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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:11 Fr 23.03.2007 | | Autor: | kati93 |
[Dateianhang nicht öffentlich]
Also mit dem Begründen steh ich anscheinend total auf Kriegfuss! Ich hab hier schon wieder so ne komische Aufgabe! Mag sein,dass sie vielleicht ziemlich einfach ist, aber ich versteh es leider trotzdem nicht... :-(
Ich scheiter ehrlich gesagt schon an der Teilaufgabe a), hab aber irgendwie die Hoffnung,dass da ein bisschen System dahintersteckt und dass ich,wenn ich die a) verstanden hab, auch den Rest lösen kann...
Mir geht es jetzt erstmal nur um den x-Wert von Q' :
-->find den griechischen Buchstaben der in der Aufgabe verwendet wurde leider nicht,deshalb nenn ich ihn jetzt einfach mal [mm] \beta
[/mm]
für diesen soll ja gelten:
[mm] =cos(\beta)*x_{Q} [/mm] - [mm] sin(\beta)*y_{Q}
[/mm]
Und das versteh ich einfach nicht! Ich hab den [mm] sin(\beta) [/mm] und den [mm] cos(\beta) [/mm] in meiner Skizze mal farbig markiert. Der sinus ist rosa und der cosinus türkis.
Ich versteh einfach nicht, wie die darauf kommen,dass [mm] cos(\beta)*x_{Q} [/mm] - [mm] sin(\beta)*y_{Q} [/mm] der x-Wert von Q' ist!
Liebe Grüße,
Kati
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:39 Fr 23.03.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo Kati
Du versuchst das geometrisch direkt abzulesen, das geht, waer aber wieder eine Art Beweis fuer ein Additionstheorem.
schreib einfacher [mm] x_{Q'}=cos(\alpha+\phi) [/mm] entsprechend [mm] y_{Q'} [/mm] und verwend die Additionssaetze fuer sin und cos, die du kennst.
b) ist dann einfach die Aufgabe a) mit r multipliziert, da sich Laengen bei Drehung nicht aendern.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:16 Fr 23.03.2007 | | Autor: | kati93 |
Ohhh, das war jetzt glaub ich etwas zu schnell für mein langsames Gehirn... 
ich versteh einfach nicht warum $ [mm] x_{Q'}=cos(\alpha+\phi) [/mm] $ ?
Vielleicht hab ich hier ja auch ein grundlegendes Problem mit der Zeichnung... Wenn ich mir die so anguck,dann hat ja Q' die gleichen Koordinaten wie Q , nur eben negativ!
Ich versteh einfach nicht warum [mm] cos(\alpha+\phi) [/mm] die Koordinate von [mm] x_{Q'} [/mm] darstellt... Ich kann es mir anhand von der Zeichnung einfach nicht vorstellen... :-(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:53 Fr 23.03.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo Kati
Nein, Q' ist nicht gespiegelt, sondern gedreht, d.h. die x Koordinate ist NICHT die negative von Q.
Wie habt ihr sin und cos eingefuehrt? am Kreis oder nur am rechtwinkligen Dreieck?
am Kreis ist immer die x-Koordinate der cos des Winkels, der von der pos x-Achse ausgeht, hier also [mm] \alpha+\varphi [/mm] .
Wenn dus nur am rechtwinkligen Dreieck kannst, mal das Dreieck ,das [mm] x_{Q'} [/mm] und [mm] y_{Q'} [/mm] hat, der Winkel in der Mitte ist dann [mm] \beta=180-(\varphi+\alpha), [/mm] davon ist dann x=cos und y=sin.
sin(180-a)=sina und cos(180-a)=-cosa, wenn du willst kannst du das mit den Additionssaetzen beweisen
deshalb ist [mm] x_{Q'}=cos(\beta)-cos(\alpha+\varphi) [/mm] und [mm] y_{Q'}-sin(\beta)=sin(\alpha+\varphi)
[/mm]
ich hoff es ist jetzt klare, zeichne den Winkel [mm] \beta [/mm] dazu in deine Zeichnung ein, von der neg x-Achse zur Geraden, auf der Q' liegt.
Gruss leduart
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 09:45 Sa 24.03.2007 | | Autor: | kati93 |
Guten Morgen leduart,
mir ist das alles leider immer noch nicht ganz klar.
Ich glaub ich hab schon mit den grundsätzlichen Sachen Probleme:
-Was genau ist der Unterschied zwischen drehen und spiegeln? Ich mein,wenn ich mir die Zeichnung so anguck, sieht das für mich symmetrisch aus und ich bin eigentlich fest davon ausgegangen,dass Q' [mm] =(-x_{Q}/y_{Q}) [/mm] ist.
