohl ein Brett vor dem Kopf. Danke!
> Dann: Ich vermute, dass du dein Korollar falsch
> abgeschrieben hast, denn so wie du es formuliert hast,
> als:
> > Ist [mm](f_n)[/mm] eine Folge integrierbarer Funktionen
> [mm]f_n:\Omega\to[0,\infty][/mm] mit [mm]f_n\uparrow f[/mm] [mm]\mu[/mm] -fast
> überall
>
> sind die [mm]f_n[/mm] ja gerade wieder nichtnegativ und meßbar,
> damit wäre dein Satz eins zu eins ohne Zusatzbedingung
> anwendbar.
>
> Es sollte wohl eher heißen:
> > Ist [mm](f_n)[/mm] eine Folge integrierbarer Funktionen
> [mm]f_n:\Omega\to\IR[/mm] mit [mm]f_n\uparrow f[/mm] [mm]\mu[/mm] -fast überall
>
> beachte: In deinem Satz sind die [mm]f_n[/mm] als nichtnegativ
> vorausgesetzt, im Korollar aber nicht mehr!
Du hast Recht! Jetzt macht das auch insgesamt Sinn. ^^
> Dein Korollar ist auch gar nicht schwer zu zeigen, was
> übrigens der Name "Korollar" schon impliziert. Zitat dazu
> aus Wikipedia:
> "Korollar (lateinisch corollarium „Zugabe“,
> „Geschenk“, eigentlich „Kränzchen“; von lat.
> corona „Kranz“, corolla „Kränzchen“)[1] bezeichnet
> in der Mathematik und Logik eine Aussage, die sich aus
> einem schon bewiesenen Satz, dem Beweis eines schon
> bewiesenen Satzes oder aus einer Definition ohne großen
> Beweisaufwand ergibt. "
Leider ist das für mich oft schwierig.
> Für den Beweis: Für beliebige Funktionen g gilt: [mm]g=g^+ - g^-[/mm]
> mit [mm]g^+ = \max\{0,g\}, g^- = \max\{0,-g\}[/mm].
Außerdem gilt punktweise [mm] $g^+\ge [/mm] 0$ und [mm] $g^-\ge [/mm] 0$. (*)
> Und damit gilt:
> [mm]0 \le f-f_n = f - (f_n^+ - f_n^-) = (f + f_n^-) - f_n^+[/mm] (**)
Zu zeigen [mm] $f\ge f_{n}(x)\$ [/mm] für alle [mm] $n\in\IN$ [/mm] und für alle [mm] $x\in\Omega$.
[/mm]
Nach Voraussetzung ist [mm] $f_n\to [/mm] f$ [mm] \mu [/mm] f.ü., also gilt a) [mm] \lim_{n\to\infty}f_n(x)=f(x) [/mm] für fast alle [mm] x\in\Omega [/mm] und b) [mm] $f_n(x)\le f_{n+1}(x)$ [/mm] für alle [mm] $n\in\IN$ [/mm] und für alle [mm] $x\in\Omega$.
[/mm]
Daraus folgt [mm] $f_1(x)\le f_2(x)\le\ldots\le f_n(x)\le f_{n+1}(x)\le\ldots\le [/mm] f(x)$ für alle [mm] x\in\Omega
[/mm]
Also [mm] $f\ge f_n$ [/mm] für alle [mm] n\in\IN [/mm] und für alle [mm] x\in\Omega.
[/mm]
Muss man eigentlich "für fast alle / für alle [mm] n\in\IN [/mm] und für alle [mm] x\in\Omega" [/mm] immer mitschleppen oder kann man das irgendwie eleganter aufschreiben?
