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Belegungsfunktion: Problem
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 16:41 Di 15.07.2008
Autor: SorcererBln

Aufgabe
Zeige, dass die Belegungsfunktion eines signierten Maßes [mm] $\mu$ [/mm] in einem Punkt genau dann stetig ist, wenn die nur aus diesem Punkt bestehende Menge eine [mm] $\mu$-Nullmenge [/mm] ist.

Die Richtung => habe ich zusammen mit der Jordanschen Zerlegung hinbekommen.

Bei der <=-Richtung komme ich nicht weiter: Die Belegungsfunktion ist ja

[mm] $F_\mu(x)=\mu(]-\infty,x])$ [/mm]

und nach Voraussetzung ist [mm] $\mu(\{a\})=0$. [/mm] Wir müssen nun zeigen, dass [mm] $F_\mu$ [/mm] in $a$ stetig ist. Hat jemand eine Idee?

        
Bezug
Belegungsfunktion: Vorschlag
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:14 Di 15.07.2008
Autor: SorcererBln

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Die Funktion $F_\mu$ ist immer rechtsseitig stetig (in $a$). Also müssen wir nur noch die Linksstetigkeit zeigen. Sei also $x_n \to a$mit $x_1\leq x_2\leq ...$ Setze

$A_n:=]x_n,a[\supset A_{n+1}$, $A=\bigcap A_n=\emptyset$,

also $A_n \to \emptyset$ von oben. Es folgt

$|F_\mu(a)-F_\mu(x_n)|=\mu^+(A_n)+\mu^-(A_n)$.

Die beide Maße $}mu^+,\mu^-$ sind endlich, da das signierte Maß $\mu$ endlich ist. Also folgt aus dem Stetigkeitssatz für Maße die Behauptung.

Problem: Kann man einfach die Folge $x_n$ als monoton wachsende Folge wählen?

Bezug
                
Bezug
Belegungsfunktion: Lösung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:25 Di 15.07.2008
Autor: SorcererBln


> Die Funktion [mm]F_\mu[/mm] ist immer rechtsseitig stetig (in [mm]a[/mm]).
> Also müssen wir nur noch die Linksstetigkeit zeigen. Sei
> also [mm]x_n \to a[/mm]mit [mm]x_1\leq x_2\leq ...[/mm] Setze
>  
> [mm]A_n:=]x_n,a[\supset A_{n+1}[/mm], [mm]A=\bigcap A_n=\emptyset[/mm],
>  
> also [mm]A_n \to \emptyset[/mm] von oben. Es folgt
>  
> [mm]|F_\mu(a)-F_\mu(x_n)|=\mu^+(A_n)+\mu^-(A_n)[/mm].
>  
> Die beide Maße [mm]}mu^+,\mu^-[/mm] sind endlich, da das signierte
> Maß [mm]\mu[/mm] endlich ist. Also folgt aus dem Stetigkeitssatz für
> Maße die Behauptung.
>
> Problem: Kann man einfach die Folge [mm]x_n[/mm] als monoton
> wachsende Folge wählen?

Ja, das geht und dies kann gezeigt werden mit einem bekannten Konvergenzprinzip. Damit ist die Aufgabe gelöst.

Bezug
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