Bedingter Erwartungswert < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | X sei eine reellwertige Zufallsvariable auf [mm] (\Omega,\mathcal{A},\IP) [/mm] mit [mm] $E(X^{2}) [/mm] < [mm] \infty$. \mathcal{F}\subset\mathcal{A} [/mm] sei eine weitere [mm] \sigma-Algebra. [/mm] Zeige, dass dann für alle [mm] \mathcal{F}-messbaren [/mm] Y mit [mm] E(Y^{2})<\infty [/mm] gilt:
[mm] $E\left[\Big(X-E(X|\mathcal{F})\Big)^{2}\right] [/mm] + [mm] E\left[\Big(E(X|\mathcal{F})-Y\Big)^{2}\right] [/mm] = [mm] E\Big((X-Y)^{2}\Big)$.
[/mm]
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Hallo!
Bei dieser Aufgabe komme ich nicht weiter. Ich habe bereits folgenden Ansatz:
[mm] $E\Big((X-Y)^{2}\Big) [/mm] = [mm] E\Big((X-E(X|\mathcal{F}) [/mm] + [mm] E(X|\mathcal{F})-Y)^{2}\Big) [/mm] = [mm] E\left[\Big(X-E(X|\mathcal{F})\Big)^{2}\right] [/mm] + [mm] E\left[\Big(E(X|\mathcal{F})-Y\Big)^{2}\right] [/mm] + [mm] 2*E\left[\Big(X-E(X|\mathcal{F})\Big)*\Big(E(X|\mathcal{F})-Y\Big)\right]$
[/mm]
Das heißt ich muss noch zeigen, dass
$0 = [mm] E\left[\Big(X-E(X|\mathcal{F})\Big)*\Big(E(X|\mathcal{F})-Y\Big)\right] [/mm] = -E(X*Y) - [mm] E\left[E(X|\mathcal{F})^{2}\right] [/mm] + [mm] E\left[(X+Y)*E(X|\mathcal{F})\right]$.
[/mm]
Aber wie mache ich das? X, Y, usw. sind ja alle nicht notwendig unabhängig...
Vielen Dank für Eure Hilfe!
Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:08 Mi 16.06.2010 | | Autor: | felixf |
Moin Stefan!
Vielleicht hilft es dir, dass $E[Y | [mm] \mathcal{F}] [/mm] = Y$ ist?
LG Felix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:20 Fr 18.06.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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