Bedingte Wahrscheinlichkeit < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:34 Sa 26.10.2013 | | Autor: | piriyaie |
| Aufgabe | Gehen wir davon aus, dass ich mit einer Wahrscheinlichkeit von [mm] \bruch{1}{2} [/mm] Übungsaufgaben sinnlos löse. Gehen wir außerdem davon aus, dass ich mit einer Wahrscheinlichkeit von [mm] \bruch{6}{10} [/mm] vor dem Lösen von Aufgaben 1 Liter Rotwein trinke. Des weiteren sei die Wahrscheinlichkeit, dass ich sinnlos Aufgaben löse nach vorherigem Weingenuss [mm] \bruch{9}{10}. [/mm] Bezeichnen wir also S dafür, dass ich Aufgaben sinnlos löse und B dass ich Wein trinke. Dann können wir das ganze so abkürzen:
[mm] P(S)=\bruch{1}{2}, P(B)=\bruch{3}{5} [/mm] und [mm] P(S|B)=\bruch{9}{10}.
[/mm]
Mit der Formel von Bayes würde sich dafür, dass ich vor dem Lösen von Aufgaben Wein trinke, folgendes ergeben:
[mm] P(B|S)=\bruch{P(S|B)P(B)}{P(S)}=...=\bruch{54}{50} [/mm] >1
Was mache ich falsch? |
Hallo,
ich versuche die ganze zeit schon den Fehler oben zu finden aber keine Ahnung wo er steckt.
Ich habe schon die stochastische abhängigkeit geprüft. Es sieht dann so aus:
[mm] P(S|B)=\bruch{P(S \cap B)}{P(B)}=\bruch{x}{\bruch{3}{5}}=\bruch{9}{10}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \bruch{x}{\bruch{3}{5}}=\bruch{9}{10}
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{5}{3}x=\bruch{9}{10}
[/mm]
[mm] \gdw x=\bruch{27}{50}
[/mm]
Es müsste also für stoch. unabh. gelten:
P(S [mm] \cap [/mm] B)= P(S)P(B)= [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * [mm] \bruch{3}{5}= \bruch{3}{10}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] S und B sind stoch. abhängig.
Es ist mir außerdem auch aufgefallen, dass P(S)+P(B)>1 ist.
Vielleicht liegt hier der fehler.
Wer kann mir helfen?
Danke schonmal.
Grüße
Ali
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 05:23 So 27.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Ali!
> Gehen wir davon aus, dass ich mit einer Wahrscheinlichkeit
> von [mm]\bruch{1}{2}[/mm] Übungsaufgaben sinnlos löse. Gehen wir
> außerdem davon aus, dass ich mit einer Wahrscheinlichkeit
> von [mm]\bruch{6}{10}[/mm] vor dem Lösen von Aufgaben 1 Liter
> Rotwein trinke. Des weiteren sei die Wahrscheinlichkeit,
> dass ich sinnlos Aufgaben löse nach vorherigem Weingenuss
> [mm]\bruch{9}{10}.[/mm] Bezeichnen wir also S dafür, dass ich
> Aufgaben sinnlos löse und B dass ich Wein trinke. Dann
> können wir das ganze so abkürzen:
>
> [mm]P(S)=\bruch{1}{2}, P(B)=\bruch{3}{5}[/mm] und
> [mm]P(S|B)=\bruch{9}{10}.[/mm]
>
> Mit der Formel von Bayes würde sich dafür, dass ich vor
> dem Lösen von Aufgaben Wein trinke, folgendes ergeben:
>
> [mm]P(B|S)=\bruch{P(S|B)P(B)}{P(S)}=...=\bruch{54}{50}[/mm] >1
>
> Was mache ich falsch?
> Ich habe schon die stochastische abhängigkeit geprüft. Es
> sieht dann so aus:
>
> [mm]P(S|B)=\bruch{P(S \cap B)}{P(B)}=\bruch{x}{\bruch{3}{5}}=\bruch{9}{10}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \bruch{x}{\bruch{3}{5}}=\bruch{9}{10}[/mm]
>
> [mm]\gdw \bruch{5}{3}x=\bruch{9}{10}[/mm]
> [mm]\gdw x=\bruch{27}{50}[/mm]
>
> Es müsste also für stoch. unabh. gelten:
>
> P(S [mm]\cap[/mm] B)= P(S)P(B)= [mm]\bruch{1}{2}[/mm] * [mm]\bruch{3}{5}= \bruch{3}{10}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] S und B sind stoch. abhängig.
Die Überlegung ist korrekt.
Es sollte nicht überraschen, dass S und B nicht stochastisch unabhängig sind: Natürlich wird man [mm]S[/mm] bei Vorliegen von [mm]B[/mm] als wahrscheinlicher einschätzen als ohne diese Vorinformation, denn der Wein dürfte die Wahrscheinlichkeit, Aufgaben sinnlos zu lösen natürlich erhöhen.
Mit der Paradoxie aus der Aufgabenstellung hat die stochastische Abhängigkeit von [mm]S[/mm] und [mm]B[/mm] jedoch nichts zu tun.
> Es ist mir außerdem auch aufgefallen, dass P(S)+P(B)>1
> ist.
Ja.
> Vielleicht liegt hier der fehler.
Nein.
(Wären $S$ und $B$ disjunkt, so würde [mm] $P(S\cup [/mm] B)=P(S)+P(B)>1$ einen Widerspruch darstellen. Aber $S$ und $B$ sind natürlich alles andere als disjunkt.)
Sämtliche mathematischen Folgerungen in der Aufgabenstellung sind korrekt.
Aber die vorgegebenen Wahrscheinlichkeiten passen nicht zusammen:
Aus [mm]P(B)=\bruch35[/mm] und [mm]P(S|B)=\bruch9{10}[/mm] folgt, wie du korrekt ermittelt hast, [mm]P(S)\ge P(S\cap B)=\bruch{27}{50}>\bruch12[/mm].
Damit kann nicht [mm]P(S)=\bruch12[/mm] gelten.
Anschaulich formuliert: Wer mit so hoher Wahrscheinlichkeit Wein trinkt und mit so hoher Wahrscheinlichkeit dann Aufgaben sinnlos löst, der löst notwendig mindestens mit Wahrscheinlichkeit [mm]\bruch{27}{50}[/mm] Aufgaben sinnlos und nicht nur mit Wahrscheinlichkeit [mm] $\bruch12$.
[/mm]
Lerne daraus: Trinke nicht so viel Wein, wenn du nicht so viele Aufgaben sinnlos lösen möchtest... 
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:13 So 27.10.2013 | | Autor: | piriyaie |
hahahaha.... :-D
DANKE!!!! :-D
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