Bedingte Wahrscheinlichkeit < stoch. Prozesse < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 02:05 So 06.09.2009 | | Autor: | steem |
| Aufgabe 1 | Berechnen Sie jeweils die Wahrscheinlichkeit des angegebenen Ereignisses und vergleichen Sie die Ergebnisse!
(a) Eine Schraubenpresse erzeuge einen Ausschuss von 0, 3%. In einer zufällig ausgewählten Stichprobe von 10 Schrauben aus einem Los von 40 ist mindestens eine Ausschuss.
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| Aufgabe 2 | | (b) Eine Schraubenpresse erzeuge einen Ausschuss von 0, 3%. Unter 10 Schrauben aus einem Los von 40, die nacheinander entnommen, geprüft und zurückgelegt werden, ist mindestens eine Ausschuss. |
Bei Aufgabe a) bin ich mir ziemlich sicher das der Weg stimmt:
[mm] P(\overline{A})=0,997^{40}
[/mm]
[mm] P(\overline{B})=0,997^{10}
[/mm]
Dann mit der bedingten Wahrscheinlichkeitsformel
[mm] P(\overline{B}|\overline{A})=\bruch{P(\overline{A} \cap \overline{B})}{\overline{A}}= \bruch{0,997^{40} * 0,997^{10}}{0,997^40}=0,9704
[/mm]
=> P(B|A)=1-0,9704=0,0296 also 2,96 % das stimmt mit dem Ergebnis überein.
Jetzt bei Aufgabe b) ist das etwas komisch, ich habe das richtige Ergebnis aber habe irgendwie das Gefühl das es nur zufällig richtig ist :)
Hier mein Weg:
A: Die gezogene Schraube ist defekt
[mm] \overline{A}: [/mm] Die gezogene Schraube ist intakt
B: Die gezogene Schraube ist mit zurücklegen defekt
Schon hier vermute ich irgendwie einen Fehler, aber es klappt trotzdem...
[mm] P(\overline{A})=0,997^{40}
[/mm]
[mm] P(B)=P(\overline{A})*\bruch{Ausschussprozent}{Anzahl d. gezogenen Schrauben} [/mm]
also
[mm] P(B)={0,997^{40}}*\bruch{0,3}{10}=0,0266 [/mm] also 2,66% dieses Ergebnis stimmt komischer Weise genau mit dem aus der Lösung überein.
Ist dieser Weg überhaupt richtig? Was wäre wenn nun 12 Schrauben aus 40 gezogen worden wären. Wäre der Bruch dann: [mm] \bruch{0,3}{12} [/mm] ?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:07 So 06.09.2009 | | Autor: | rabilein1 |
> A: In einer zufällig ausgewählten Stichprobe von 10 Schrauben aus einem Los von 40 ist mindestens eine Ausschuss.
>
> B: Unter 10 Schrauben aus einem Los von 40, die nacheinander entnommen, geprüft und zurückgelegt werden, ist mindestens eine Ausschuss.
Frage 1: Was ist denn der Unterschied von A und B ?
Frage 2: Was hat das mit dem "Los von 40" zu bedeuten? Ist es nicht völlig egal, aus wievielen Schrauben die 10 zu prüfenden Schrauben ausgewählt werden?
Apropos: Bei a) habe ich genau dasselbe raus wie du.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:14 So 06.09.2009 | | Autor: | rabilein1 |
>
> Frage 1: Was ist denn der Unterschied von A und B ?
Jetzt sehe ich es: Das eine ist mit Zurücklegen und das andere ohne Zurücklegen.
Das Ergebnis von 2.96% bezieht sich auf mit Zurücklegen. In diesem Fall ist es egal, wie viele Schrauben das Lot hat.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:29 So 06.09.2009 | | Autor: | rabilein1 |
> (a) Eine Schraubenpresse erzeuge einen Ausschuss von 0,3%.
Heißt das, dass jede 333ste Schraube defekt ist?
Oder bezieht sich die 0,3% auf das Lot von 40 Schrauben? Dann wäre nur jede 13333ste Schraube defekt.
Mir ist immer noch nicht klar, was die Angabe mit dem "Lot von 40" soll (außer Verwirrung stiften).
Ob man die entnommenen und geprüften Schrauben wieder zurück legt oder nicht, dürfte keinen großen Unterschied machen. Die Wahrscheinlichkeit, eine defekte Schraube zu ziehen, ist immer gleich.
