Bedingungen für Messbarkeit < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 13:23 Mo 07.11.2016 | | Autor: | Septime |
| Aufgabe | Sei Ω eine überabzählbare Menge und sei S die Sigma-Algebra von allen Teilmengen von Ω, welche entweder abzählbar sind oder deren Komplement abzählbar sind. Sie können annehmen, dass das eine Sigma-Algebra ist.
a) Geben Sie eine notwendige und hinreichende Bedingung für die Messbarkeit einer numerischen Funktion g:Ω→ℝ∪{∞}.
b) Sei [mm] \mu:S [/mm] → [0, ∞] definiert als
[mm] \mu(A)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } A \mbox{ abzählbar} \\ \infty , & \mbox{sonst } \end{cases}
[/mm]
Wir wissen, dass [mm] \mu [/mm] ein Maß auf (Ω ,S) ist. Was sind die f-integrierbaren Funktionen? Was sind ihre Integrale? |
Hallo Leute!
Hier sind meine Ideen.
a) Sei g: (Ω ,S) → (ℝ∪{∞},B). Dann ist eine notwendige Bedingung, dass (ℝ∪{∞},B) ein Messraum ist, dh. insbesondere muss B eine Sigma Algebra sein.
Als hinreichende Bedingung habe ich, dass [mm] g^{-1}(A_{2}) [/mm] oder das Komplement von [mm] g^{-1}(A_{2}) [/mm] abzählbar sein muss für alle [mm] A_{2} [/mm] aus B, wobei (ℝ∪{∞},B) ein Messraum ist.
b) Sei f:Ω→ ℝ∪{∞},
[mm] f(x)=\begin{cases} c, & \mbox{für } x \mbox{ abzählbar} \\ 0, & \mbox{für } x \mbox{ überabzählbar} \end{cases} [/mm] mit c aus ℝ∪{∞}.
Dann ist f für alle c aus ℝ∪{∞} [mm] \mu-integrierbar [/mm] und das Integral ist
[mm] \integral_{ Ω }^{}{|f(x)| d\mu(x)}=c*\mu(y)+0*\mu(z)=c*0+0*\infty [/mm] = 0, wobei y abzählbär ist und z überabzählbar ist.
Ich freue mich auf jede Antwort.
Gruß
Septime
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:22 Mi 09.11.2016 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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