Bedingte Wahrscheinlichkeiten < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Das Ehepaar Müller hat für ihre Enkelin Lena ein Sparkonto eingerichtet, dessen Zugang unter anderem mit einer viertstelligen Geheimzahl (jede Ziffer ist ein Element der Menge {0,...,9}) gesichert ist. Beginnend mit ihrem 16. Geburtstag darf Lena an jedem Geburtstag jeweils dreimal die Geheimzahl raten. Sobald sie an einem Geburtstag die richtige Geheimzahl erraten hat, geben ihr die Großeltern den kompletten Zugang zu ihrem Konto. Nach jedem Versuch erfährt Lena, ob sie die Geheimzahl erraten hat oder nicht. Solang sie die Geheimzahl noch nicht erraten hat, geben ihr die Großeltern die folgenden Zusatzinformationen:
Am 16. Geburtstag erhält sie vor dem Raten keine weiteren Informationen.
Am 17. Geburtstag erfährt sie vor dem Raten, dass die Geheimzahl noch dieselbe wie im Vorjahr ist.
Am 18. Geburtstag erfährt sie vor dem Raten die erste Ziffer der aktuellen Geheimzahl mit dem Hinweis, dass die Geheimzahl gegenüber dem Vorjahr geändert wurde.
Am 19. Geburtstag erfährt sie vor dem Raten die ersten beiden Ziffern der aktuellen Geheimzahl mit dem Hinweis, dass die Geheimzahl gegenüber dem Vorjahr geändert wurde.
Am 20. Geburtstag erfährt sie vor dem Raten die ersten drei Ziffern der aktuellen Geheimzahl mit dem Hinweis, dass die Geheimzahl gegenüber dem Vorjahr geändert wurde.
Am 21. Geburtstag erfährt sie, wenn sie vorher nie richtig geraten hat, die komplette aktuelle Geheimzahl.
Bei einer Änderung wird die neue Geheimzahl mit einem Zufallsgenerator erzeugt. Die Zufallsgröße X gebe Lenas Alter in Jahren zu dem Zeitpunkten an, an dem sie zum ersten Mal Zugang zu ihrem Konto hat. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit P(X=k) für alle [mm] k\in\IN [/mm] und berechnen Sie den Erwartungswert E(X) und die Varianz Var (X). |
Ja, ... die Aufgabenstellung muss man erstmal verdauen :P
Guten Abend erstmal,
Ich habe mal wieder ein paar Fragen zu einer Aufgabe:
Wir behandeln diese Aufgabe im Zusammenhang mit bedingten Wahrscheinlichkeiten und stochastischer Unabhängigkeit, also gehe ich schwer davon aus, dass sie etwas damit zu tun hat.
Nur sehe ich leider nicht was und deswegen habe ich ein Problem an die Aufgabe heranzugehen.
Meine erste Idee war einfach wie auch bei DZE eine Wahrscheinlichkeitverteilung aufzustellen.
Dazu habe ich mir für k=16 überlegt, dass man beim 1. Raten [mm] 10^{4}-Möglichkeiten [/mm] hat, beim 2. Raten [mm] 10^{4}-1 [/mm] -Möglichkeiten und beim 3. Raten [mm] 10^4-2 [/mm] -Möglichkeiten. Also hätte man hier als Wahrscheinlichkeit:
[mm] P(X=16)=\bruch{1}{3*10^{4}-3}
[/mm]
Genauso habe ich es dann bei den anderen gemacht:
[mm] P(X=17)=\bruch{1}{3*10^{4}-12}
[/mm]
[mm] P(X=18)=\bruch{1}{3*10^{3}-3}
[/mm]
[mm] P(X=19)=\bruch{1}{3*10^{2}-3}
[/mm]
[mm] P(X=20)=\bruch{1}{3*10^{1}-3}
[/mm]
[mm] P(X=21)=1-(\bruch{1}{3*10^{4}-3}+\bruch{1}{3*10^{4}-12}+\bruch{1}{3*10^{3}-3}+\bruch{1}{3*10^{2}-3}\bruch{1}{3*10^{1}-3})
[/mm]
So würde ich als E(X)=20,95 und als Var(X)=0,0528...
Nur kann ich nicht glauben, dass es "so leicht" ist, also wo liegt mein Fehler? Wo die Verbindung zu bedingten Wahrscheinlichkeiten? Wie muss man es richtig machen?
