Bedingte Wahrscheinlichkeiten < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegebn sei ein Ereignis F in der Ergebnismenge [mm] \Omega [/mm] mit P(F)>0. Bedingte Wahrscheinlichkeiten definiert für die Ergebnismenge [mm] \Omega [/mm] gehorchen auch den drei Wahrscheinlichkeitsaxiomen für Ereignisse $ [mm] E_1,E_2\subseteq\Omega [/mm] $.
(I) $ [mm] 0\le P(E_1|F)\le [/mm] 1 $
(II) $ [mm] P(\Omega [/mm] | F)=1 $
(III) $ [mm] E_1 \cap E_2=\emptyset \Rightarrow P(E_1\cup E_2 [/mm] | [mm] F)=P(E_1 [/mm] | [mm] F)+P(E_2 [/mm] | F) $
Bestätigen Sie diese Tatsache unter Verwendung von relativen Häufigkeiten.
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Hallo,
zu (I)
also, es ist mal vorgegeben, dass wir relative Häufigkeiten nutzen sollen. Für eine Wahrscheinlichkeit gilt ja demnach:
(1) [mm] P(F)=\bruch{n_F}{n_{Total}} [/mm] für [mm] n_{Total}\rightarrow\infty
[/mm]
(2) [mm] P(E_1|F)=\bruch{P(E_1 \cap F)}{P(F)}
[/mm]
Ich kann erschließen, dass [mm] P(E_1 \cap [/mm] F) [mm] \le [/mm] P(F) . Für P(F) kann ich aus (1) dann zeigen, dass :
Für [mm] n_F=0 [/mm] ist P(F)=0 für [mm] n_F\rightarrow\infty [/mm] ist P(F)=1 also muss das auch für [mm] P(E_1 \cap [/mm] F) aus der (2) gelten. Wenn jetzt auch [mm] P(E_1 \cap [/mm] F) [mm] \le [/mm] P(F) gilt muss auch [mm] P(E_1|F) [/mm] zwischen 0 und 1 liegen.
Für das zweite Axiom bin ich mir nicht ganz sicher:
$ P( [mm] \Omega \cap [/mm] F)=P(F) $ Für P(F) habe ich in (I) gezeigt, dass es zwischen 0 und 1 liegt. nach der def. (2) teile ich dann P(F) durch P(F) und erhalte zwangsläufig 1.
für (III) habe ich leider keine idee, vielleicht kann mir jemand auf die sprünge helfen.
lg,
exeqter
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:27 Mi 28.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo exeqter
> Gegebn sei ein Ereignis F in der Ergebnismenge [mm]\Omega[/mm] mit
> P(F)>0. Bedingte Wahrscheinlichkeiten definiert für die
> Ergebnismenge [mm]\Omega[/mm] gehorchen auch den drei
> Wahrscheinlichkeitsaxiomen für Ereignisse
> [mm]E_1,E_2\subseteq\Omega [/mm].
> (I) [mm]0\le P(E_1|F)\le 1[/mm]
> (II)
> [mm]P(\Omega | F)=1[/mm]
> (III) [mm]E_1 \cap E_2=\emptyset \Rightarrow P(E_1\cup E_2 | F)=P(E_1 | F)+P(E_2 | F)[/mm]
>
> Bestätigen Sie diese Tatsache unter Verwendung von
> relativen Häufigkeiten.
>
> zu (I)
>
> also, es ist mal vorgegeben, dass wir relative
> Häufigkeiten nutzen sollen. Für eine Wahrscheinlichkeit
> gilt ja demnach:
>
> (1) [mm]P(F)=\bruch{n_F}{n_{Total}}[/mm] für
> [mm]n_{Total}\rightarrow\infty[/mm]
Was sollen [mm] $n_F$ [/mm] und [mm] $n_{Total}$ [/mm] sein? Und bist du dir sicher, das hier mit einem Grenzuebergang gearbeitet wird und nicht einfach Kardinalitaeten von endlichen Mengen betrachtet werden?
> (2) [mm]P(E_1|F)=\bruch{P(E_1 \cap F)}{P(F)}[/mm]
>
> Ich kann erschließen, dass [mm]P(E_1 \cap[/mm] F) [mm]\le[/mm] P(F) . Für
> P(F) kann ich aus (1) dann zeigen, dass :
>
> Für [mm]n_F=0[/mm] ist P(F)=0 für [mm]n_F\rightarrow\infty[/mm] ist P(F)=1
???
> also muss das auch für [mm]P(E_1 \cap[/mm] F) aus der (2) gelten.
Was muss dafuer gelten?
> Wenn jetzt auch [mm]P(E_1 \cap[/mm] F) [mm]\le[/mm] P(F) gilt muss auch
> [mm]P(E_1|F)[/mm] zwischen 0 und 1 liegen.
Ja, und [mm] $P(E_1 \cap [/mm] F) [mm] \le [/mm] P(F)$ musst du zeigen.
Wenn du die richtige Definition von $P$ hast, dann ist das auch recht einfach.
