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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:26 Fr 22.04.2005 | | Autor: | TobiasBe |
Ich beschäftige mich gerade seit langem wieder mit der Integration und bin da auf folgende Aufgabe gestossen:
Es sei [mm] f: [0,1] \rightarrow [0,\infty) [/mm] eine integrierbare Funktion. Beweisen Sie oder widerlegen Sie (durch ein Gegenbeispiel) die folgenden Behauptungen:
(i) Wenn [mm] \int_{0}^{1} f(x)\, dx = 0[/mm] gilt, so folgt [mm]f(x)=0[/mm] für alle [mm] x\in [0,1] [/mm].
(ii) Wenn [mm]f[/mm] stetig ist und das obige Integral gilt, so folgt [mm]f(x)=0[/mm] für alle [mm] x\in [0,1] [/mm].
Mein erster Gedanke war, hier als Gegenbeispiel zunächst eine gestauchte Sinusfunktion zu benutzen wo sich die Flächen unter dem Graphen gegenseitig aufheben, doch dann bemerkte ich, daß ja nur in den positiven Zahlenbereich abgebildet wird.
Ich habe mir nun überlegt (und aus der Art der Fragestellung geschlossen), daß man zu (i) eine nicht stetige Funktion finden kann, welche als Gegenbeispiel funktionert. Leider habe ich keine Ahnung, wie ich eine solche finden kann, oder wie ich mir das graphisch vorstellen könnte - vielleicht eine Funktion die auf diesen Bereich nicht definiert ist?
Den zweiten Teil würde ich als wahr betrachten, allerdings nur mit Hilfe der visuellen Vorstellung einer stetigen Funktion in diesem Intervall. Ihre Ableitung müsste f(x) sein, und wenn die Fläche unter ihr gleich Null ist, kann die Steigung in jedem Punkt nur Null sein.
Somit habe ich einzig und allein eine Bild aus welchem ich mir die Lösung überlege, aber mir fehlt die mathematische Erklärung dazu.
Ich würde mich sehr freuen, wenn mir jemand helfen könnte, das ganze als Rechnung nachzuvollziehen.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:50 Fr 22.04.2005 | | Autor: | Paulus |
Lieber Tobias
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> Es sei [mm]f: [0,1] \rightarrow [0,\infty)[/mm] eine integrierbare
> Funktion. Beweisen Sie oder widerlegen Sie (durch ein
> Gegenbeispiel) die folgenden Behauptungen:
>
> (i) Wenn [mm]\int_{0}^{1} f(x)\, dx = 0[/mm] gilt, so folgt [mm]f(x)=0[/mm]
> für alle [mm]x\in [0,1] [/mm].
>
> (ii) Wenn [mm]f[/mm] stetig ist und das obige Integral gilt, so
> folgt [mm]f(x)=0[/mm] für alle [mm]x\in [0,1] [/mm].
>
> Mein erster Gedanke war, hier als Gegenbeispiel zunächst
> eine gestauchte Sinusfunktion zu benutzen wo sich die
> Flächen unter dem Graphen gegenseitig aufheben, doch dann
> bemerkte ich, daß ja nur in den positiven Zahlenbereich
> abgebildet wird.
> Ich habe mir nun überlegt (und aus der Art der
> Fragestellung geschlossen), daß man zu (i) eine nicht
> stetige Funktion finden kann, welche als Gegenbeispiel
> funktionert. Leider habe ich keine Ahnung, wie ich eine
> solche finden kann, oder wie ich mir das graphisch
> vorstellen könnte - vielleicht eine Funktion die auf diesen
> Bereich nicht definiert ist?
>
ja, ich denke, das müsste so funktionieren. Nur: die Funktion darf nirgends über ein Interval mit einer Länge > 0 > 0 sein. Denn, wenn das Intervall sagen wir die Länge [mm] $\varepsilon$ [/mm] hat, dann liefert die Funktion dort bereits einen positiven Beitrag zum Integral: [mm] $\varepsilon*f(\zeta)$, [/mm] wobei [mm] $\zeta$ [/mm] im betrachteten Intervall liegt. Darum: die Funktion darf nur an isolierten Stellen ungleich Null sein.
Z.B. [mm] f(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x \not = \bruch{1}{2} \\ 1, & \mbox{für } x =\bruch{1}{2} \end{cases}
[/mm]
> Den zweiten Teil würde ich als wahr betrachten, allerdings
> nur mit Hilfe der visuellen Vorstellung einer stetigen
> Funktion in diesem Intervall. Ihre Ableitung müsste f(x)
> sein, und wenn die Fläche unter ihr gleich Null ist, kann
> die Steigung in jedem Punkt nur Null sein.
>
> Somit habe ich einzig und allein eine Bild aus welchem ich
> mir die Lösung überlege, aber mir fehlt die mathematische
> Erklärung dazu.
> Ich würde mich sehr freuen, wenn mir jemand helfen könnte,
> das ganze als Rechnung nachzuvollziehen.
>
Hier würde ich die Idee verfolgen: Wenn f(x) > 0 ist, dann ist sie es in einer ganzen Umgebung von diesem x. Darum ist das Integral > 0. (Mit der Argumentation, wie ich es bei der 1. Teilaufgabe darzustellen versucht habe.) Ein Widerspruch zur Annahme. 
Kommst du mit diesen Ideen jetzt etwas weiter?
Mit lieben Grüssen
Paul
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:37 So 01.05.2005 | | Autor: | TobiasBe |
Deine Ausführungen haben mir sehr geholfen und ich konnte meine Gedanken jetzt wirklich formulieren, vielen Dank! :)
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