Ich wäre euch für eure Hilfe sehr dankbar,
Liebe Grüße Jana!
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Hallo,
> Das Ehepaar Müller hat für ihre Enkelin Lena ein
> Sparkonto eingerichtet, dessen Zugang unter anderem mit
> einer viertstelligen Geheimzahl (jede Ziffer ist ein
> Element der Menge {0,...,9}) gesichert ist. Beginnend mit
> ihrem 16. Geburtstag darf Lena an jedem Geburtstag jeweils
> dreimal die Geheimzahl raten. Sobald sie an einem
> Geburtstag die richtige Geheimzahl erraten hat, geben ihr
> die Großeltern den kompletten Zugang zu ihrem Konto. Nach
> jedem Versuch erfährt Lena, ob sie die Geheimzahl erraten
> hat oder nicht. Solang sie die Geheimzahl noch nicht
> erraten hat, geben ihr die Großeltern die folgenden
> Zusatzinformationen:
>
> Am 16. Geburtstag erhält sie vor dem Raten keine weiteren
> Informationen.
>
> Am 17. Geburtstag erfährt sie vor dem Raten, dass die
> Geheimzahl noch dieselbe wie im Vorjahr ist.
>
> Am 18. Geburtstag erfährt sie vor dem Raten die erste
> Ziffer der aktuellen Geheimzahl mit dem Hinweis, dass die
> Geheimzahl gegenüber dem Vorjahr geändert wurde.
>
> Am 19. Geburtstag erfährt sie vor dem Raten die ersten
> beiden Ziffern der aktuellen Geheimzahl mit dem Hinweis,
> dass die Geheimzahl gegenüber dem Vorjahr geändert
> wurde.
>
> Am 20. Geburtstag erfährt sie vor dem Raten die ersten
> drei Ziffern der aktuellen Geheimzahl mit dem Hinweis, dass
> die Geheimzahl gegenüber dem Vorjahr geändert wurde.
>
> Am 21. Geburtstag erfährt sie, wenn sie vorher nie richtig
> geraten hat, die komplette aktuelle Geheimzahl.
>
> Bei einer Änderung wird die neue Geheimzahl mit einem
> Zufallsgenerator erzeugt. Die Zufallsgröße X gebe Lenas
> Alter in Jahren zu dem Zeitpunkten an, an dem sie zum
> ersten Mal Zugang zu ihrem Konto hat. Berechnen Sie die
> Wahrscheinlichkeit P(X=k) für alle [mm]k\in\IN[/mm] und berechnen
> Sie den Erwartungswert E(X) und die Varianz Var (X).
> Ja, ... die Aufgabenstellung muss man erstmal verdauen :P
>
> Guten Abend erstmal,
>
> Ich habe mal wieder ein paar Fragen zu einer Aufgabe:
>
> Wir behandeln diese Aufgabe im Zusammenhang mit bedingten
> Wahrscheinlichkeiten und stochastischer Unabhängigkeit,
> also gehe ich schwer davon aus, dass sie etwas damit zu tun
> hat.
> Nur sehe ich leider nicht was und deswegen habe ich ein
> Problem an die Aufgabe heranzugehen.
>
> Meine erste Idee war einfach wie auch bei DZE eine
> Wahrscheinlichkeitverteilung aufzustellen.
>
> Dazu habe ich mir für k=16 überlegt, dass man beim 1.
> Raten [mm]10^{4}-Möglichkeiten[/mm] hat, beim 2. Raten [mm]10^{4}-1[/mm]
> -Möglichkeiten und beim 3. Raten [mm]10^4-2[/mm] -Möglichkeiten.
> Also hätte man hier als Wahrscheinlichkeit:
> [mm]P(X=16)=\bruch{1}{3*10^{4}-3}[/mm]
Was ist denn das für eine abenteuerliche Rechenart? Dein Denkansatz ist hier ja noch richtig, aber wie du auf diese Wahrscheinlichkeit kommts, das ist mir ein Rätsel. Will sagen: die Addition rationaler Zahlen habe ich irgendwie anders in Erinnerung...
