Benötige Hilfe bei Aufgabe < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | [mm] f(x)=ax^2 [/mm] ;a /in /IR
Gesucht ist eine (oder mehrere) Schaarfunktion(en), deren Graph zwischen den Nullstellen einen Flächeninhalt von 4,5 FE zusammen mit der x-Achse umschließt. |
Ich habe erstmal die 1. Ableitung bestimmt, um die Nullstellen zu erfahren.
f'a(x)=a-2x
NW:f'a(x)=0
x=a/2
HB: -2 ungleich 0,daher korrekt
Jetzt habe ich die Aufleitung von fa(x) gebildet, mithilfe der Integration durch Substitution.
[mm] x^2=z
[/mm]
x=z^(1/2)
x'=dx/dt=>Kettenregel
u=z^(1/2)
u'=1/2v^(-1/2)
v=z
v'=1
x'=1/2z^(-1/2)
[mm] Fa(x)=\integral_{a}^{b}{a\wurzel{z}-z*1/2*1/(\wurzel{z}) dx}
[/mm]
Am Ende erhalte ich:
Fa(x)= [mm] a/3*z*\wurzel{z}-(z/3/2)*\wurzel{z}
[/mm]
Aufleitung von:
[mm] \integral_{a}^{b}{x dx}
[/mm]
[mm] F(x)=1/2x^2
[/mm]
Stimmt die Aufleitung bis hierhin? Was kommt nun?
Fa(x)-Aufleitung der x-Achse=4,5
?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
|
|
| |
|
Hallo Thorben88 und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> [mm]f(x)=ax^2[/mm] ;$a [mm] \in \IR$
[/mm]
>
> Gesucht ist eine (oder mehrere) Schaarfunktion(en), deren
> Graph zwischen den Nullstellen einen Flächeninhalt von 4,5
> FE zusammen mit der x-Achse umschließt.
Bist du sicher, dass du die Funktion richtig angegeben hast? ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
Ihr Graph umschließt nämlich keine Fläche mit der x-Achse, die man berechnen könnte;
es handelt sich ja um eine gestreckt/gestauchte Normalparabel, die im Ursprung ihren Extrempunkt hat.
> Ich habe erstmal die 1. Ableitung bestimmt, um die
> Nullstellen zu erfahren.
> f'a(x)=a-2x
Dies könnte darauf deuten, dass die Funktion vielmehr [mm] f_a(x)=ax-x^2 [/mm] heißen müsste...
falls du richtig abgeleitet hast.
>
> NW:f'a(x)=0
> x=a/2
> HB: -2 ungleich 0,daher korrekt
hier berechnst du allenfalls die Extremstelle, jedenfalls nicht die Nullstellen der Funktion...
>
> Jetzt habe ich die Aufleitung von fa(x) gebildet, mithilfe
> der Integration durch Substitution.
Warum das?!
es handelt sich um eine ganz-rationale Funktion, die du ohne Substitution integrieren kannst.
von hier an wird es falsch...
> [mm]x^2=z[/mm]
> x=z^(1/2)
> x'=dx/dt=>Kettenregel
>
> u=z^(1/2)
> u'=1/2v^(-1/2)
> v=z
> v'=1
>
> x'=1/2z^(-1/2)
>
> [mm]Fa(x)=\integral_{a}^{b}{a\wurzel{z}-z*1/2*1/(\wurzel{z}) dx}[/mm]
>
> Am Ende erhalte ich:
> Fa(x)= [mm]a/3*z*\wurzel{z}-(z/3/2)*\wurzel{z}[/mm]
>
>
> Aufleitung von:
> [mm]\integral_{a}^{b}{x dx}[/mm]
> [mm]F(x)=1/2x^2[/mm]
> Stimmt die Aufleitung bis hierhin? Was kommt nun?
>
> Fa(x)-Aufleitung der x-Achse=4,5
>
bitte rückmelden, ob es alles richtig überlegt ist.
Gruß informix
|
|
|
| |
|
Hallo,
ja du hast Recht, die Funktion muss [mm] fa(x)=ax-x^2 [/mm] lauten
Hast du einfach mit der Produktregel integriert?
|
|
|
| |
|
Hallo Thorben88,
> Hallo,
> ja du hast Recht, die Funktion muss [mm]fa(x)=ax-x^2[/mm] lauten
>
> Hast du einfach mit der Produktregel integriert?
>
nein, 1. habe ich gar nicht integriert
2. solltest du mal die  Integrationsregeln anschauen, um zu erkennen, dass die Stammfunktion viel leichter zu ermitteln ist.