Okay. Theoretisch gibt es schon einen Unterschied: Wenn ich immer die selbe Schraube ziehe - was bei "mit Zurücklegen ja möglich ist - dann verfälsche ich das Ergebnis.
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:12 So 06.09.2009 | | Autor: | steem |
Danke für deine Antwort!
Ich fand die Aufgabenstellung auch ein wenig wirr. Aber nach längerer Zeit hab ich es rausgefunden. Aus der Gesamtproduktion werden 40 Schrauben genommen und aus diesen 40 nochmal 10 Stichproben entnommen. Bei a) werden diese Schrauben nicht mehr zurückgelegt und bei b) werden die gezogenen Schrauben wieder zurückgelegt.
Bei a) ist mir glaube ich alles klar. Aber bei Aufgabe b) ist das etwas komisch, weil ich glaube, dass mein Weg so nicht geht. Bei einer anderen ähnlichen Aufgabe kam ich mit meiner Methode nicht auf das richtige Ergebnis.
Gibt es eine allgemeingültige Art und Weise wie man Aufgaben vom Typ b) lösen kann?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:09 So 06.09.2009 | | Autor: | qsxqsx |
Hi...
...also a.) ist sicher richtig...es ist doch einfach 0.997^10. Mindestens 1 entspricht ja dem das die gegenwahrscheindlichkeit nie auftrit. und die ist 0.997^10...es macht ja keinen unterschied ob die 10 aus 40 oder fünfzig losen sind..die w ist immer 0.03...
beim andren bin ich mir nicht ganz sicher..aber beim ersten mal ziehen ist ja die w immer noch 0.03, dann aber, wenn das wieder zurückgelegt ist und es nicht deffekt war ist die wahrscheinlichkeit (wenn man deffekten wieder zurücklegt) etwas kleiner geworden. vielleicht um 39/40 von 0.03 ? und dann beim dritten mal ziehen 38/40 von 0.03 ..?
nur ne überlegung...
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Zu a) - "ohne Zurücklegen" - habe ich noch folgende Idee:
Die Wahrscheinlichkeit, dass von 40 Schrauben alle in Ordnung sind, ist [mm] 0.997^{40} [/mm] = 0.886
Also ist mit einer Wahrscheinlichkeit von 0.114 mindestens eine Schraube aus dem 40er-Lot kaputt.
Wenn man davon (also aus so einem 40er-Lot) nun 10 Schrauben (ohne Zurücklegen) raus nimmt, so ist das genau ein Viertel. Demnach müsste die Wahrscheinlichkeit, dass davon eine kaputt ist, ein Viertel von 0.114 sein. Und da kommt 0.0285 raus.
Komischerweise hast du da 0.0296 raus.
Zu b)
Was passiert, wenn man die gezogenen Schrauben wieder zurück legt (mit Zurücklegen) ?
Wenn der 40er-Lot keine kaputte Schraube enthält (Wahrscheinlichkeit = [mm] 0.997^{40} [/mm] = 0.886), dann ist es egal, ob man die gezogenen Schrauben zurück legt. Man kann ohnehin nur heile Schrauben ziehen.
Ist aber eine kaputte Schraube in dem 40er-Lot (Wahrscheinlichkeit = 0.114), dann ist die Wahrscheinlichkeit, eine heile Schraube zu ziehen, bei jedem Ziehen [mm] \bruch{39}{40}. [/mm]
Bei zehn Mal Ziehen ist es also [mm] (\bruch{39}{40})^{10} [/mm] = 0.776, dass man nur heile Schrauben zieht. Beziehungsweise 0.224, dass eine kaputte Schraube dabei ist.
Dass man also zunächst einmal einen "kaputten Lot" erwischt und daraus dann eine kaputte Schraube zieht, wäre also 0.114*0.224 = 0.0255
Die auf diese Weise erzielten Ergebnisse kommen immerhin asymptotisch nahe an deine Ergebnisse ran.
Die Abweichungen ergeben sich m.E. dadurch, dass in dem 40er-Lot auch 2 oder 3 oder mehr Schrauben kaputt sein könnten.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 00:32 Mo 07.09.2009 | | Autor: | steem |
Danke für die Antwort!
Zu a)
Das Ergebnis aus der Muster-Lösung ist genau 0,0297 also ist mein Ergebnis irgendwie näher dran. Bei anderen Aufgaben ähnlichen Typs dann wieder nicht. Das wundert mich ein wenig. Vll. ist doch der Weg falsch?