>
> Genauso habe ich es dann bei den anderen gemacht:
> [mm]P(X=17)=\bruch{1}{3*10^{4}-12}[/mm]
> [mm]P(X=18)=\bruch{1}{3*10^{3}-3}[/mm]
> [mm]P(X=19)=\bruch{1}{3*10^{2}-3}[/mm]
> [mm]P(X=20)=\bruch{1}{3*10^{1}-3}[/mm]
>
> [mm]P(X=21)=1-(\bruch{1}{3*10^{4}-3}+\bruch{1}{3*10^{4}-12}+\bruch{1}{3*10^{3}-3}+\bruch{1}{3*10^{2}-3}\bruch{1}{3*10^{1}-3})[/mm]
>
> So würde ich als E(X)=20,95 und als Var(X)=0,0528...
>
Wie gesagt: das Problem ist, dass deine Wahrscheinlichkeiten bruchrechentechnisch vollkommen missglückt sind und du außer für X=16 und damit für X=17 keinen Ansatz kommentiert hat. Insofern kann man nicht mehr sagen als: rechne die Wahrscheinlichkeiten korrekt aus und berechne dann denb Erwartungswert nochmals.
Gruß, Diophant
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[mm] 10^{4}+10^{4}-1+10^{4}-2= 10^{4}+10^{4}+10^{4}-3=3*10^{4}-3
[/mm]
Oder meinst du das ich die multiplizieren soll?
Ich hab hier quasi [mm] \bruch{1}{|Omega|} [/mm] gerechnet oder muss man [mm] \bruch{|E|}{|Omega|} [/mm] rechnen und ich hätte hier nur E berechnet?
Weiß nicht so genau was für dich hier der Fehler ist?
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Hallo,
> [mm]10^{4}+10^{4}-1+10^{4}-2= 10^{4}+10^{4}+10^{4}-3=3*10^{4}-3[/mm]
>
> Oder meinst du das ich die multiplizieren soll?
> Ich hab hier quasi [mm]\bruch{1}{|Omega|}[/mm] gerechnet oder muss
> man [mm]\bruch{|E|}{|Omega|}[/mm] rechnen und ich hätte hier nur E
> berechnet?
>
> Weiß nicht so genau was für dich hier der Fehler ist?
[mm] \bruch{1}{a}+\bruch{1}{b}\ne\bruch{1}{a+b} [/mm] ...
Gruß, Diophant
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Okay, das stimmt, ich hatte es vorher auch mal mit Summen und da hatte ich besser darauf geachtet.
Okay, dann jetzt nocheinmal von vorne:
[mm] P(X=16)=\bruch{1}{10^{4}}+\bruch{1}{10^{4}-1}+\bruch{1}{10^{4}-2}
[/mm]
[mm] P(X=17)=\bruch{1}{10^{4}-3}+\bruch{1}{10^{4}-4}+\bruch{1}{10^{4}-5}
[/mm]
Hier habe ich mir gedacht, dass man ja [mm] 10^{4}-Möglichkeiten [/mm] jeweils hat und für jeden Versuch eine Möglichkeit abzieht, dies wird beim 17. Geburtstag fortgeführt, da das Passwort dort nicht geändert wird.
[mm] P(X=18)=\bruch{1}{10^{3}}+\bruch{1}{10^{3}-1}+\bruch{1}{10^{3}-2}
[/mm]
Hier wird das Passwort ja vom Vorjahr geändert und die erste Ziffer wird verraten, also müssen nur noch 3 Ziffern erraten werden, deswegen ist es hier ganuso wie bei k=16 nur mit hoch 3.
[mm] P(X=19)=\bruch{1}{10^{2}}+\bruch{1}{10^{2}-1}+\bruch{1}{10^{2}-2}
[/mm]
Bei k=20 genauso.
[mm] P(X=20)=\bruch{1}{10}+\bruch{1}{9}+\bruch{1}{8}
[/mm]
Dann muss ja jede Wahrscheinlichkeitsverteilung insgesamt 1 ergeben. In dem 21. Jahr wird ihr das Passwort gesagt, also haben wir hier 100% minus die Wkt. das das Passwort in den vorherigen Jahren erraten wurde:
[mm] P(X=21)=1-(\bruch{1}{10^{4}}+\bruch{1}{10^{4}-1}+\bruch{1}{10^{4}-2}+\bruch{1}{10^{4}-3}+\bruch{1}{10^{4}-4}+\bruch{1}{10^{4}-5}+\bruch{1}{10^{3}}+\bruch{1}{10^{3}-1}+\bruch{1}{10^{3}-2}+\bruch{1}{10^{2}}+\bruch{1}{10^{2}-1}+\bruch{1}{10^{2}-2}+\bruch{1}{10}+\bruch{1}{9}+\bruch{1}{8})
[/mm]
Damit hätte ich die Wahrscheinlichkeitsverteilung.
