Bedingte Wahrscheinlichkeiten < Kombinatorik < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:12 Sa 21.07.2012 | | Autor: | Drno |
| Aufgabe | Es gilt z.B.: p(a|b) = [mm] \bruch{p(a,b)}{p(b)}
[/mm]
Zeigen Sie dass
p(a,b|c,d,e) = p(a|b,c) p(b|d,e)
immer gilt, oder welche Vorraussetzungen nötig sind. |
Bei einer Herleitung bin ich über obige Gleichung gestolpert und, vielleicht sehe ich den Wald vor lauter Bäumen nicht, aber mir ist nicht klar warum die Gleichung gilt, oder ob es sich dabei um einen Spezialfall handelt.
Ich wäre froh, wenn mir jemand dabei weiterhelfen könnte. Ich stehe hier zielich auf dem Schlauch...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:48 So 22.07.2012 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
> Es gilt z.B.: p(a|b) = [mm]\bruch{p(a,b)}{p(b)}[/mm]
> Zeigen Sie dass
>
> p(a,b|c,d,e) = p(a|b,c) p(b|d,e)
>
> immer gilt...
Bitte erkläre uns zunächst, was die Schreibweise 'c,d,e' meint. Sie ist nämlich nicht gebräuchlich. Es ist zwar augenscheinlich klar, was man hinsichtlich der Bedeutung vermuten soll, aber es ist nicht zuviel verlangt, das richtig auszuschreiben, bevor es zu Missverständnissen kommt. Beachte die Möglichkeiten, die unser LaTeX-Editor hier zur Verfügung stellt!
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:50 So 22.07.2012 | | Autor: | Drno |
Also, wenn ich das richtig verstehe, dann bedeutet die Schreibweise p(a,b|c,d,e) soviel wie: (betrachtet ist der diskrete Fall)
p(a,b|c,d,e) ist die Wahrscheinlichkeit für das gemeinsame Ereignis A=a und B=b unter der Vorraussetzung dass C=c, D=d und E=e, wobei A,B,C,D und E Zufallsvariablen sind und a,b,c,d,e entsprechende Ereignisse sind.
Es gilt dann z.B.:
1 = [mm] \summe_{a'}\summe_{b'} [/mm] p(a',b'|c,d,e)
oder z.B.:
p(a,b|c,d,e) = [mm] \bruch{p(a,b,c,d,e) }{p(c,d,e) }
[/mm]
währen C,D und E unabhängig, dann würde gelten
p(c,d,e) = p(c)*p(d)*p(e)
Ich bin jetzt nicht sicher, ob es das ist was du gemeint hast. Ich hoffe ich konnte etwas Klarheit in die Sache bringen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:06 So 22.07.2012 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
> Ich bin jetzt nicht sicher, ob es das ist was du gemeint
> hast. Ich hoffe ich konnte etwas Klarheit in die Sache
> bringen.
Nein, das habe ich nicht gemeint. Gemeint habe ich folgendes: Ereignisse sind Mengen. Also muss sich hinter dem Komma irgendeine Mengenverknüpfung verbergen. Natürlich ist es die Schnittmenge, die man für gewöhnlich so schreibt:
[mm] A\cap{B}
[/mm]
Wie kommst du zu der ungewöhnlichen Schreibweise (ich nahm an, dass du die Möglichkeiten hinsichtlich LaTeX hier noch nicht so kennst, aber vielleicht ist meine Annahme ja auch ganz verkehrt)?
Gruß, Diophant
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:55 Mo 23.07.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Ach so  , ja genau, hinter dem Komma verbirgt sich der
> Schnitt.
> (Ich bin gewohnt, dass Komma zu nutzen, siehe z.B.
> ![[]](/images/popup.gif) Joint_probability_distribution.
> Ist vermutlich nicht die sauberste Art das aufzuschreiben
> )
Allerdings die gebraeuchlichste.
> Man könnte also auch schreiben
>
> Wann gilt:
>
> [mm]p(a\cap b|c\cap d\cap[/mm] e) = [mm]p(a|b\cap c)*p(b|d\cap[/mm] e)
Du hast doch schon $P(a, b [mm] \mid [/mm] c, d, e) = [mm] \frac{P(a, b, c, d, e)}{P(c, d, e)}$ [/mm] bestimmt. Weiterhin ist $P(a [mm] \mid [/mm] b, c) = [mm] \frac{P(a, b, c)}{P(b, c)}$ [/mm] und $P(b [mm] \mid [/mm] d, e) = [mm] \frac{P(b, d, e)}{P(d, e)}$. [/mm] Damit gilt die Gleichung genau dann, wenn $P(a, b, c, d, e) P(d, e) P(b, c) = P(a, b, c) P(b, d, e) P(c, d, e)$ ist.
Ich bezweifle jetzt mal arg, dass dies immer gilt. Ich vermute, man wird da auch recht einfach ein Gegenbeispiel finden koennen, etwa eins bei dem die linke Seite gleich 0 ist (weil $P(a, b, c, d, e) = 0$ ist), die rechte Seite jedoch nicht.
Wenn du annimmst, dass einige der Zufallsvariablen unabhaengig zueinander sind, kannst du vermutlich die Aussage beweisen. Die Frage ist dann allerdings, ob bedingte Wahrscheinlichkeiten dann ueberhaupt noch interessant sind...
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:44 Mo 23.07.2012 | | Autor: | Drno |
Ja genau, generell gilt das nicht. Ich habe mir den Zusammenhang noch mal angeschaut, leider war da noch ein Fehler in der Herleitung. Der Zusammenhang müsste lauten:
$ [mm] p(a\cap b|c\cap d\cap [/mm] e) = [mm] p(a|b\cap c)\cdot{}p(b|c \cap d\cap [/mm] e) $
(ein c im letzten Term fehlte)
Und, wie ich aus einem Vergleich mit einer anderen Quelle erfahren habe, gilt diese natürlich nur, falls
[mm] $p(a|b\cap [/mm] c) = [mm] p(a|b\cap c\cap d\cap [/mm] e)$
Leider war das nicht näher erläutert. Allgemein gilt also:
$ [mm] p(a\cap b|c\cap d\cap [/mm] e) = [mm] p(a|b\cap c\cap d\cap e)\cdot{}p(b|c \cap d\cap [/mm] e) $
oder in Komma-Schreibweise:
$p(a, b|c, d, e) = p(a|b, c, d, [mm] e)\cdot [/mm] p(b|c , d, e) $
Korrigiert mich bitte, wenn ich falsch liege. Danke für alle Antworten.
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