Bel. oft Differenzierbar < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:15 Mo 17.11.2014 | | Autor: | arraneo |
Hallo alle,
die Aufgabe lautet:
Sei [mm] f:R\to [/mm] R stetig, a<b und sei [mm] \phi :R\to [/mm] R definiert durch:
[mm] \phi(\lambda):=\integral_a^b e^{\lambda f(x)} [/mm] dx.
Beweisen Sie, dass [mm] \phi [/mm] beliebig oft diff'bar ist und es gilt:
[mm] \phi^n(0)=\integral_a^b (f(x))^n [/mm] dx.
Meine ersten Gedanken wären, dass erstmal die erste Ableitung einfach diese Exponentialfunktion ist, sprich:
[mm] \phi'(\lambda)= e^{\lambda f(x)} \Big|_a^b, [/mm] wobei
[mm] \phi''(\lambda) [/mm] = [mm] e^{\lambda f(x)} \cdot \lambda \cdot [/mm] f'(x) [mm] \Big|_a^b [/mm] .
Stimmt das soweit?
wobei die zweite Frage wäre: wenn das soweit stimmt, brauche ich f(x) nicht auch bel. oft diff'bar zu haben?
Aus reiner Stetigkeit der Funktion f kann man nicht folgern, dass die Funktion diff'bar ist, nicht mal aufm Intervall (a,b) , also hätte jemanden eine Idee, wie ich hier weiterkomme ?
vielen vielen Dank !!
lg,
arraneo
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:29 Mo 17.11.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hallo alle,
>
> die Aufgabe lautet:
>
> Sei [mm]f:R\to[/mm] R stetig, a<b und sei [mm]\phi :R\to[/mm] R definiert
> durch:
>
> [mm]\phi(\lambda):=\integral_a^b e^{\lambda f(x)}[/mm] dx.
>
> Beweisen Sie, dass [mm]\phi[/mm] beliebig oft diff'bar ist und es
> gilt:
>
> [mm]\phi^n(0)=\integral_a^b (f(x))^n[/mm] dx.
>
>
> Meine ersten Gedanken wären, dass erstmal die erste
> Ableitung einfach diese Exponentialfunktion ist, sprich:
>
> [mm]\phi'(\lambda)= e^{\lambda f(x)} \Big|_a^b,[/mm]
Wie kommst Du darauf ?
> wobei
>
> [mm]\phi''(\lambda)[/mm] = [mm]e^{\lambda f(x)} \cdot \lambda \cdot[/mm]
> f'(x) [mm]\Big|_a^b[/mm] .
>
> Stimmt das soweit?
Nein.
Es gilt:
[mm] \phi'(\lambda)=\integral_a^b \bruch{d}{d \lambda}(e^{\lambda f(x) })dx=\integral_a^b f(x)*e^{\lambda f(x)} [/mm] dx.
FRED
>
> wobei die zweite Frage wäre: wenn das soweit stimmt,
> brauche ich f(x) nicht auch bel. oft diff'bar zu haben?
>
> Aus reiner Stetigkeit der Funktion f kann man nicht
> folgern, dass die Funktion diff'bar ist, nicht mal aufm
> Intervall (a,b) , also hätte jemanden eine Idee, wie ich
> hier weiterkomme ?
>
> vielen vielen Dank !!
> lg,
> arraneo
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:03 Mo 17.11.2014 | | Autor: | arraneo |
hey Fred! vielen Dank,
das stimmt, habe mich mit der Variable geirrt. .
Abgesehen davon, dachte ich mir: wenn F(x) die Stammfunktion von f ist, dann gilt: F'(x)=f. ,aber das Integral ist ja in dx und nicht [mm] d\lambda, [/mm] jetzt kapiere ich was du meinst.
d.h. also, es gelte:
[mm] \phi''(\lambda)= \integral_a^b \frac{d}{d\lambda} \Big( [/mm] f(x) [mm] e^{\lambda f(x)} \Big) [/mm] dx = [mm] \integral_a^b f(x)^2 e^{\lambda f(x)} [/mm] dx
und insgesamt wäre die Induktionsvoraussetzung :
[mm] \phi^n(\lambda) =\integral_a^b f(x)^n e^{\lambda f(x)} [/mm] dx , wo dann natürlich gelte:
[mm] \phi^n(0) =\integral_a^b f(x)^n e^{0 \cdot f(x)} dx=\integral_a^b f(x)^n [/mm] dx .