Bei dem Erwartungswert habe ich dann jeweils Zufallsgröße*Wahrscheinlichkeit gerechnet, als Beispiel jetzt:
[mm] E(X)=16*(\bruch{1}{10^{4}}+\bruch{1}{10^{4}-1}+\bruch{1}{10^{4}-2})+17*(...)+....+21*(...)=20,59
[/mm]
Und bei der Varianz:
[mm] Var(X)=E(X^{2})-E(X)^{2}
[/mm]
[mm] E(X^{2})=16^{2}*(\bruch{1}{10^{4}}+\bruch{1}{10^{4}-1}+\bruch{1}{10^{4}-2})+17^{2}*(...)+....+21^{2}*(...)=423,999297...
[/mm]
Und somit habe ich erhalten:
Var(X)=0,343171
Wäre es dann so richtig oder habe ich wieder irgendwo einen Denkfehler?
Und wenn nein, wo liegt der Zusammenhang zur stochastischen Unabhängigkeit und bedingten Wahrscheinlichkeit?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:37 Do 19.06.2014 | | Autor: | hippias |
> Okay, das stimmt, ich hatte es vorher auch mal mit Summen
> und da hatte ich besser darauf geachtet.
>
> Okay, dann jetzt nocheinmal von vorne:
>
> [mm]P(X=16)=\bruch{1}{10^{4}}+\bruch{1}{10^{4}-1}+\bruch{1}{10^{4}-2}[/mm]
>
Deine Ueberlegungen sind sicherlich prinzipiell richtig, aber so erhaelst Du wirklich nicht die Wahrscheinlichkeit, dass Du mit $3$ Versuchen eine $4$-stellige Zahl richtig raetst: [mm] $P(\text{Zahl gefunden})= P(\text{beim ersten Versuch gefunden})+ P(\text{beim ersten Mal falsch geraten, aber beim zweiten Mal richtig})+ P(\text{beim ersten und zweiten Mal falsch geraten, aber beim dritten Mal richtig})= \ldots$. [/mm] Zeichne dir ruhig ein Baumdiagramm.
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Also würde ich es wie beim Multiplikationssatz machen?
k=16: [mm] P(A_{1})
[/mm]
k=17: [mm] P(\overline{(A_{1}} \cap A_{2})
[/mm]
k=18: [mm] P(\overline{(A_{1}} \cap \overline{A_{2}} \cap A_{3})
[/mm]
etc. wobei [mm] A_{1} [/mm] für das Ereigniss steht, dass sie es beim 16. errät, [mm] A_{2} [/mm] beim 17. und [mm] A_{3} [/mm] beim 18, etc ..
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[mm] P(\overline{16} \cap \overline{18} \cap)= P(18|\overline{16} \cap \overline{17})*P(18) [/mm]
wie berechnet man [mm] P(18|\overline{16} \cap \overline{17})?
[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:20 Fr 20.06.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:20 Do 19.06.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Okay, also ein weiterer Lösungsansatz:
[mm] P(16)=\bruch{1}{10^{4}}+\bruch{1}{10^{4}-1}+\bruch{1}{10^{4}-2}=0,000300050009
[/mm]
[mm] P(\overline{16}\cap17)=(1-(\bruch{1}{10^{4}}+\bruch{1}{10^{4}-1}+\bruch{1}{10^{4}-2}))*(\bruch{1}{10^{4-3}}+\bruch{1}{10^{4}-4}+\bruch{1}{10^{4}-5})=0,000300040015
[/mm]
[mm] P(\overline{16} \cap \overline{17} \cap 18)=(1-((1-(\bruch{1}{10^{4}}+\bruch{1}{10^{4}-1}+\bruch{1}{10^{4}-2}))*(\bruch{1}{10^{4-3}}+\bruch{1}{10^{4}-4}+\bruch{1}{10^{4}-5}))*(\bruch{1}{10^{3}}+\bruch{1}{10^{3}-1}+\bruch{1}{10^{3}-2})=0,0030021040
[/mm]