Ein Beispiel: Der Beweis von dem Satz
> Ist $ [mm] (f_n) [/mm] $ eine Folge nichtnegativer, messbarer Funktionen $ [mm] f_n:\Omega\to[0,\infty] [/mm] $ mit $ [mm] f_n\uparrow [/mm] f $ $ [mm] \mu [/mm] $ -fast überall für $ [mm] n\to\infty, [/mm] $ so gilt $ [mm] \lim_{n\to\infty}\int f_n d\mu=\int [/mm] f [mm] d\mu [/mm] $.
fängt an mit: "Durch eine Modifikation auf Nullmengen können wir annehmen, dass [mm] $f_n(x)\uparrow [/mm] f(x)$ für alle [mm] x\in\Omega [/mm] gilt.
Ich dachte erst, dass man irgendwie den Maßraum vervollständigt, aber mittlerweile glaube ich, dass ich das nicht verstanden habe.
> Sowohl [mm]f_n^+[/mm] als auch [mm](f + f_n^-)[/mm] sind jetzt nichtnegative,
> wachsende Funktionenfolgen und erfüllen damit die
> Voraussetzungen deines Satzes (zeige das!)
Zu [mm] (f_n^+):
[/mm]
1) Zu zeigen ist [mm] (f_n^+) [/mm] nichtnegativ. Klar, siehe (*)
2) Zu zeigen ist [mm] (f_n^+) [/mm] monoton wachsend, d.h. [mm] f_{n}^+\le f_{n+1}^+ [/mm] für alle [mm] n\in\IN.
[/mm]
Es ist nach Voraussetzung [mm] (f_n) [/mm] monoton steigend, d.h. [mm] $f_{n}\le f_{n+1}$. [/mm] Somit gilt [mm] $f_n^+=\max(f_n,0)\le\max(f_{n+1},0)=f_{n+1}^+$ [/mm] für alle [mm] n\in\IN.
[/mm]
3) Zu zeigen ist [mm] (f_n^+) [/mm] messbar. [mm] (f_n) [/mm] ist nach Voraussetzung integrierbar, also folgt aus der Definition, dass [mm] (f_n) [/mm] messbar ist. Daraus folgt nach Vorlesung, dass [mm] (f_n^+) [/mm] messbar ist.
Zu (f + [mm] f_n^-):
[/mm]
1) Zu zeigen ist (f + [mm] f_n^-) [/mm] nichtnegativ. Wegen (**) gilt [mm] $f+f_n^-\ge f_n^+$. [/mm] Wegen (*) gilt [mm] $f_n^+\ge [/mm] 0$. Also $f + [mm] f_n^-\ge [/mm] 0$ und damit ist $(f + [mm] f_n^-)$ [/mm] nichtnegativ.
2) Zu zeigen $(f + [mm] f_n^-)$ [/mm] monoton steigend, d.h. $f + [mm] f_n^-\le [/mm] f+ [mm] f_{n+1}^-$. [/mm] Es reicht also zu zeigen, dass [mm] $(f_n^-)$ [/mm] monoton steigend ist.
Gezeigt wurde bereits, dass [mm] (f_n^+) [/mm] monoton steigend, d.h. es gilt [mm] $f_n^+\le f_{n+1}^+$.
[/mm]
Daraus folgt [mm] $f_n^{+}-f\le f_{n+1}^{+}-f$ [/mm] und somit [mm] $f_n^-\le f_{n+1}^-$, [/mm] also [mm] (f_n^-) [/mm] monoton steigend.
3) Zu zeigen (f + [mm] f_n^-) [/mm] messbar. [mm] $(f_n)$ [/mm] ist nach Voraussetzung integrierbar, also folgt aus der Definition, dass [mm] (f_n) [/mm] messbar ist. Daraus folgt nach Vorlesung, dass $ [mm] f_n^- [/mm] $ messbar.
Nach Voraussetzung gilt [mm] \lim_{n\to\infty}f_n=f [/mm] und weil [mm] (f_n) [/mm] messbar folgt f messbar. Die Addition von zwei messbaren Funktionen ist nach Vorlesung auch messbar, d.h. $(f + [mm] f_n^-)$ [/mm] ist messbar.
> und daraus folgt das zu zeigende. (zeigen!)