Könntest du mir bitte den Induktionsbeweis überprüfen?
Beweis: für [mm] k\in [/mm] N , [mm] 1\le [/mm] k [mm] \le [/mm] n gelte:
IV: [mm] \phi^k(\lambda) =\integral_a^b f(x)^k e^{\lambda f(x)} [/mm] dx
IA: für k=1 haben wir schon überprüft.
IS: [mm] k\to [/mm] k+1
[mm] \phi^{k+1}(\lambda) =\integral_a^b \frac{d}{d\lambda} \Big( f(x)^k e^{\lambda f(x)} [/mm] dx [mm] \Big) \hfill [\because [/mm] Induktionsvoraussetzung]
[mm] =\integral_a^b f(x)^k \cdot\frac{d}{d\lambda} \Big( e^{\lambda f(x)} \Big)dx=\integral_a^b f(x)^k \cdot \Big( [/mm] f(x) [mm] \cdot e^{\lambda f(x)} \Big)dx=\integral_a^b \Big( f(x)^k \cdot [/mm] f(x) [mm] \cdot e^{\lambda f(x)} \Big)dx
[/mm]
[mm] =\integral_a^b f(x)^{k+1} \cdot e^{\lambda f(x)} [/mm] dx [mm] \Box
[/mm]
stimmt das ?
vielen Dank!
arraneo
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:14 Mo 17.11.2014 | | Autor: | fred97 |
> hey Fred! vielen Dank,
>
> das stimmt, habe mich mit der Variable geirrt. .
>
> Abgesehen davon, dachte ich mir: wenn F(x) die
> Stammfunktion von f ist, dann gilt: F'(x)=f. ,aber das
> Integral ist ja in dx und nicht [mm]d\lambda,[/mm] jetzt kapiere ich
> was du meinst.
>
> d.h. also, es gelte:
>
> [mm]\phi''(\lambda)= \integral_a^b \frac{d}{d\lambda} \Big([/mm]
> f(x) [mm]e^{\lambda f(x)} \Big)[/mm] dx = [mm]\integral_a^b f(x)^2 e^{\lambda f(x)}[/mm]
> dx
>
> und insgesamt wäre die Induktionsvoraussetzung :
>
> [mm]\phi^n(\lambda) =\integral_a^b f(x)^n e^{\lambda f(x)}[/mm] dx
> , wo dann natürlich gelte:
>
> [mm]\phi^n(0) =\integral_a^b f(x)^n e^{0 \cdot f(x)} dx=\integral_a^b f(x)^n[/mm]
> dx .
>
> Könntest du mir bitte den Induktionsbeweis überprüfen?
>
>
>
> Beweis: für [mm]k\in[/mm] N , [mm]1\le[/mm] k [mm]\le[/mm] n gelte:
> IV: [mm]\phi^k(\lambda) =\integral_a^b f(x)^k e^{\lambda f(x)}[/mm]
> dx
> IA: für k=1 haben wir schon überprüft.
>
> IS: [mm]k\to[/mm] k+1
>
> [mm]\phi^{k+1}(\lambda) =\integral_a^b \frac{d}{d\lambda} \Big( f(x)^k e^{\lambda f(x)}[/mm]
> dx [mm]\Big) \hfill [\because[/mm] Induktionsvoraussetzung]
>
> [mm]=\integral_a^b f(x)^k \cdot\frac{d}{d\lambda} \Big( e^{\lambda f(x)} \Big)dx=\integral_a^b f(x)^k \cdot \Big([/mm]
> f(x) [mm]\cdot e^{\lambda f(x)} \Big)dx=\integral_a^b \Big( f(x)^k \cdot[/mm]
> f(x) [mm]\cdot e^{\lambda f(x)} \Big)dx[/mm]
>
> [mm]=\integral_a^b f(x)^{k+1} \cdot e^{\lambda f(x)}[/mm] dx [mm]\Box[/mm]
>
> stimmt das ?
Ja
FRED
>
> vielen Dank!
>
> arraneo
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:23 Mo 17.11.2014 | | Autor: | arraneo |
DANKE!! bist der Beste !!
bis zum nächsten Beweis :)
LG,
arraneo
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