> Für das zweite Axiom bin ich mir nicht ganz sicher:
>
> [mm]P( \Omega \cap F)=P(F)[/mm] Für P(F) habe ich in (I) gezeigt,
> dass es zwischen 0 und 1 liegt. nach der def. (2) teile ich
> dann P(F) durch P(F) und erhalte zwangsläufig 1.
Ja.
> für (III) habe ich leider keine idee, vielleicht kann mir
> jemand auf die sprünge helfen.
Wenn [mm] $E_1 \cap E_2 [/mm] = [mm] \emptyset$ [/mm] ist, dann gilt auch [mm] $(E_1 \cap [/mm] F) [mm] \cap (E_2 \cap [/mm] F) = [mm] \emptyset$ [/mm] und somit [mm] $P(E_1 \cap [/mm] F) + [mm] P(E_2 \cap [/mm] F) = [mm] P((E_1 \cap [/mm] F) [mm] \cup (E_2 \cap [/mm] F))$.
LG Felix
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hi,
das problem ist, dass ich die fragen immer aus dem englischen übersetze, dabei geht eventuell ab und zu etwas verloren. das tut mir leid und daher bin ich dir umso dankbarer für die antwort!
[mm] n_F [/mm] soll die Anz. des vorkommens von ereignis F sein. und [mm] n_{Total} [/mm] soll die gesamtzahl der ereignisse darstellen. Jetzt git für [mm] P(F)=\bruch{n_F}{N_{Total}}.
[/mm]
In einem Hinweis wurde konkret gesagt, dass wir mit [mm] n_{Total}\rightarrow\infty [/mm] arbeiten sollen und daraus zeigen, dass die Axiome gelten.
Dann habe ich die Definition von bedingten Wahrscheinlichkeiten genutzt: also, dass [mm] P(E_1|F)=\bruch{P(E_1 \cap F}{P(F)}. [/mm] So jetzt habe ich festgestellt, dass wenn ich [mm] \bruch{P(E_1 \cap F}{P(F)} [/mm] schreibe, kann ich dies laut def. ja ersetzen durch: [mm] \bruch{\bruch{n_{E_1 \cap F}}{n_{Total}}}{\bruch{n_F}{n_{Total}}}=\bruch{n_{E_1 \cap F}}{n_F} [/mm] .
Ich weiß, dass [mm] n_{E_1 \cap F} \le n_F [/mm] und daraus folt ja dann, dass [mm] P(E_1|F) [/mm] zwischen 0 und 1 liegen muss.
ähnlich hab ichs auch für das zweite axiom gemacht.
aber wie würde jetzt mit dieser methode das dritte axiom zu beweisen sein ?
lg,
exe
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:30 Mi 28.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo exe!
> das problem ist, dass ich die fragen immer aus dem
> englischen übersetze, dabei geht eventuell ab und zu etwas
> verloren. das tut mir leid und daher bin ich dir umso
> dankbarer für die antwort!
Kein Problem :)
> [mm]n_F[/mm] soll die Anz. des vorkommens von ereignis F sein. und
> [mm]n_{Total}[/mm] soll die gesamtzahl der ereignisse darstellen.
> Jetzt git für [mm]P(F)=\bruch{n_F}{N_{Total}}.[/mm]
>
> In einem Hinweis wurde konkret gesagt, dass wir mit
> [mm]n_{Total}\rightarrow\infty[/mm] arbeiten sollen und daraus
> zeigen, dass die Axiome gelten.
Das ist aber eine sehr schwammige Definition fuer $P(F)$.
> Dann habe ich die Definition von bedingten
> Wahrscheinlichkeiten genutzt: also, dass
> [mm]P(E_1|F)=\bruch{P(E_1 \cap F}{P(F)}.[/mm] So jetzt habe ich
> festgestellt, dass wenn ich [mm]\bruch{P(E_1 \cap F}{P(F)}[/mm]
> schreibe, kann ich dies laut def. ja ersetzen durch:
> [mm]\bruch{\bruch{n_{E_1 \cap F}}{n_{Total}}}{\bruch{n_F}{n_{Total}}}=\bruch{n_{E_1 \cap F}}{n_F}[/mm]
> .
Genau.
> Ich weiß, dass [mm]n_{E_1 \cap F} \le n_F[/mm] und daraus folt ja
> dann, dass [mm]P(E_1|F)[/mm] zwischen 0 und 1 liegen muss.
Daraus folgt, dass es [mm] $\le [/mm] 1$ ist. Dass es [mm] $\ge [/mm] 0$ ist folgt daraus, dass [mm] $n_{E_1 \cap F}$ [/mm] und [mm] $n_F$ [/mm] nicht-negativ sind.
> ähnlich hab ichs auch für das zweite axiom gemacht.
>
> aber wie würde jetzt mit dieser methode das dritte axiom
> zu beweisen sein ?
Wenn [mm] $E_1 \cap E_2 [/mm] = [mm] \emptyset$ [/mm] ist, dann gilt [mm] $n_{E_1} [/mm] + [mm] n_{E_2} [/mm] = [mm] n_{E_1 \cup E_2}$. [/mm] Kommst du damit weiter?
LG Felix
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