Leider verstehe ich die Beweisidee nicht weiter. Mich verwirrt es, dass ich sowohl die Voraussetzung für [mm] (f_n) [/mm] als auch für [mm] (f+f_n^-) [/mm] zeigen sollte. Außerdem verstehe ich weiterhin nicht wieso [mm] $\sup_{n\in\IN}\int f_n d\mu<\infty$ [/mm] vorausgesetzt wird.
Ich denke aber, dass es darum geht, dass [mm] $f_n^+\uparrow f+f_n^-$ [/mm] gilt, denn
1) Nach (**) gilt [mm] $f_n^+\le f+f_n^-$
[/mm]
2) [mm] $\lim_{n\to\infty}f_n^+=f+f_n^-$
[/mm]
Leider konnte ich 2) nicht zeigen, also bin ich weiterhin sehr unsicher.
Wollen wir nicht eigentlich zeigen, dass wir irgendwie [mm] (f_n) [/mm] äquivalent in eine nichtnegative, messbare, numerische Folge umwandeln können mit [mm] $f_n\uparrow [/mm] f$?
Erneut: Vielen Dank!
LG, James
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Hiho,
soweit alles ok, aber was willst du denn eigentlich zeigen, das solltest du nie aus den Augen verlieren:
$ [mm] \lim_{n\to\infty}\int f_n d\mu=\int [/mm] f [mm] d\mu [/mm] $
Oder eben äquivalent dazu: $ [mm] \lim_{n\to\infty}\int [/mm] (f - [mm] f_n) d\mu= [/mm] 0$
Na und den Ausdruck [mm] $(f-f_n)$ [/mm] haben wir ja schon ausführlich betrachtet.
Wende die Umformungen und deinen Satz an, um $ [mm] \lim_{n\to\infty}\int [/mm] (f - [mm] f_n) d\mu$ [/mm] so lange umzuformen, bis da 0 steht 
Gruß,
Gono
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 05:28 Mo 16.11.2015 | | Autor: | James90 |
Hi Gono und danke!
[mm] $\lim_{n\to\infty}\int f-f_n d\mu=\lim_{n\to\infty}\int f-(f_n^+-f_n^-)d\mu=\lim_{n\to\infty}\int f+f_n^--f_n^+d\mu$
[/mm]
Linearität: [mm] $\lim_{n\to\infty}\int f+f_n^--f_n^+d\mu=\lim_{n\to\infty}\int f+f_n^-d\mu-\lim_{n\to\infty}\int f_n^+d\mu$
[/mm]
[mm] (f+f_n^-) [/mm] und [mm] (f_n^+) [/mm] messbare, nichtnegative, numerische, monoton wachsende Folgen:
[mm] $\lim_{n\to\infty}\int f+f_n^-d\mu-\lim_{n\to\infty}\int f_n^+d\mu=\int \lim_{n\to\infty} f+f_n^-d\mu-\int \lim_{n\to\infty}f_n^+d\mu$
[/mm]
Weiter [mm] $\int \lim_{n\to\infty} f+f_n^-d\mu-\int \lim_{n\to\infty}f_n^+d\mu=\int f+\max(-\lim_{n\to\infty}f_n,0)d\mu-\int \max(\lim_{n\to\infty}f_n,0)d\mu$
[/mm]
[mm] $f_n\uparrow [/mm] f$: [mm] $\int f+\max(-\lim_{n\to\infty}f_n,0)d\mu-\int \max(\lim_{n\to\infty}f_n,0)d\mu=\int f+\max(-f,0)d\mu-\int \max(f,0)d\mu$
[/mm]
[mm] (f_n) [/mm] nichtgenativ: [mm] $\int f+\max(-f,0)d\mu-\int \max(f,0)d\mu=\int f+0d\mu-\int [/mm] f [mm] d\mu=0$
[/mm]
Richtig???
Wofür die Voraussetzung [mm] $\sup_{n\in\IN}\int f_n d\mu <\infty$?
