Beispiele für Vektorrechnung < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:44 Di 31.05.2005 | | Autor: | Timo17 |
Hi,
brauche mal eure Hilfe.
Ich suche Musterlösungen zu folgenden Themen im Bereich Vektoren:
- lineare (Un-)Abhängigkeit
- aufstellen von linearen Gleichungen (Linearkombination)
- beweisen mit Vektoren
- vektorielle Darstellung von Geraden(Ebenen):aufstellen,zeichnen ; Koordinatengleichung,Paramtergleichung
- gegenseitige Lage von Geraden (windschief,identisch,schneiden sich)
- Geraden und Ebenen zusammen
Wäre echt super wenn ihr mal ein,zwei Beispiele für diese Themen habt(Links?).Schreiben nämlich ne Klausur drüber.
Vielen Dank im Voraus.
MfG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:03 Di 31.05.2005 | | Autor: | Timo17 |
Habe da mal nen paar Fragen zur Vektorrechnung:
-Zur linearen Abhängigkeit:
Können nun zwei Vektoren kollinear sein und komplanar mehr als 2?
Wenn ich nun a(3/3/3),c(4/4/7),d(3/5/5) als Vektoren habe.Ich errechne ob sie abhängig sind , indem ich das mit Determinanten mache.Wie geht es sonst noch?
-gegenseitige Lage von Geraden:
Es gibt ja 4 verschiedene Formen:g und h sind=identisch,zueinander parallel,schneiden sich oder sind zueinander windschief.
Wenn sie sich schneiden haben sie ja einen Schnittpunkt.Dazu stelle ich ja ein lineares Gleichungssystem auf und schaue obz.B. r und s gleich sind.Dann schneiden sich die Geraden ja.Wie gehe ich denn bei den anderen drei Sachen vor bzw. wie sehe ich ob sie identisch etc. sind?
Wofür berchnet man den Durchschnittspunkt?Ich stelle ja auch hier das Gleichungssystem auf und löse nach r,s und t auf und setzte dann t in die Gleichung auf und habe dann den Durchschnittspunkt.Wie finde ich denn heraus ob es überhaupt einen Durchschnittspunkt gibt oder nicht?
Erstmal letzte Frage:
Wenn eine Gerade h vorgegeben ist,sagen wir (1/0/0)+r(7/3/1).Wie gebe ich jetzt eine andere Gerade an ,die diese Gerade h schneidet,die dazu parallel ist,die dazu windschief ist oder identisch ist.Wie bekomme ich das heraus?
Vielen Dank im Voraus.
MfG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:45 Di 31.05.2005 | | Autor: | Fugre |
Hallo Timo!
> Habe da mal nen paar Fragen zur Vektorrechnung:
>
> -Zur linearen Abhängigkeit:
> Können nun zwei Vektoren kollinear sein und komplanar mehr
> als 2?
> Wenn ich nun a(3/3/3),c(4/4/7),d(3/5/5) als Vektoren
> habe.Ich errechne ob sie abhängig sind , indem ich das mit
> Determinanten mache.Wie geht es sonst noch?
Wenn du überpfrüfen willst, ob zwei Vektoren [mm] $\vec [/mm] a, [mm] \vec [/mm] b$ linear
abhängig voneinander sind, so löst du sie entweder so:
(1) [mm] $\vec a=r*\vec [/mm] b$ und überprüfst, ob diese Gleichung eine
Lösung hat.
oder so:
(2) du baust eine Determinante, ist diese null so liegt eine lineare
Abhängigkeit vor.
Wenn du überprüfen willst, ob 3 Vektoren komplanar sind, also in
einer Ebene liegen, so kannst du es genauso machen:
(1) [mm] $\vec [/mm] a [mm] =r*\vec b+s*\vec [/mm] c$
oder
(2) mit der Determinante
>
> -gegenseitige Lage von Geraden:
> Es gibt ja 4 verschiedene Formen:g und h
> sind=identisch,zueinander parallel,schneiden sich oder sind
> zueinander windschief.
