Bedingter Erwartungswert < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:15 Fr 13.12.2013 | | Autor: | FrogThomas |
| Aufgabe | Eine faire Münze wird 20-mal geworfen. Die Zufallsvariablen $ [mm] X_{1}, \dots, X_{20} \in \{0, 1\} [/mm] $ sollen die Ergebnisse der Einzelwürfe bezeichnen (1 entspricht "Kopf", 0 entspricht "Wappen").
Für $ n [mm] \in \{1, \dots, 20\} [/mm] $ sei $ [mm] S_{n} [/mm] = [mm] X_{1} [/mm] + [mm] \cdots [/mm] + [mm] X_{n} [/mm] $ die Anzahl der Wurfergebnisse "Kopf" aus den ersten $ n $ Würfen.
Berechnen Sie den bedingten Erwartungswert $ [mm] E(S_{20}|S_{5} [/mm] = t) $ für $ t [mm] \in \{0, \dots, 5\} [/mm] $. |
In der Vorlesung wurde der bedingte Erwartungswert wie folgt definiert
$ E(Y|X=x) = [mm] E(Y|X_{1}=x_{1}, \dots, X_{M}=x_{m}) [/mm] = [mm] \begin{cases} \summe_{y}y\;p(y|x_{1}, \dots, x_{M}), & \mbox{diskret} \\ \integral_{-\infty}^{+\infty}{y\;p(y|x_{1}, \dots, x_{M}) dy}, & \mbox{stetig} \end{cases} [/mm] $ .
Bezogen auf die Aufgabenstellung ergibt sich also
$ [mm] E(S_{20}|S_{5} [/mm] = t) = [mm] \summe_{i=1}^{20}s_{i}\;p(s_{i}|s_{1}, \dots, s_{5}) [/mm] $.
Meine Vermutung ist, dass die Summe für zwei unterschiedliche bedingte Wahrscheinlichkeiten aufgespalten werden muss. Nimmt man beispielsweise den Fall $ [mm] s_{5} [/mm] = 0 $, so lautete das einzig mögliche Ereignis $ [mm] s_{1} [/mm] = 0, [mm] s_{2} [/mm] = 0, [mm] s_{3} [/mm] = 0, [mm] s_{4} [/mm] = 0, [mm] s_{5} [/mm] = 0 $. Betrachtet man nun die bedingten Wahrscheinlichkeiten, müssen diese im Falle von $ i = 16, [mm] \dots, [/mm] 20 $ den Wert $ 0 $ annehmen. Schließlich kann $ [mm] s_{i} [/mm] $, wenn $ t = 0 $ gilt, maximal den Wert $15$ annehmen.
Soweit meine Überlegungen. Leider komme ich damit aber nicht weiter. Wer kann helfen?
Musterlösung: $ [mm] E(S_{20}|S_{5}) [/mm] = [mm] t+\bruch{15}{2} [/mm] $.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Kannst du mir erklären wie du auf deine bedingte Wahrscheinlichkeit gekommen bist?
Könntest du auch noch mal nachsehen, ob das Intervall für $ x [mm] \in [/mm] t, [mm] \dots, [/mm] 20 $ tatsächlich korrekt ist. Das würde dann ja z. B. bei $ t=0 $ zu den Binomialkoeffizienten $ [mm] \binom{15}{16}, \dots, \binom{15}{20} [/mm] $ führen. Diese sind aber nicht definiert?!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:31 So 15.12.2013 | | Autor: | luis52 |
> Kannst du mir erklären wie du auf deine bedingte
> Wahrscheinlichkeit gekommen bist?
[mm] \begin{matrix}
P(S_{20}=x\mid S_5=t)&=&\dfrac{P(S_{20}=x,S_5=t)}{P(S_5=t))} \\
&=&\dfrac{P(X_6+\dots+X_{20}=x-t, S_5=t)}{P(S_5=t))} \\
&=&\dfrac{P(X_6+\dots+X_{20}=x-t)P(S_5=t)}{P(S_5=t))} \\
&=&P(X_6+\dots+X_{20}=x-t)
\end{matrix}
[/mm]
>
> Könntest du auch noch mal nachsehen, ob das Intervall für
> [mm]x \in t, \dots, 20[/mm] tatsächlich korrekt ist. Das würde
> dann ja z. B. bei [mm]t=0[/mm] zu den Binomialkoeffizienten
> [mm]\binom{15}{16}, \dots, \binom{15}{20}[/mm] führen. Diese sind
> aber nicht definiert?!