[/mm]
[mm] (f_n) [/mm] monoton steigend, also [mm] f_n\le f_{n+1} [/mm] für alle [mm] n\in\IN.
[/mm]
Linearität: [mm] $\int f_n d\mu\le\int f_{n+1}d\mu$ [/mm] für alle [mm] n\in\IN, [/mm] also [mm] (\int f_n d\mu) [/mm] monoton steigende Folge.
Also: [mm] $\sup_{n\in\IN}\int f_n d\mu=\lim_{n\to\infty}\int f_n d\mu$.
[/mm]
Also Voraussetzung äquivalent zu [mm] $\lim_{n\to\infty}\int f_n d\mu<\infty$
[/mm]
[mm] (f_n) [/mm] nichtnegativ, also [mm] $$\lim_{n\to\infty}\int f_n d\mu=\lim_{n\to\infty}\int |f_n| d\mu=\lim_{n\to\infty}(\int f_n^++f_n^-)<\infty$
[/mm]
Also auch [mm] $\lim_{n\to\infty}\int f_n d\mu=\lim_{n\to\infty}(\int f_n^+-f_n^-)=\lim_{n\to\infty}\int f_n^+ d\mu-\lim_{n\to\infty}\int f_n^- d\mu<\infty$
[/mm]
Also [mm] $\lim_{n\to\infty}\int f_n^+ d\mu<\infty [/mm] und [mm] $\lim_{n\to\infty}\int f_n^- d\mu<\infty$
[/mm]
Und das brauchten wir schon ganz oben bei der Linearität oder?
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Hiho,
> [mm](f_n)[/mm] nichtgenativ: [mm]\int f+\max(-f,0)d\mu-\int \max(f,0)d\mu=\int f+0d\mu-\int f d\mu=0[/mm]
nein, das gilt hier ja gerade nicht mehr. Aus diesem Grund gilt auch nicht mehr [mm] $f\ge [/mm] 0$.
Aber das ändert nichts an deinem Ergebnis. Verwende einfach die Linearität des Integrals wieder, dann steht da auch $f-f=0$.
> Wofür die Voraussetzung [mm]\sup_{n\in\IN}\int f_n d\mu <\infty[/mm]?
> Und das brauchten wir schon ganz oben bei der Linearität oder?
Korrekt. Um die Linearität des Integrals zu nutzen benötigst du die Existenz der Einzelintegrale, da sonst Ausdrücke wie [mm] "\infty [/mm] - [mm] \infty" [/mm] auftreten könnten, die nicht wohldefiniert wären. Und das ist durch obige Bedingung sichergestellt.
Gruß,
Gono
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:27 Di 17.11.2015 | | Autor: | James90 |
Hi Gono
> Hiho,
>
> > [mm](f_n)[/mm] nichtgenativ: [mm]\int f+\max(-f,0)d\mu-\int \max(f,0)d\mu=\int f+0d\mu-\int f d\mu=0[/mm]
>
> nein, das gilt hier ja gerade nicht mehr. Aus diesem Grund
> gilt auch nicht mehr [mm]f\ge 0[/mm].
> Aber das ändert nichts an
> deinem Ergebnis. Verwende einfach die Linearität des
> Integrals wieder, dann steht da auch [mm]f-f=0[/mm].