"am Kreis ist immer die x-Koordinate der cos des Winkels, der von der pos x-Achse ausgeht, hier also $ [mm] \alpha+\varphi. [/mm] $"
-Grundsätzlich ist mir klar,dass die x-Koordinate der cos des Winkels ist. Nur versteh ich nicht ganz, warum es in diesem Fall um $ [mm] \alpha+\varphi. [/mm] $ geht. Der cos von [mm] \alpha [/mm] ist doch die x-Koordinate.
Ich kann mir grad ehrlich gesagt auch nicht vorstellen wie ich mir zu dem Winkel $ [mm] \alpha+\varphi. [/mm] $ ein rechtwinkliges Dreieck einzeichnen soll...
Ich bin grad einfach total verwirrt....
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:09 Sa 24.03.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Kati!
Leider ist Deine obige Skizze etwas unglücklich, da dort wirklich eine (achsen)symmetrische Darstellung vorzuliegen scheint.
Bei einer Drehung wird ein beliebiger Punkt mit festem Abstand $r_$ um einen festen Drehpunkt (hier: der Koordinatenursprung) gedreht.
Hier ist immer der Abstand von Ursprungspunkt $Q_$ bzw. Bildpunkt $Q'_$ zum Drehpunkt $O_$ konstant: [mm] $\left|\overline{OQ}\right| [/mm] \ =\ [mm] \left|\overline{OQ'}\right|$ [/mm] .
Stell' Dir den Punkt $Q_$ verbunden mit einer Schnur an den Koordinatenurspung vor. Wenn ich nun am Ende der Schnur mich bewege, wird ein Kreis beschrieben, auf welchem nun der Bildpunkt $Q'_$ landen kann. Zum Beispiel kann der Bildpunkt $Q'_$ durch den Drehwinkel [mm] $\varphi [/mm] \ = \ [mm] 90°-\alpha$ [/mm] (siehe Skizze oben) auf dem Punkt $Q' \ [mm] \left(0|1\right)$ [/mm] landen (dort kommst mit eine Spiegelung zur y-Achse nicht hin).
Bei einer ![[]](/images/popup.gif) (Achsen-)Spiegelung (z.B. zur y-Achse) haben wir eine Gerade (z.B. die y-Achse) gegeben, zu welcher der Abstand zwischen Ursprungspunkt und Bildpunkt konstant bleibt. Genauer: die Spiegelachse halbiert die Länge der Strecke [mm] $\left|\overline{QQ'}\right|$ [/mm] .
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:17 Sa 24.03.2007 | | Autor: | kati93 |
Ahhh, alles klar! Das hab ich jetzt verstanden! Das war wirklich ne super hilfreiche Erklärung! Vielen lieben Dank!
PS: In der Zeichnung sieht es wirklich wie gespiegelt aus! 
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:01 Sa 24.03.2007 | | Autor: | kati93 |
Ach so , der Weg wie du die Aufgabe gelöst hast, ist mir übrigens trotzdem relativ klar (wobei ich die grundlegenden Sachen in der vorigen Frage trotzdem nicht versteh)!
Ich hab das jetzt zu erst mal bei der x-Koordinate versucht.
Also: der Winkel den ich in negativem x-Bereich brauch ist [mm] \beta=180°-(\varphi+\alpha)! [/mm] Was mir jetzt auch klar ist. Ich hab ehrlich gesagt bisher angenommen,dass der Winkel [mm] \varphi [/mm] bei 90° endet...
So,dann hab ich [mm] \varphi [/mm] + [mm] \alpha=z [/mm] gesetzt
dann: sin(180°-z)
=sin(z) --> [mm] sin(\varphi [/mm] + [mm] \alpha)
[/mm]
[mm] =sin(\varphi)*cos( \alpha)+cos(\varphi)*sin( \alpha)
[/mm]
[mm] =sin(\varphi)*x_{Q} [/mm] + [mm] cos(\varphi)*y_{Q}
[/mm]
Aber da stimmt ja auch was nicht!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:31 Sa 24.03.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Kati!