[mm] P(\overline{16} \cap \overline{17} \cap \overline{18} \cap 19)=(1-((1-((1-(\bruch{1}{10^{4}}+\bruch{1}{10^{4}-1}+\bruch{1}{10^{4}-2}))*(\bruch{1}{10^{4-3}}+\bruch{1}{10^{4}-4}+\bruch{1}{10^{4}-5}))*(\bruch{1}{10^{3}}+\bruch{1}{10^{3}-1}+\bruch{1}{10^{3}-2}))*(\bruch{1}{10^{2}}+\bruch{1}{10^{2}-1}+\bruch{1}{10^{2}-2})=0,0302141127
[/mm]
[mm] P(\overline{16} \cap \overline{17} \cap \overline{18} \cap \overline{19} \cap 20)=(1-((1-((1-((1-(\bruch{1}{10^{4}}+\bruch{1}{10^{4}-1}+\bruch{1}{10^{4}-2}))*(\bruch{1}{10^{4-3}}+\bruch{1}{10^{4}-4}+\bruch{1}{10^{4}-5}))*(\bruch{1}{10^{3}}+\bruch{1}{10^{3}-1}+\bruch{1}{10^{3}-2}))*(\bruch{1}{10^{2}}+\bruch{1}{10^{2}-1}+\bruch{1}{10^{2}-2}))*(\bruch{1}{10}+\bruch{1}{9}+\bruch{1}{8})=0,3259558
[/mm]
[mm] P(21)=1-P(\overline{16} \cap \overline{17} \cap \overline{18} \cap \overline{19} \cap \pverline{20})=1-((1-((1-((1-((1-(\bruch{1}{10^{4}}+\bruch{1}{10^{4}-1}+\bruch{1}{10^{4}-2}))*(\bruch{1}{10^{4-3}}+\bruch{1}{10^{4}-4}+\bruch{1}{10^{4}-5}))*(\bruch{1}{10^{3}}+\bruch{1}{10^{3}-1}+\bruch{1}{10^{3}-2}))*(\bruch{1}{10^{2}}+\bruch{1}{10^{2}-1}+\bruch{1}{10^{2}-2}))*(\bruch{1}{10}+\bruch{1}{9}+\bruch{1}{8}))=0,64022788
[/mm]
Somit hätte ich jetzt E(X)=20,6
und [mm] Var(X)=424,7663-20,6^{2}=0,4063
[/mm]
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Hallo,
vorneweg möchte ich mich da entschuldigen, dass ich hier wohl mehr Verwirrung gestiftet habe als Hilfe geleistet. Es hat hier in den letzten Tagen technisch gehapert, was mich in diesem Fall zu sehr abghelenkt hat.
Ich hatte ursprünglich vor, hier die ganze Aufgabe vorzurechnen, schaffe dies aber heute auch nicht. Ich gebe dir mal die ersten Wahrscheinlichkeiten, damikt die Voirgehensweise klarer wird, und wenn du weiter interessiert bist, kannst du dich ja wieder melden.
Wie hippias dankenswerterweise angemerkt hat ist
[mm] P(X=16)=\bruch{1}{10000}+\bruch{9999}{10000}*\bruch{1}{9999}+\bruch{9999}{10000}*\bruch{9998}{9999}*\bruch{1}{9998}=\bruch{3}{10000}
[/mm]
Es spiegelt sich darin ein völlig elementarer Sachverhalt wieder, den man ab und an gerne vor lauter Theorie vergisst: so lange keine weiteren Informationen dazu kommen, besitzt jede Anzahl an Versuchen bis zum Erraten natürlich die gleiche Wahrscheinlichkeit!
Beim 17. Geburtstag haben wir im Prinzip das hleiche Phänomen, bis auf die Tatsache, dass die drei Versuche vom letzten Jahr 'verbrannt' sind, da die Geheimzahl ja gleich geblieben ist. Den Versuch unternimmt sie jedoch nur, wenn sie am 16. Geburtatg die Geheimzahl nicht erraten hat. Also
[mm] P(X=17)=\bruch{9997}{10000}\bruch{3}{9997}=\bruch{3}{10000}
[/mm]
So geht das jetzt weiter. Mit neuer Geheimzahl und einer bekannten Ziffer haben wir
[mm] P(X=18)=\left(\bruch{9997}{10000}\right)^2*\bruch{3}{1000}=\bruch{299820027}{100000000000}
[/mm]
Und so geht das jetzt weiter, die Zahlen werden ab hier unschön, dennoch wäre es wohl besser, sie als Brüche anzugeben.
Gruß, Diophant
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Dankeschön :)
So hab ich es nun auch verstanden
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