Ich kopiere wieder
$ [mm] \lim_{n\to\infty}\int f-f_n d\mu=\lim_{n\to\infty}\int f-(f_n^+-f_n^-)d\mu=\lim_{n\to\infty}\int f+f_n^--f_n^+d\mu [/mm] $
Linearität $ [mm] \lim_{n\to\infty}\int f+f_n^--f_n^+d\mu=\lim_{n\to\infty}\int f+f_n^-d\mu-\lim_{n\to\infty}\int f_n^+d\mu [/mm] $
$ [mm] (f+f_n^-) [/mm] $ und $ [mm] (f_n^+) [/mm] $ messbare, nichtnegative, numerische, monoton wachsende Folgen:
$ [mm] \lim_{n\to\infty}\int f+f_n^-d\mu-\lim_{n\to\infty}\int f_n^+d\mu=\int \lim_{n\to\infty} f+f_n^-d\mu-\int \lim_{n\to\infty}f_n^+d\mu [/mm] $
Weiter $ [mm] \int \lim_{n\to\infty} f+f_n^-d\mu-\int \lim_{n\to\infty}f_n^+d\mu=\int f+\max(-\lim_{n\to\infty}f_n,0)d\mu-\int \max(\lim_{n\to\infty}f_n,0)d\mu [/mm] $
$ [mm] f_n\uparrow [/mm] f $: $ [mm] \int f+\max(-\lim_{n\to\infty}f_n,0)d\mu-\int \max(\lim_{n\to\infty}f_n,0)d\mu=\int f+\max(-f,0)d\mu-\int \max(f,0)d\mu [/mm] $
Linearität/Kommutativität [mm] $\int f+\max(-f,0)d\mu-\int \max(f,0)d\mu =\int [/mm] f [mm] d\mu-\int(\max(f,0)-\max(-f,0))d\mu$
[/mm]
Weiter [mm] $\int [/mm] f [mm] d\mu-\int(\max(f,0)-\max(-f,0))d\mu=\int [/mm] f [mm] d\mu-\int(f^+-f^-)d\mu=\int [/mm] f [mm] d\mu-\int [/mm] f [mm] d\mu=0$
[/mm]
Das klappt am Ende auch alles, weil f messbar ist.
> > Wofür die Voraussetzung [mm]\sup_{n\in\IN}\int f_n d\mu <\infty[/mm]?
>
> > Und das brauchten wir schon ganz oben bei der Linearität
> oder?
>
> Korrekt. Um die Linearität des Integrals zu nutzen
> benötigst du die Existenz der Einzelintegrale, da sonst
> Ausdrücke wie [mm]"\infty[/mm] - [mm]\infty"[/mm] auftreten könnten, die
> nicht wohldefiniert wären. Und das ist durch obige
> Bedingung sichergestellt.
Danke!
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 05:52 Mo 16.11.2015 | | Autor: | James90 |
Hi, ich habe noch eine Frage zu einem Korollar
Sei [mm] (f_n) [/mm] eine nichtnegative, messbare Folge. Dann gilt
[mm] $\int\sum_{n\in\IN}f_n d\mu=\sum_{n\in\IN}\int f_n d\mu$
[/mm]
Beweis: Setze [mm] $s_N [/mm] = [mm] \sum_{n=1}^N f_n$. [/mm] Wegen [mm] (f_n) [/mm] nichtnegativ folgt [mm] (s_N) [/mm] monoton wachsend.
[mm] (f_n) [/mm] ist hier nicht numerisch. Also: Wegen dem archimedischem Axiom ist [mm] (S_N) [/mm] nach oben beschränkt. Damit ist [mm] (S_N) [/mm] monoton wachsend und nach oben beschränkt, also konvergent.
Also [mm] $\int\sum_{n\in\IN}f_n d\mu=\int\limes_{N\to\infty}\sum_{n=1}^{N}f_n d\mu$
[/mm]
Monotoner Konvergenzsatz: [mm] \int\limes_{N\to\infty}\sum_{n=1}^{N}f_n d\mu=\limes_{N\to\infty}\int\sum_{n=1}^{N}f_n d\mu$
[/mm]
Linearität: [mm] $\limes_{N\to\infty}\int\sum_{n=1}^{N}f_n d\mu=\limes_{N\to\infty}\sum_{n=1}^{N}\int f_n d\mu$
[/mm]
Wieder Konvergenz: [mm] $\limes_{N\to\infty}\sum_{n=1}^{N}\int f_n d\mu=\sum_{n\in\IN}\int f_n d\mu$
[/mm]
LG, James
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Hiho,
> Beweis: Setze [mm]s_N = \sum_{n=1}^N f_n[/mm]. Wegen [mm](f_n)[/mm] nichtnegativ folgt [mm](s_N)[/mm] monoton wachsend.