> Wenn sie sich schneiden haben sie ja einen
> Schnittpunkt.Dazu stelle ich ja ein lineares
> Gleichungssystem auf und schaue obz.B. r und s gleich
> sind.Dann schneiden sich die Geraden ja.Wie gehe ich denn
> bei den anderen drei Sachen vor bzw. wie sehe ich ob sie
> identisch etc. sind?
$r,s$ müssen nicht gleich sein, sie müssen nur einen gemeinsamen
Punkt haben, damit sie sich schneiden.
Die Reihenfolge hilft dir manchmal Arbeit zu sparen. Berechne zunächst
die Determinante mit den beiden Richtungsvektoren [mm] $\vec [/mm] u, [mm] \vec [/mm] v$ und
dem Verbindungsvektor der Aufpunkte [mm] $\vec [/mm] a -vec b$.
Ist die Determinante [mm] $\det(\vec [/mm] u, [mm] \vec [/mm] v, [mm] \vec [/mm] a - [mm] \vec [/mm] b)$ null, so liegen
die Geraden in einer Ebene. Das bedeutet, dass sie sich entweder schneiden
oder parallel sind, ist die Determinante ungleich null, so sind die Geraden windschief.
Jetzt überprüfst du, ob sie sich schneiden.
>
> Wofür berchnet man den Durchschnittspunkt?Ich stelle ja
> auch hier das Gleichungssystem auf und löse nach r,s und t
> auf und setzte dann t in die Gleichung auf und habe dann
> den Durchschnittspunkt.Wie finde ich denn heraus ob es
> überhaupt einen Durchschnittspunkt gibt oder nicht?
Ich vermute du meinst den Punkt an dem sich Ebene und
Gerade schneiden. Du kannst einfach überprüfen ob es einen
solche Punkt gibt, indem du überprüfst, ob die Gerade parallel
zur Ebene ist. Wenn ja, so gibt es keinen bzw. die Gerade liegt
in der Ebene.
>
> Erstmal letzte Frage:
> Wenn eine Gerade h vorgegeben ist,sagen wir
> (1/0/0)+r(7/3/1).Wie gebe ich jetzt eine andere Gerade an
> ,die diese Gerade h schneidet,die dazu parallel ist,die
> dazu windschief ist oder identisch ist.Wie bekomme ich das
> heraus?
Eine identische Gerade können wir ganz leicht angeben, wir
multiplizieren den Richtungsvektor mit einer beliebigen Zahl
ungleich null und schon haben wir einen neuen aber identischen
Richtungsvektor. Mit dem Aufpunktvektor ist es auch nicht besonders
schwer, denn wir können für ihn den Ortsvektor jedes Punktes der
Geraden verwenden ohne etwas zu ändern.
Beispiel hier:
$g: [mm] \vec [/mm] x= [mm] \vektor{8 \\ 3 \\ 1}+ [/mm] s [mm] \vektor{14 \\ 6 \\ 2}$
[/mm]
Wenn die andere gerade parallel sein soll, so müssen die Richtungsvektoren
linear abhängig sein.
Sollen sie windschief sein so muss die Determinante von oben [mm] ($\det(\vec [/mm] u, [mm] \vec [/mm] v, [mm] \vec [/mm] a [mm] -\vec [/mm] b)$)
ungleich null sein.
Liebe Grüße
Fugre
>
> Vielen Dank im Voraus.
>
> MfG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:14 Di 31.05.2005 | | Autor: | Timo17 |
Hi Fugre,
danke schon mal für deine überaus guten Antworten!!!
Zu meiner letzten Frage:
Das ist mir noch nicht klar geworden wie ich das jetzt berechnen kann :-(
Könntest du mal ein Beispiel für jedes der Sachen schreiben?Also parallel,windschief etc. Ich weiß nicht wie ich drauf kommen soll.Du hattest es mir zwar beantworten abe rbin nicht draus schlau geworden.
