Begriffserklärung Konvergenz < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:37 Fr 16.06.2006 | | Autor: | iosis |
Hallo,
kann mir jemand erklären, was ich unter einer Konvergenz verstehen soll?
Die Formel, was man wie errechnet die hab ich, nur leider versteh ich davon noch nicht, was es mit der Konvergenz auf sich hat!
Gruß
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:05 Fr 16.06.2006 | | Autor: | Hanno |
Hallo!
Dem Begriff der Konvergenz ist der des anschaulich klaren Grenzwertes sehr verwandt.
Bleiben wir mal im [mm] $\IR$:
[/mm]
Wir sagen, eine Folge [mm] $(x_n)_{n\in \IN}$ [/mm] von reellen Zahlen [mm] $x_n$ [/mm] konvergiere gegen den Grenzwert [mm] $x\in \IR$, [/mm] wenn es für alle [mm] $\epsilon>0$ [/mm] ein [mm] $n_{\epsilon}$ [/mm] so gibt, dass [mm] $|x-x_n|<\epsilon$ [/mm] für alle [mm] $n\geq n_{\epsilon}$ [/mm] gilt.
Anschaulich bedeutet das, dass die [mm] $x_n$ [/mm] dem Grenzwert $x$ für hinreichend späte Indizes beliebig nahe kommen. Wenn $x$ der Grenzwert der Folge [mm] $(x_n)_{n\in\IN}$ [/mm] ist, so sagen wir, dass [mm] $(x_n)_{n\in \IN}$ [/mm] gegen $x$ konvergiere - dies ist lediglich eine andere Formulierung.
Beispielsweise ist $0$ der Grenzwert/Limes der Folge [mm] $\left(\frac{1}{n}\right)_{n\in\IN}$, [/mm] oder - anders formuliert - die Folge [mm] $\left(\frac{1}{n}\right)_{n\in\IN}$ [/mm] konvergiert gegen $0$ (man nennt die Folge dann eine Nullfolge).
Eine Folge, die nicht konvergiert, also keinen Grenzwert besitzt, nennen wir divergent. Beachte dabei, dass eine divergente Folge nicht unbedingt gegen unendlich laufen oder unbeschränkt sein muss. Beispielsweise ist die Folge [mm] $((-1)^n)_{n\in \IN}$ [/mm] zwar beschränkt, aber nicht divergent. Sie besitzt lediglich die Häufungspunkte $-1$ und $1$, rückt aber keinem dieser Punkte ab einem bestimmten Index beliebig nahe.
Liebe Grüße,
Hanno
|
|
|
|
