Bedingte Wahrscheinlichkeiten < Wahrscheinlichkeit < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Die Aussagekraft medizinisch-diagnostischer Tests
Eine von zehntausend Personen leidet an einer bestimmten Stoffwechselerkrankung. Für diese Erkrankung gibt es einen diagnostischen test, der bei Kranken mit einer Wahrscheinlichekeit von 90% und bei Gesunden mit einer Wahrscheinlichkeit von 98% die korrekte Diagnose liefert. Eine Person ,die sich dem Test unterzieht erhält ein positives, d.h. für das Vorliegen der Erkrankung sprechendes Testergebnis.
Wie wahrscheinlich ist es, dass dieser Patient tatsächlich erkrankt ist? |
Hallo,
ich schreibe in 2 Tagen eine Mathe-Klausur ,habe aber noch einige Lücken. Z.b. diese Aufgabe, die hatten wir Unterricht kurz besprochen, darum habe ich auch das Ergebnis. Um zu lernen, wollte ich sie nochmal nachrechnen, komme aber einfach nicht auf das richtige Ergebnis. Ich hoffe mir kann jemand helfen, denn diese Klausur ist enorm wichtig.
Als erstes habe ich die Merkmale bestimmt:
Omega = 10 000 (Personen)
1.Merkmal :Gesundheitszustand
A= ´´krank´´
B= ´´nicht krank´´
P(A) = 0,0001
P(B) = 0,9999
2.Merkmal: Diagnose
D=´´korrekte Diagnose´´
D| = ´´falsche Diagnose´´
P in Abhängigkeit von A= Pa(D) = 90%
P in Abhängkeit von B = Pa(D|) 98 %
Hier meine Baumdiagramme:
[Dateianhang nicht öffentlich]
[Dateianhang nicht öffentlich]
An meinen Baum habe ich dann die Wahrscheinlichkeiten geschrieben.
Ich suche laut Aufgabenstellung: Pd(A);
also die Wahrscheinlichkeit mit der eine Person tatsächlich krank ist.
Um das zu berechnen, habe ich die Bayes-Formel angewandt:
Diese lautet ja:
Pb(A) =
P(A) * Pa(B) / P(A) * Pa(B)+ P(B)*P(A|) * Pa|(B)
Dementsprechend habe ich meine Werte eingesetzt:
= 0,0001*0.9 / 0.0001*0,9 + 0.9999*0.98
= 9.1 * 10^-5
Kann mir jemand sagen, was an meinem Rechenweg/meiner Überlegung nicht stimmt?
Das richtige Ergebnis lautet: 0.45%. Doch ich komme einfach nicht darauf.
Bitte um Hilfe.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:09 Sa 08.03.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi,
dein Ansatz mag richtig sein, aber völlig verwirrend:
Wenn du sagst, dass jemand "richtig diagonostiziert" und "falsch diagnostiziert" ist, dann musst du auch immer sehen: Was heißt das. Denn wenn du sagst: Er ist erkrankt, heißt richtig diag. , dass der Test dann sagt "Erkrankt". Wenn er nicht erkrankt ist, dann heißt "richtig diag.", dass "nicht erkrankt" angezeigt wird. Merkst du, dass diese Auswahl völlig verwirrend wird? Denn du musst dann ja auch beim "Bayes" sehen, was was bedeutet. Was heißt "D", wenn du davon ausgehst, dass die Person krankt ist, und was beudeutet "D", wenn du davon ausgehst, dass die Person gesund ist...
Ich würde dir diese Nomenklatur empfehlen, die so immer weiterführt:
A: Krank
B: Gesund
Das ist okay, dann aber:
K: Krank diagnostiziert
G: Gesund diagnostiziert
oder nimm andere Buchstaben. Es ist nur wichtig, dass du einfach stur sagst: Was sagt die Diagnose? Krank oder Gesund, und nicht, wie du es gemacht hast:
Ist die Diagnose "falsch" oder "richtig", denn das führt nur zur Verwirrung, und dann sehr oft zu falschen Ergebnissen.
Versuche, das mal so anzuwenden, und dann richtig weiter zu rechnen. Ich habe mir noch eine "Vierfeldertafel" gezeichnet, vlt. kennst du das dann ja auch, aber so kommst du dann weiter.
Noch einmal, um dir das deutlich zu machen, warum "falsch" und "richtige Diagnose" unsinnvoll ist:
Wenn du gucken willst, wie groß die gefragte Wahrscheinlichkeit ist, dann guckst du dir ja folgendes an:
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Diagnositiziert wird. Dann musst du erstmal gucken: Wann muss ich D und wann muss ich D| nehmen....und das sind unnötige Gedanken.
Probiere es so noch einmal, dann wirst du zum Ziel kommen.
Die 0.45% sind übrigens richtig.
LG
Kroni
|
|
|
| |
|
[Dateianhang nicht öffentlich]
ich hab mir nochmal ne vierfeldertafel gezeichnet und deine nomenklatur übernommen.
Pb(A)= [mm] \bruch{0.0001*0.9}{0.0001*0.9 + 0.9999*0.02}
[/mm]
= 0.45%
Vielen Dank, ich bin froh, dass ich endlich auf die Lösung gekommen bin.
In meiner Mathe-Klausur werde ich höchstwahrscheinlich eine ähnliche Aufgabe bekommen. Kann ich die BayesFormel denn immer anwenden, egal was ich suche oder ist es Zufall, dass sie hier passt und muss ich sie sonst umstellen?
Lg und nochmal VIELEN DANK !
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:22 So 09.03.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi,
schön, dass es funktioniert hat.
Die Bayes-Formel wendest du genau dann an, wenn es um bedingte Wahrscheinnlichkeiten geht. Hier war es ja so, dass du Geguckt hast: Wie groß ist die Wahrscheinlich für "krank" unter der Bedingung, dass auch krank diagnostiziert wurde. Deshalb führt die Bayes-Formel auch hier zum Erfolg. Die Formel nutzt du ja auch indirekt mit der Vierfeldertafel aus.
LG
Kroni
|
|
|
| |
|
Also könnte ich sie auch ohne jegliches umstellen für z.b. gesund diagnostiziert und tätsächlich gesund verwenden? nur dass halt krank dann das gegenereignis ist und ich es dementsprechend in die formel einsetze?
|
|
|
|