Zu meiner Frage mit den gegenseitigen Lage der Geraden:
Man hat ja dann z.B. solche Gleichung:
(5/0/1)+t(2/1/-1)=(7/1/2)+s(-6/-3/3)
Wie berechne ich das denn mit den Determinanten???
Vielen Dank im Voraus.
MfG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:48 Di 31.05.2005 | | Autor: | Fugre |
> Hi Fugre,
>
> danke schon mal für deine überaus guten Antworten!!!
>
> Zu meiner letzten Frage:
>
> Das ist mir noch nicht klar geworden wie ich das jetzt
> berechnen kann :-(
> Könntest du mal ein Beispiel für jedes der Sachen
> schreiben?Also parallel,windschief etc. Ich weiß nicht wie
> ich drauf kommen soll.Du hattest es mir zwar beantworten
> abe rbin nicht draus schlau geworden.
>
> Zu meiner Frage mit den gegenseitigen Lage der Geraden:
> Man hat ja dann z.B. solche Gleichung:
> (5/0/1)+t(2/1/-1)=(7/1/2)+s(-6/-3/3)
>
> Wie berechne ich das denn mit den Determinanten???
>
> Vielen Dank im Voraus.
>
> MfG
>
>
>
Hi Timo,
also deine Beispielaufgabe:
[mm] $g:\vec [/mm] x= [mm] \vektor{5 \\ 0 \\ 1}+t* \vektor{2 \\ 1 \\-1}$
[/mm]
[mm] $h:\vec [/mm] x= [mm] \vektor{7 \\ 1 \\ 2}+s*\vektor{-6 \\ -3 \\ 3}$
[/mm]
Jetzt können wir die Richtungsvektoren zuerst etwas vereinfachen.
Möglich ist das, weil $r,s [mm] \in \IR$
[/mm]
[mm] $g:\vec [/mm] x= [mm] \vektor{5 \\ 0 \\ 1}+t* \vektor{2 \\ 1 \\-1}$
[/mm]
Ist schon so einfach wie möglich
[mm] $h:\vec [/mm] x= [mm] \vektor{7 \\ 1 \\ 2}+s*\vektor{2 \\ 1 \\ -1}$
[/mm]
Durch die Vereinfachung können wir nun sofort erkennen,
dass die beiden Geraden parallel sind. Ist gibt also zwei
Möglichkeiten, entweder sind sie echt parallel oder identisch.
Prüfen können wir es mit der Punktprobe, wir setzen einen
der Aufpunktvektoren in die andere Gleichung ein. Liegt
dieser Punkt auf ihr, so sind sie identisch, ansonsten echt
parallel.
Überprüfen wir es:
[mm] $\vektor{5 \\ 0 \\1}=\vektor{7 \\ 1 \\ 2}+s*\vektor{2 \\ 1 \\ -1}$
[/mm]
Damit die oberste Reihe stimmt, muss $s=-1$
Damit die mittlere Reihe stimmt, muss $s=-1$
Damit die unterste Reihe stimmt, muss $s=1$
Die Folge ist, dass der Punkt nicht auf der Geraden liegt und die
beiden Geraden somit echt parallel sind.
Dieses Geradenpaar kannst du als Beispiel für echt paralle Geraden
nehmen.