Zu b)
Dein Weg hört sich irgendwie sehr logisch an :) Was ich aber nicht verstehe ist, wie du auf [mm] \bruch{39}{40} [/mm] kommst. Weil man ja nicht sagen kann, ob jetzt eine kaputte Schraube unter den 40 ist, oder 5, oder 14, oder, ...
Wenn zb. 5 kaputte Schrauben unter den 40 wären, wäre der Bruch ja [mm] \bruch{35}{40} [/mm] oder nicht?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:45 Mo 07.09.2009 | | Autor: | qsxqsx |
..ja das hab ich mir dann auch überlegt...dann ändert sich also nichts an der w? ..hm das glaub ich aber auch nicht..ich weisses nich..ich hab noch gar nich angefang mit studium...^^..ich hoffe ich hab dann nicht so schwierige aufgaben...; )
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> Weil man ja nicht sagen kann, ob jetzt genau eine kaputte
> Schraube unter den 40 ist, oder 5, oder 14, oder, ...
Das sagte ich ja schon vorher, dass es dadurch zu einer Ungenauigkeit im Ergebnis kommt (nur zu einer asymptotischen Annäherung).
Da es allerdings schon recht unwahrscheinlich ist, überhaupt eine einzige kaputte Schraube im 40er-Lot vorzufinden, sind 2 oder gar 5 kaputte Schrauben noch unwahrscheinlicher. Wenn man allerdings ein exaktes Ergebnis haben will, dann muss man selbstverständlich auch die eventuellen (nahezu unmöglichen) 14 kaputten Schrauben berücksichtigen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:20 Do 10.09.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:37 Mo 07.09.2009 | | Autor: | qsxqsx |
schau ma hier: http://www.gym-landau.de/downloads/mathe/oberstufe/kombinatorik.pdf ...am anfanf steht was du schon weisst, aber wenn den n bisschen runter scrollst ist das gleiche problem mit den schrauben deklariert...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:30 Di 08.09.2009 | | Autor: | steem |
Hi!
Das ist eine sehr gute pdf datei! Ich werde es mal damit versuchen, und dann mal berichten wie es geworden ist ;)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:57 Mo 07.09.2009 | | Autor: | qsxqsx |
binomialmodell: ziehen mit zurücklegen
HYPERGEOMETRISCHES modell: ziehen ohne zurücklegen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:22 Mi 09.09.2009 | | Autor: | steem |
| Aufgabe | Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit?
(b) Eine Schraubenpresse erzeuge einen Ausschuss von 0, 3%. Unter 10 Schrauben aus einem Los von 40, die nacheinander entnommen, geprüft und zurückgelegt werden, ist mindestens eine Ausschuss. |
Hallo!
Ich habe Aufgabe b) mal mit der Bernuoullikette versucht zu lösen, aber es kommt damit nicht das raus was im Ergebnis steht :(
Ich habe das folgendermaßen gemacht.
[mm] P_{p}^{n}(Z=k)=\vektor{n \\ k}p^{k}(1-p)^{n-k}
[/mm]
[mm] P_{0,003}^{40}(Z=1)=\vektor{40 \\ 1}p^{1}(1-0,003)^{40-1}=0,106 [/mm]
Und wenn ich statt der 1 eine 10 einsetze wie es in der Aufgabe steht, wird das Ergebnis noch weiter abweichen..
[mm] P_{0,003}^{40}(Z=10)=\vektor{40 \\ 10}p^{10}(1-0,003)^{40-10}=4,573*10^{-17} [/mm]
und rauskommen soll aber $0,0266$ wie ist denn die allgemeine Formel dafür? Oder muss man sich da jedesmal irgendwas zurechtschustern?
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Ja, ich habe da 0.0266 raus. Aber die Formel ist sehr kompliziert. Zum Glück hast du nach der vierten Stelle hinter dem Komma abgebrochen. Sonst wäre das kaum machbar.
Die Idee daran ist (und so hatte ich das schon ganz zu Anfang geschrieben):
Rechne zunächst aus: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für 0 aus 40, 1 aus 40, 2 aus 40 etc.
(Das "Etcetera" kann man sich sparen, weil die Ergebnisse daraus dermaßen klein werden, dass sie das Endergebnis kaum beeinflussen)
Falls "0 aus 40" kannst bei den anschließenden "10 aus 40" keine kaputte Schraube ziehen.