Eine Produktregel kenne ich nur beim Ableiten.
Nimm lieber die Summenregel:
[mm] \int{ax-x^2 \ dx}=\int{ax \ dx}-\int{x^2 \ dx}
[/mm]
und dann die Regel mit konstantem Faktor...
Gruß informix
|
|
|
| |
|
Hallo,
ja danke, bin gerade schnell zum PC geeilt, weil ich mich gefragt habe, was ich mit der Produktregel überhaupt will. Aber du hast netterweise die Frage schon reserviert.
[mm] F(x)=1/2ax^2-1/3x^3
[/mm]
[mm] G(x)=1/2x^2
[/mm]
Die Nullstellen lauten:
x1=(2a)/4
x2=0
Ist das bis hierhin richtig?
jetzt muss ich : [mm] \integral_{0}^{(2a)/4}{f(x)}-\integral_{0}^{(2a)/4}{g(x) dx}=4,5
[/mm]
rechnen , und dann?
|
|
|
| |
|
Hallo Thorben88,
> Hallo,
> ja danke, bin gerade schnell zum PC geeilt, weil ich mich
> gefragt habe, was ich mit der Produktregel überhaupt will.
> Aber du hast netterweise die Frage schon reserviert.
>
> [mm]F(x)=1/2ax^2-1/3x^3[/mm]
>
> [mm]G(x)=1/2x^2[/mm]
>
> Die Nullstellen lauten:
> x1=(2a)/4
> x2=0
>
> Ist das bis hierhin richtig?
nein, mach's nicht komplizierter als nötig:
[mm] f_a(x)=ax-x^2=x(a-x) \Rightarrow [/mm] x=0 oder x=a
du benötigst nur die Stammfunktion F(x) und die Grenzen 0 und a
>
> jetzt muss ich :
> [mm]\integral_{0}^{(2a)/4}{f(x)}-\integral_{0}^{(2a)/4}{g(x) dx}=4,5[/mm]
>
> rechnen , und dann?
du musst nun eine Fallunterscheidung machen für [mm] a\ge0 [/mm] und $a<0$
Allerdings gilt für die Fläche:
[mm] |\int_0^a{f(x) \ dx}|=|F(a)-F(0)|=4,5
[/mm]
Hast du die Funktion schon mal gezeichent?
[Dateianhang nicht öffentlich]
Gruß informix
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
Hallo,
was meinst du mit Fallunterscheidung?
Wie muss ich dann weiter verfahren, um die gesuchte Schaar zu erhalten?
|
|
|
| |
|
> Hallo,
> was meinst du mit Fallunterscheidung?
> Wie muss ich dann weiter verfahren, um die gesuchte Schaar
> zu erhalten?
Eine mögliche Funtkionschaar erhälst du wenn du mit der Summenregel die Stammfunktion bildet. Bei den Anworten liegt dir diese Regel schon vor.
Was bedeutet eine Fallunterscheidung?
Dein Flächeninhalt muss den Wert 4,5FE ergeben. Im Integral hast du die obere Grenze "a" so wie die untere Grenze "0".Diese setzt du ein und musst dir nun überlegen was passiert wenn die konstante a in deiner Funktion einen negativen Wert annimmt, d.h a<0 und was passiert wenn die konstante einen Wert größer gleich null(positiven Wert) annimmt. Als Hilfe dient eine Zeichung des Graphen.
Gruss
|
|
|
| |
|
Hallo,
alles klar, dankeschön!
Ist die Aufleitung von mir richtig?
[mm] F(X)=1/2ax^2-1/3x^3
[/mm]
PS: Wenn ich eine Gleichung z.B. mit 2^(x-3)=4 habe, wie kann ich den Exponenten runterholen?
|
|
|
| |
|
> Hallo,
> alles klar, dankeschön!
>
> Ist die Aufleitung von mir richtig?
> [mm]F(X)=1/2ax^2-1/3x^3[/mm]
Jep ist richtig. Muss nur noch die Grenzen einsetzen und eine Fallunterscheidung machen.
>
> PS: Wenn ich eine Gleichung z.B. mit 2^(x-3)=4 habe, wie
> kann ich den Exponenten runterholen?
Ok. Du hast die Gleichung [mm] 2^{x-3}=4
[/mm]
jetzt beide Seiten logarithmieren.
dann hast du ln(2)*(x-3)=ln(4)
Der Rest müsste kein Problem sein.