Doch, sie sind dann $=0$.
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Moin!
Also laut Formelsammlung sind nur Binominialkoeffizienten der Form [mm] $\binom{m}{k}$ [/mm] mit $k [mm] \le [/mm] m$ definiert.
Aus der Aufgabenstellung geht hervor, dass $ [mm] S_{n} [/mm] = [mm] X_{1} [/mm] + [mm] \cdots [/mm] + [mm] X_{n} [/mm] $. (In meinen weiteren Ausführungen habe ich fälschlicherweise [mm] $\left.i\right.$ [/mm] für den Index verwendet anstellt von [mm] $\left.n\right.$). [/mm] Mir geht es aber eigentlich darum, dass es sich bei diesem Ausdruck immer um die Summe über die ersten [mm] $\left.n\right.$-Elemente [/mm] handelt. Insofern können [mm] $X_1, \dots, X_5$ [/mm] nicht einfach so ausgespart werden. Die Entsprechung von [mm] $S_{20}$ [/mm] wäre demnach [mm] $\summe_{i=1}^{20}X_i [/mm] = [mm] X_1 [/mm] + [mm] X_2 [/mm] + [mm] \cdots [/mm] + [mm] X_{19} [/mm] + [mm] X_{20}$.
[/mm]
Sorry das ich dir ständig so vehement Widerspreche. Das soll nicht böse gemeint sein. Ich bin dankbar um jede Hilfe! Wenn ich die Musterlösung betrachte, dann erscheint mir diese vollkommen logisch. Ich scheitere allerdings kläglich, wenn es darum geht diese mit einem Rechenweg zu begründen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:31 Mo 16.12.2013 | | Autor: | luis52 |
> Moin!
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> Also laut Formelsammlung sind nur Binominialkoeffizienten
> der Form [mm]\binom{m}{k}[/mm] mit [mm]k \le m[/mm] definiert.
![[]](/images/popup.gif) Da schau her. Ist fuer deine Zwecke guenstig, es so zu definieren.
>
> Aus der Aufgabenstellung geht hervor, dass [mm]S_{n} = X_{1} + \cdots + X_{n} [/mm].
> (In meinen weiteren Ausführungen habe ich
> fälschlicherweise [mm]\left.i\right.[/mm] für den Index verwendet
> anstellt von [mm]\left.n\right.[/mm]). Mir geht es aber eigentlich
> darum, dass es sich bei diesem Ausdruck immer um die Summe
> über die ersten [mm]\left.n\right.[/mm]-Elemente handelt. Insofern
> können [mm]X_1, \dots, X_5[/mm] nicht einfach so ausgespart werden.
Werden Sie ja nicht:
[mm] $(X_1+\dots+X_{20}=x,S_{5}=t)=(S_5+X_6+\dots+X_{20}=x,S_{5}=t)=
[/mm]
[mm] (t+X_6+\dots+X_{20}=x,S_{5}=t)=(X_6+\dots+X_{20}=x-t,S_{5}=t)$.
[/mm]
> Die Entsprechung von [mm]S_{20}[/mm] wäre demnach
> [mm]\summe_{i=1}^{20}X_i = X_1 + X_2 + \cdots + X_{19} + X_{20}[/mm].
>
> Sorry das ich dir ständig so vehement Widerspreche.
> Das soll nicht böse gemeint sein. Ich bin dankbar um jede
> Hilfe! Wenn ich die Musterlösung betrachte, dann erscheint
> mir diese vollkommen logisch. Ich scheitere allerdings
> kläglich, wenn es darum geht diese mit einem Rechenweg zu
> begründen.
Kein Problem, kaempfen wir weiter. 
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