Hier hast du doch schon alle Voraussetzungen deines Satzes.
> [mm](f_n)[/mm] ist hier nicht numerisch. Also: Wegen dem archimedischem Axiom ist [mm](S_N)[/mm] nach oben beschränkt.
Warum sollte das gelten? Das brauchst du doch auch gar nicht?
Gruß,
Gono
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:09 Di 17.11.2015 | | Autor: | James90 |
Hi Gono
> > Beweis: Setze [mm]s_N = \sum_{n=1}^N f_n[/mm]. Wegen [mm](f_n)[/mm]
> nichtnegativ folgt [mm](s_N)[/mm] monoton wachsend.
>
> Hier hast du doch schon alle Voraussetzungen deines
> Satzes.
Wegen [mm] (f_n) [/mm] messbar ist [mm] (s_N) [/mm] messbar.
Wegen [mm] (f_n) [/mm] nichtnegativ ist [mm] (s_N) [/mm] nichtnegativ.
Wegen [mm] (f_n) [/mm] nichtnegativ ist [mm] (s_N) [/mm] monoton steigend.
[mm] (s_N) [/mm] messbare, nichtnegative, monoton steigende Folge.
[mm] $\lim_{N\to\infty}\int s_N d\mu=\int \lim_{N\to\infty} s_N d\mu$
[/mm]
[mm] $\gdw \lim_{N\to\infty}\int \sum_{n=1}^N f_n d\mu=\int \lim_{N\to\infty} \sum_{n=1}^N f_n d\mu$
[/mm]
> > [mm](f_n)[/mm] ist hier nicht numerisch. Also: Wegen dem
> archimedischem Axiom ist [mm](S_N)[/mm] nach oben beschränkt.
>
> Warum sollte das gelten? Das brauchst du doch auch gar
> nicht?
Meine Probleme:
Zu zeigen (rechte Seite) [mm] $\int \lim_{N\to\infty} \sum_{n=1}^N f_n d\mu=\int \sum_{n\in\IN} f_n d\mu$
[/mm]
Das gilt doch nur, falls [mm] (s_N) [/mm] konvergiert...
Zu zeigen (linke Seite) [mm] $\lim_{N\to\infty}\int \sum_{n=1}^N f_n d\mu=\lim_{N\to\infty}\sum_{n=1}^{N}\int f_n d\mu$
[/mm]
Folgt das nicht aus der Linearität des Integrals?
Auch hier: Wenn dann [mm] (s_N) [/mm] konvergiert, dann gilt am Ende [mm] $\lim_{N\to\infty}\sum_{n=1}^{N}\int f_n d\mu=\sum_{n\in\IN}\int f_n d\mu$
[/mm]
LG, James
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Hiho,
in der Maßtheorie ist [mm] "+\infty" [/mm] ein valider Grenzwert, d.h. [mm] $s_N$ [/mm] konvergiert immer.
Darum gibt es bei deinem Satz auch keine Fallunterscheidung, es ist ja sogar [mm] $f_n \equiv \infty$ [/mm] zugelassen.
Das ist eine valide meßbare Funktion!
Im Satz steht ja sogar: [mm] $f_n: \Omega \to [0,\infty]$, [/mm] d.h. unendlich ist Teil des Bildbereichs.
Du kannst das aber auch "normal" per Fallunterscheidung berechnen. Gilt [mm] $s_N \to +\infty$ [/mm] auf einer Nichtnullmenge A, so sind beide Seiten gleich [mm] $+\infty$ [/mm] und damit gilt die Gleichheit.
Gibt es keine solche Menge A, dann ist [mm] s_N [/mm] fast sicher beschränkt und auch im herkömmlichen Sinne konvergent.
Gruß,
Gono
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:56 Di 17.11.2015 | | Autor: | James90 |
Vielen Dank für deine Hilfe Gono!
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