Als identische Geraden:
[mm] $g:\vec [/mm] x= [mm] \vektor{5 \\ 0 \\ 3}+t* \vektor{2 \\ 1 \\-1}$
[/mm]
[mm] $h:\vec [/mm] x= [mm] \vektor{7 \\ 1 \\ 2}+s*\vektor{2 \\ 1 \\ -1}$
[/mm]
Als windschiefe Geraden:
[mm] $g:\vec [/mm] x= [mm] \vektor{5 \\ 0 \\ 3}+t* \vektor{2 \\ 5 \\-1}$
[/mm]
[mm] $h:\vec [/mm] x= [mm] \vektor{7 \\ 1 \\ 2}+s*\vektor{2 \\ 1 \\ -1}$
[/mm]
Als "schnittige" Geraden
[mm] $g:\vec [/mm] x= [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 1}+t* \vektor{2 \\ 3 \\ 4}$
[/mm]
[mm] $h:\vec [/mm] x= [mm] \vektor{3 \\ 4 \\ 5}+s*\vektor{4 \\ 7 \\ 8}$
[/mm]
Liebe Grüße
Fugre
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:38 Di 31.05.2005 | | Autor: | Timo17 |
Du hattest in deiner Antwort vorher geschrieben:
- Die Reihenfolge hilft dir manchmal Arbeit zu sparen. Berechne zunächst
die Determinante mit den beiden Richtungsvektoren $ [mm] \vec [/mm] u, [mm] \vec [/mm] v $ und
dem Verbindungsvektor der Aufpunkte $ [mm] \vec [/mm] a -vec b $.
Ist die Determinante $ [mm] \det(\vec [/mm] u, [mm] \vec [/mm] v, [mm] \vec [/mm] a - [mm] \vec [/mm] b) $ null, so liegen
die Geraden in einer Ebene. Das bedeutet, dass sie sich entweder schneiden
oder parallel sind, ist die Determinante ungleich null, so sind die Geraden windschief.
Jetzt überprüfst du, ob sie sich schneiden.
Wie rechne ich das denn mit den Determinanten aus???
- Gibt es denn nur einen Durchschnittspunkt wenn die Gerade parallel zur Ebene ist?Nicht wenn die Gerade die Ebene schneidet?
- Ok,danke.Du hast jetzt die Beispiele aufgeschrieben,aber könntest du nochmal kurz erläutern wie du bei den Beispielen darauf gekommen bist !?
Danke.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:56 Di 31.05.2005 | | Autor: | Fugre |
Hi Timo!
> Du hattest in deiner Antwort vorher geschrieben:
>
> - Die Reihenfolge hilft dir manchmal Arbeit zu sparen.
> Berechne zunächst
> die Determinante mit den beiden Richtungsvektoren [mm]\vec u, \vec v[/mm]
> und
> dem Verbindungsvektor der Aufpunkte [mm]\vec a -vec b [/mm].
> Ist
> die Determinante [mm]\det(\vec u, \vec v, \vec a - \vec b)[/mm]
> null, so liegen
> die Geraden in einer Ebene. Das bedeutet, dass sie sich
> entweder schneiden
> oder parallel sind, ist die Determinante ungleich null, so
> sind die Geraden windschief.
> Jetzt überprüfst du, ob sie sich schneiden.
>
> Wie rechne ich das denn mit den Determinanten aus???
![[guckstduhier]](/images/smileys/guckstduhier.gif "[guckstduhier]")  Determinante
>
> - Gibt es denn nur einen Durchschnittspunkt wenn die Gerade
> parallel zur Ebene ist?Nicht wenn die Gerade die Ebene
> schneidet?
>
Wenn die Gerade parallel zur Ebene ist, so wird sie diese nie
schneiden, es sei denn sie liegt in ihr, da weiß ich nicht, ob dies
als schneiden bezeichnet werden darf.
> - Ok,danke.Du hast jetzt die Beispiele aufgeschrieben,aber
> könntest du nochmal kurz erläutern wie du bei den
> Beispielen darauf gekommen bist !?
Versuche erstmal die Überprüfung dieser Eigenschaften
nachzuvollziehen, wenn du sie vollständig erfasst hast, kannst
du versuchen sie umzudrehen, so kommst du dann darauf.
>
> Danke.
>
>
>
>
>
Liebe Grüße
Fugre
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:04 Di 31.05.2005 | | Autor: | Timo17 |
Hi,
der Link mit den Determinanten funktioniert nicht.Kannst du mir da snicht mal bitte erklären?
MfG
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