Behauptungen über kompl. Zahl. < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo, habe hier zwei Behauptungen zu denen ich ein Bsp. angeben oder deren nichtexistenz begründen soll. (Nicht beweisen)
Gibt es eigentlich eine komplexe Zahl z [mm] \in \IC, [/mm] für die die Folge [mm] (z^n) [/mm] n [mm] \in \IN [/mm] genau vier Häufungswerte hat?
Und gibt es eine komplexe Zahl z [mm] \in \IC [/mm] mit [mm] z^2< [/mm] Betrag von [mm] z^2?
[/mm]
Also bei a habe ich keine Ahnung. Und bei b geht das doch nicht weil [mm] z^2 [/mm] und Betrag von [mm] z^2 [/mm] gleich sind oder?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:48 So 09.01.2011 | | Autor: | Loddar |
Hallo Schmetterling!
Zur 1. Teilaufgabe:
Betrachte mal die Potenzen [mm]i^1[/mm], [mm]i^2[/mm], [mm]i^3[/mm] usw.
Zur 2. Teilaufgabe:
Setze für [mm]z \ = \ a+i*b[/mm] ein und bestimme auch [mm]z^2 \ = \ (a+b*i)^2 \ = \ ...[/mm] .
Setze dann in die Ungleichung ein. Bedenke, dass es für nicht-reelle Zahlen keine Anordnung mit größer oder kleiner gibt.
Gruß
Loddar
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Vielen Dank erstmal für deine Antwort
Also kann ich doch bei Teilaufgabe 2 damit begründen, dass es bei komplexen Zahlen kein größer usw. gibt.
Bei Teilaufgabe 1 versteh ich den Hinweis nicht ganz bzw. was er mir bringt.
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:54 So 09.01.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Vielen Dank erstmal für deine Antwort
> Also kann ich doch bei Teilaufgabe 2 damit begründen,
> dass es bei komplexen Zahlen kein größer usw. gibt.
> Bei Teilaufgabe 1 versteh ich den Hinweis nicht ganz bzw.
> was er mir bringt.
zur Teilaufgabe 1:
[mm] $$i^1=i,\; i^2=-1,\;i^3=i^2i=-i,\;i^4=i^2i^2=1$$
[/mm]
[mm] $$i^5=i,\;i^6=-1,\;i^7=-i,\;i^8=1,$$
[/mm]
[mm] $$i^9=i,\;\ldots$$
[/mm]
zeigt, dass die Haufüngspunkte der Folge [mm] $(c_n)_{n \in \IN_{\ge 1}}$ [/mm] mit
[mm] $$c^n:=z^n:\equiv i^n$$
[/mm]
gerade [mm] $\ldots$ ($\leftarrow$ bitte ergänzen) sind.
zur Teilaufgabe 2:
Nein. Loddar meinte, dass man, wenn man
$$z^2=(a^2-b^2)+i*(ab)$$
berechnet hat, weiß, dass es überhaupt nur dann Sinn macht, $z^2$ mit $|z|^2$ zu vergleichen, wenn man $\text{Im}(z^2)=ab=0$ hat, also $a=0\,$ oder $b=0\,$ gilt. Somit macht es bei dieser Teilaufgabe nur Sinn, (neben $z=0\,$) solche $z \in \IC$ zu betrachten, die entweder rein imaginäre Zahlen oder rein reelle Zahlen sind.
Gruß,
Marcel
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:44 So 09.01.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo, habe hier zwei Behauptungen zu denen ich ein Bsp.
> angeben oder deren nichtexistenz begründen soll. (Nicht
> beweisen)
>
> Gibt es eigentlich eine komplexe Zahl z [mm]\in \IC,[/mm] für die
> die Folge [mm](z^n)[/mm] n [mm]\in \IN[/mm] genau vier Häufungswerte hat?
> Und gibt es eine komplexe Zahl z [mm]\in \IC[/mm] mit [mm]z^2<[/mm] Betrag
> von [mm]z^2?[/mm]
>
> Also bei a habe ich keine Ahnung.
neben Loddars Hinweis:
Kennst Du die Funktion [mm] $\IR \to \IC\,,$ $\phi \mapsto e^{i \phi}$ [/mm] und weißt Du, was sie macht? Wenn Du das weißt, dann kannst Du kurz drüber nachdenken, wie Du das benutzen kannst...
> Und bei b geht das doch
> nicht weil [mm]z^2[/mm] und Betrag von [mm]z^2[/mm] gleich sind oder?
Auch, wenn das jetzt ein Wink mit dem Zaunpfahl bzgl. der Aufgabenstellung ist:
I.A. ist
[mm] $$z^2=(\text{Re}^2(z)-\text{Im}^2(z))+i*(\text{Re}(z)*\text{Im}(z))$$
[/mm]
nicht(!!) das gleiche wie
[mm] $$|z|^2=\text{Re}^2(z)+\text{Im}^2(z)\,,$$
[/mm]
wie man sich leicht anhand des Beispiels
[mm] $$z=i\;\;\;(\gdw \text{Re}(z)=0 \text{ und Im}(z)=1)$$
[/mm]
klarmacht.
Gruß,
Marcel
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Hallo, danke für deine Hilfe. Die Formel kenne ich leider nicht.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:57 So 09.01.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo, danke für deine Hilfe. Die Formel kenne ich leider
> nicht.
okay. Nur ergänzend:
Für [mm] $z=a+i*b,\,$ [/mm] wobei $a,b [mm] \in \IR,\,$ [/mm] nennt man [mm] $\text{Re}(z):=a$ [/mm] den Realteil und [mm] $\text{Im}(z):=b$ [/mm] den Imaginärteil von [mm] $z\,.$ [/mm]
Wenn Du [mm] $\phi \mapsto e^{i \phi}$ [/mm] noch nicht kennst, dann lies' oben bei Loddar weiter.
Gruß,
Marcel
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