Falls "1 aus 40" ist bei den anschließenden "10 aus 40" mit [mm] (\bruch{39}{40})^{10} [/mm] = 0.7763 alles in Ordnung.
Diese 0.7763 multiplizierst du mit dem Resultat aus "1 aus 40" = 0.1067
Da kommt raus: 0.7763 * 0.1067 = 0.0828
Das addierst du zu "0 aus 40" = 0.8868 hinzu [mm] \Leftarrow 0.997^{40}
[/mm]
Und nun noch das Ganze für "2 aus 40". (Für "3 aus 40" kannst du es dir sparen - siehe oben).
Wenn du das alles schön addierst, kommst du auf [mm] \approx [/mm] 0.9734
Und das ist 1 - 0.0266
Wie du siehst: Die Idee ist einfach, aber das Rechnen ist sehr aufwändig.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:39 Mi 09.09.2009 | | Autor: | steem |
Hallo!
Da sind mir noch ein paar Sachen unklar...
> Ja, ich habe da 0.0266 raus.
Das ist schonmal super :)
> Rechne zunächst aus: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit
> für 0 aus 40, 1 aus 40, 2 aus 40 etc.
Die Wahrscheinlichkeit für 0 aus 40 ist doch [mm] 0,997^{40}=0,886 [/mm] oder nicht?
Und für 1 aus 40 dann $0,114$ ?
> Falls "0 aus 40" kannst bei den anschließenden "10 aus 40"
> keine kaputte Schraube ziehen.
> Falls "1 aus 40" ist bei den anschließenden "10 aus 40"
> mit [mm](\bruch{39}{40})^{10}[/mm] = 0.7763 alles in Ordnung.
Das verstehe ich überhaupt nicht:(
> Diese $0.7763$ multiplizierst du mit dem Resultat aus "1 aus
> 40" = 0.1067
Ich dachte "1 aus 40" ist [mm] \bruch{39}{40}^{10}= [/mm] 0,7763 bzw. 1-0,7763=0,2237
Wie kommst du da auf $0,1067$?
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> Wie kommst du da auf [mm]0,1067[/mm]?
>
0.1067 = [mm] 0.997^{39}*0.003*40
[/mm]
Das ist die dafür, dass GENAU EINE kaputte Schraube in dem 40er-Lot ist.
Anschließend werden aus dem 40er-Lot mit der einen kaputten Schraube 10 Schrauben mit Zurücklegen gezogen.
Die Wahrscheinlichkeit, dass alle zehn Schrauben heil sind, ist dann [mm] (\bruch{39}{40})^{10} [/mm]
Zusammen ist das dann:
[mm] 0.997^{39}*0.003*40*(\bruch{39}{40})^{10} [/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:36 Mi 09.09.2009 | | Autor: | steem |
Hi!
Danke, so versteh ich das schon viel besser;) Mal sehen ob sich das auch auf andere Aufgaben übertragen lässt !
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:35 Do 10.09.2009 | | Autor: | steem |
Hallo!
Irgendwie ist es mir doch noch nicht 100% klar :(
Wenn ich jetzt das hier nehme:
[mm] 0.997^{39}\cdot{}0.003\cdot{}40\cdot{}(\bruch{39}{40})^{10}=0,08285 [/mm]
und das nächste wäre dann ja:
$ [mm] 0.997^{38}\cdot{}0.003\cdot{}40\cdot{}(\bruch{38}{40})^{10}=0,06409$
[/mm]
und:
$ [mm] 0.997^{37}\cdot{}0.003\cdot{}40\cdot{}(\bruch{37}{40})^{10}=0,04924 [/mm] $
Dann meintest du ja man soll alles addieren. Wenn ich das so weitermache wie du angefangen hast klappt das nicht.
[mm] 0,997^{40}+0,08285+0,06409+0,04924=1,0829 [/mm]
Und $1-1,0829$ ist eine negative Zahl, das kann ja nicht sein.
Was mache ich immer noch falsch?
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> und das nächste wäre dann ja:
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> [mm]0.997^{38}\cdot{}0.003\cdot{}40\cdot{}(\bruch{38}{40})^{10}=0,06409[/mm]
Das ist falsch. Du musst das richtig permutieren 40*39:2
Außerdem muss es [mm] 0.003^{2} [/mm] sein! ZWEI kaputte Schrauben
Dadurch kommen da ganz kleine Zahlen raus !!!
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