Gruss
|
|
|
| |
|
Ich weiß, es ist nicht höflich so zu fragen, aber kannst du mir eine solche Fallunterscheidung vorrechnen? Ich tu mich damit unheimlich schwer.
|
|
|
| |
|
Hey
Ich mach dir den Anfang für a>0:
[mm] \integral_{0}^{a}{ax-x² dx}
[/mm]
[mm] =[\bruch{1}{2}ax²-\bruch{1}{3}x³]^{a}_{0}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{2}a³-\bruch{1}{3}a³=4,5
[/mm]
=a³=27
a=3
...
Hoffe du kommst jetzt weiter
Gruss
|
|
|
| |
|
Ich habe noch eine kleine Aufgabe nebenbei gefunden, mit der ich mich schwer tue.
[mm] e^{2x}-2e^x+1=0
[/mm]
löse durch substitution, hm... mit was setze ich z am geschicktesten gleich?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:44 Mi 27.02.2008 | | Autor: | defjam123 |
Was musst du denn genau bei dieser Aufgabe machen?
|
|
|
| |
|
Was musst du denn genau bei dieser Aufgabe machen?
Ich gehe davon aus das du die nach x auflösen willst.
Dann geh doch einfach so vor wie ich dir das gesagt hab: logarithmieren
Gruss
|
|
|
| |
|
Unser Mathe-Lehrer sagte, bei Summen und Differezen muss man substituieren.
Dann kann ich doch nciht einfach logarithmieren.
|
|
|
| |
|
Hey!
logarithmieren geht nicht
Gruss
|
|
|
| |
|
Hallo defjam,
siehe die andere Antwort: summandenweise logarithmieren klappt nicht:
Es ist zwar [mm] $\ln(a\cdot{}b)=\ln(a)+\ln(b)$, [/mm] aber NICHT [mm] $\ln(a+b)=\ln(a)+\ln(b)$ [/mm] !!
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
Hallo Thorben, hallo defjam,
Achtung, defjam, du kannst hier nicht logarithmieren!!
Du musst ja die ganze Gleichung logarithmieren, da gibt's 2 Probleme:
(1) rechte Seite: was soll [mm] $\ln(0)$ [/mm] sein?
(2) linke Seite: es ist nicht !! [mm] $\ln(a+b)=\ln(a)+\ln(b)$
[/mm]
@ Thorben: dein Lehrer hat recht:
du hast die Gleichung [mm] $e^{2x}-2e^x+1=0$
[/mm]
[mm] $\gdw \left(\blue{e^x}\right)^2-2\blue{e^x}+1=0$
[/mm]
Das sieht doch schon verdächtig nach ner quadratischen Gleichung aus:
Substituiere [mm] $u:=e^x$, [/mm] dann wird das zu:
[mm] $u^2-2u+1=0$
[/mm]
[mm] $\gdw (u-1)^2=0\gdw [/mm] u=1$
Resubstituieren: [mm] $u=1\Rightarrow e^x=1\Rightarrow [/mm] x=....$
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:39 Mi 27.02.2008 | | Autor: | defjam123 |
Hey!
danke für die Korrektur. Dachte das wäre richtig, weil ich mit logarithmieren dennoch aufs gleiche Ergebenis komme.
Edit: ist keine Frage, sondern eine Mitteilung. Hab den Fehler verstanden
|
|
|
| |
|
Hey!
Subsitution ist doch aber nicht dringend notwendig?
[mm] e^{2x}-2e^{x}+1=0
[/mm]
Hier steckt nämliche eine Binomische Formel.
Also haben wir.
[mm] (e^{x}-1)²=0
[/mm]
Wir erkennen jetzt, dass es eine doppelte Nullstelle bei [mm] e^{x}=1 [/mm] gibts
jetzt logarithmiert man und erhält
x=0
Diese Schreibweise wäre doch möglich?
Gruss
|
|
|
| |
|
Hallo,
vielen Dank!
Kannst du einmalüber die beiden Aufgaben schauen?:
c)
e^(2)-4e^(-2x)-3=0
t-4t^-1 -3=0
t-4/t=3
wie löse ich das am geschicktesten auf? Wie hole ich das t aus dem Nenner?
d)e^(4x)-7e^(2x)+10=0
[mm] e^{2x}^2 [/mm] -7e^(2x)+10
t=2
[mm] e^x=2
[/mm]
e=ln(2)
Ich habe das t durch ausprobieren erhalten gibt es dafür elegantere Methoden?
|
|
|
|
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]"){kind=small}