Nun mal langsam ... am Einheitskreis gelten doch folgende Beziehungen für unseren Ausgangspunkt $Q \ [mm] \left( \ x_Q \ | \ y_Q \ \right)$ [/mm] :
[mm] $\blue{x_Q \ = \ \cos(\alpha)}$ [/mm] sowie [mm] $\red{y_Q \ = \ \sin(\alpha)}$
[/mm]
Entprechend sehen doch auch die Ausdrücke für einen beliebigen Bildpunkt $Q' \ [mm] \left( \ x_{Q'} \ | \ y_{Q'} \ \right)$ [/mm] aus, der durch Drehung um den Drehwinkel [mm] $\varphi$ [/mm] entsteht. Der Gesamtwinkel zur x-Achse beträgt demnach [mm] $\alpha' [/mm] \ = \ [mm] \alpha+\varphi$ [/mm] :
[mm] $x_{Q'} [/mm] \ = \ [mm] \cos(\alpha') [/mm] \ = \ [mm] \cos(\alpha+\varphi)$ [/mm] sowie [mm] $y_{Q'} [/mm] \ = \ [mm] \sin(\alpha') [/mm] \ = \ [mm] \sin(\alpha+\varphi)$
[/mm]
Und nun wenden wir z.B. für den x-Wert das entsprechende Additionstheorem an:
[mm] $x_{Q'} [/mm] \ = \ [mm] \cos(\alpha+\varphi) [/mm] \ = \ [mm] \blue{\cos(\alpha)}*\cos(\varphi)-\red{\sin(\alpha)}*\sin(\varphi) [/mm] \ = \ ...$
Durch Einsetzen der entprechenden Winkelwerte für [mm] $\alpha$ [/mm] (siehe farbige Markierungen) erhalten wir dann unser gewünschtes Ergebnis.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:27 Sa 24.03.2007 | | Autor: | kati93 |
Ja,soweit hab ich das auch verstanden! Ich hab meinen Fehler eben selbst gemerkt! Ich hab y berechnet und nicht x (hab ja sin(180°-z) gerechnet) !
Jetzt hauts natürlich hin! Danke dir!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:35 Sa 24.03.2007 | | Autor: | kati93 |
Tut mir leid, ich schon wieder. Ich hab leider immer noch zwei Fragen zu der Aufgabe.
einmal noch zur a)
[mm] y_{Q'} [/mm] hab ich richtig begründen können,aber bei [mm] x_{Q'} [/mm] hab ich nochmal ne kurze Frage
Meine Rechnung:
[mm] \beta=180°-(\phi+\alpha)= [/mm] 180° - z
cos(180°-z)
=cos(180°)*cos(z) + sin(180°)*sin(z)
= (-1)*cos(z)+ 0*sin(z)
= - cos(z)
und wenn ich da jetzt [mm] z=\phi+\alpha [/mm] setze:
- [mm] cos(\phi+\alpha)
[/mm]
= - ( [mm] cos(\phi)*cos(\alpha) [/mm] - [mm] sin(\phi)*sin(\alpha) [/mm] )
= - [mm] cos(\phi)*x_{Q} [/mm] + [mm] sin(\phi)*y_{Q}
[/mm]
Aber das Ergebnis sollte ja, von den Vorzeichen her grad umgekehrt sein!
Wenn ich es also mit [mm] cos(\phi+\alpha) [/mm] mache, komme ich auf das geforderte Ergebnis! Aber ich hab ja bei meiner Rechnung - [mm] cos(\phi+\alpha)heraus [/mm] und ich finde da einfach keinen Fehler....
Meine zweite Frage bezieht sich auf die Aufgabe b:
Mir ist immer noch nicht ganz klar,wie ich das rechnerisch begründen soll. Ich kann ja nicht einfach sagen,dass sich die Länge bei einer Drehung nicht ändert....
Danke nochmal für eure Hilfe
LG, Kati
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:51 So 25.03.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. [mm] \phi+\alpha<90˚ [/mm] dann [mm] \beta= \phi+\alpha, x_{Q'}=cos\beta=cos( \phi+\alpha)
[/mm]
das ist wenn Q' im 1. Quadranten liegt, anders als in der Zeichnung.
2. [mm] \phi+\alpha>90˚ [/mm] wie in Zeichnung: [mm] x_{Q'}=-cos{\beta}=+cos( \phi+\alpha)
[/mm]
Du hast nicht beruecksichtigt, dass xQ' links, also im negativen liegt, aber cos von dem Winkel <90˚ ja immer positiv ist.
zu b) doch, das genau kannst du sagen, denn sonst wuesstesst du ja gar nicht, wo P' liegt.
anderes Argument, bei der Drehung bewegt sich P auf dem Kreis mit Radius r, also hat P deshalb immer denselben Abstand. Aber genau das heisst ja drehung!
wenn du das nicht magst, sag einfach [mm] x_{P'}=-r*cos\beta [/mm] und verwend deine Umrechnung aus a
Gruss leduart
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:15 So 25.03.2007 | | Autor: | kati93 |
okay, vielen lieben Dank Leduart!!!
Und noch einen schönen Sonntag!
Liebe Grüße,
Kati
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