Bedingte Wahrscheinlichkeit < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo zusammen,
ich bin in meinem Skript auf einen Ausdruck gestoßen, den ich noch nicht ganz nachvollziehen kann, und bitte euch daher um Hilfe.
Der Ausdruck lautet wie folgt:
$ [mm] P(Z_n>0)=\mathbb{E}[Z_n]/\mathbb{E}[Z_n|Z_n>0]$.
[/mm]
[mm] $Z_n$ [/mm] ist hier eine Zufallsvariable, die die Größe einer Population zum Zeitpunkt $n$ angibt.
Es geht also um die WS, dass die Population zum Zeitpunkt $n$ noch nicht ausgestorben ist.
Ich bin euch sehr dankbar für eure Hilfe und Tipps!
Liebe Grüße,
GirlyMaths
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum im Internet gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:55 Mi 16.09.2015 | | Autor: | hippias |
Wende die Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit fuer [mm] $P(Z_{n}=z\mid Z_{n}>0)$ [/mm] an und bilde den Erwartungswert.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:04 Mi 16.09.2015 | | Autor: | Fry |
Hey,
also du kannst die Formel ja nach der bedingte Erwartung umstellen.
Nun gilt allgemein
[mm]E[X|A]=E[X|\sigma(A)]
=\frac{1}{P(A)}E[X*1_A]*1_A+\frac{1}{P(A^c)}E[X*1_{A^c}]*1_{A^c}[/mm]
Wendest du dies auf [mm]A=\{Z_n>0\}[/mm] an, erhälst du sofort die Behauptung.
LG
Fry
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Danke euch beiden für die Tipps!
Allerdings stehe ich irgendwie auf'm Schlauch.
Nach Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit erhalte ich
[mm] \[P(Z_n=k|Z_n>0)=P(Z_n=k \cap Z_n>0)/P(Z_n>0).\]
[/mm]
[mm] $Z_n$ [/mm] muss ja größer als 0 sein, wenn es den Wert $k$ annehmen soll. Aber als Wahrscheinlichkeit wird im Zähler wohl kaum 1 stehen?!
Fry, dein Ansatz liefert mir
[mm] \[E[Z_n|Z_n>0]=\frac{E[Z_n 1_{Z_n>0}]}{P(Z_n>0)}+\frac{E[Z_n1_{Z_n=0}]}{P(Z_n=0)}=\frac{E[Z_n]P(Z_n>0)}{P(Z_n>0}+\frac{E[Z_n]P(Z_n=0)}{P(Z_n=0)}.\]
[/mm]
Wenn ich das als Nenner mit [mm] $E[Z_n]$ [/mm] als Zähler setze, erhalte ich
[mm] \[\frac{E[Z_n]}{E[Z_n]+E[Z_n]}.\]
[/mm]
Wo liegt der Fehler?
(Leider funktioniert mein Befehl für die Indikatorfunktion nicht, deshalb einfach eine gewöhnliche 1.)
Danke und liebe Grüße,
GirlyMaths
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:16 Sa 19.09.2015 | | Autor: | hippias |
> Danke euch beiden für die Tipps!
> Allerdings stehe ich irgendwie auf'm Schlauch.
>
> Nach Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit erhalte
> ich
> [mm]\[P(Z_n=k|Z_n>0)=P(Z_n=k \cap Z_n>0)/P(Z_n>0).\][/mm]
> [mm]Z_n[/mm] muss
> ja größer als 0 sein, wenn es den Wert [mm]k[/mm] annehmen soll.
> Aber als Wahrscheinlichkeit wird im Zähler wohl kaum 1
> stehen?!
Nein, wieso auch? Aber [mm] $P(Z_{n}>0)$ [/mm] ist konstant; wenn Du nun links und rechts den Erwartungswert bildest, dann steht der gesuchte Ausdruck da.
>
> Fry, dein Ansatz liefert mir
> [mm]\[E[Z_n|Z_n>0]=\frac{E[Z_n 1_{Z_n>0}]}{P(Z_n>0)}+\frac{E[Z_n1_{Z_n=0}]}{P(Z_n=0)}=\frac{E[Z_n]P(Z_n>0)}{P(Z_n>0}+\frac{E[Z_n]P(Z_n=0)}{P(Z_n=0)}.\][/mm]
>
> Wenn ich das als Nenner mit [mm]E[Z_n][/mm] als Zähler setze,
> erhalte ich
> [mm]\[\frac{E[Z_n]}{E[Z_n]+E[Z_n]}.\][/mm]
> Wo liegt der Fehler?
> (Leider funktioniert mein Befehl für die
> Indikatorfunktion nicht, deshalb einfach eine gewöhnliche
> 1.)
>
> Danke und liebe Grüße,
> GirlyMaths
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:58 Mo 28.09.2015 | | Autor: | tobit09 |
Hallo hippias!
> > Nach Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit erhalte
> > ich
> > [mm]\[P(Z_n=k|Z_n>0)=P(Z_n=k \cap Z_n>0)/P(Z_n>0).\][/mm]
> >
> [mm]Z_n[/mm] muss
> > ja größer als 0 sein, wenn es den Wert [mm]k[/mm] annehmen soll.
> > Aber als Wahrscheinlichkeit wird im Zähler wohl kaum 1
> > stehen?!
> Nein, wieso auch? Aber [mm]P(Z_{n}>0)[/mm] ist konstant; wenn Du
> nun links und rechts den Erwartungswert bildest, dann steht
> der gesuchte Ausdruck da.
Wie möchtest du z.B. den "Ausdruck" / die (von k abhängige) Zahl [mm] $P(Z_n=k|Z_n>0)$ [/mm] als Zufallsgröße (also insbesondere als Abbildung von [mm] $\Omega$ [/mm] nach [mm] $\IR$) [/mm] auffassen?
Nur wenn du das irgendwie tust, kannst du von diesem Ausdruck den Erwartungswert bilden.
Viele Grüße
Tobias
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:11 Sa 19.09.2015 | | Autor: | Fry |
Hey :),
[mm]\[E[Z_n|Z_n>0]=\frac{E[Z_n 1_{Z_n>0}]}{P(Z_n>0)}+\frac{E[Z_n1_{Z_n=0}]}{P(Z_n=0)}
=\frac{E[Z_n 1_{Z_n>0}]}{P(Z_n>0)}+\frac{E[0*1_{Z_n=0}]}{P(Z_n=0)}
=\frac{E[Z_n 1_{Z_n>0}]}{P(Z_n>0)}=\frac{E[Z_n]}{P(Z_n>0)}[/mm]
Die letzte Umformung gilt,
da [mm]E[Z_n]=E[Z_n*1_{Z_n>0}+Z_n*1_{Z_n=0}]=E[Z_n*1_{Z_n>0}+0*1_{Z_n=0}]=E[Z_n*1_{Z_n>0}][/mm]
*Update*
hier fehlen noch Indikatorfunktionen, siehe erste Antwort
LG
Fry
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Tausend Dank, jetzt habe ich es verstanden! :)
Im Verlauf eines weiteren Beweisen bin ich auf eine Aussage gestoßen, die den Ausdruck wieder aufnimmt. Gerne würde ich euch die auch noch zeigen:
[mm] \[\int Z_nd(P|Z_n>0) [/mm] = [mm] \frac{1}{P(Z_n>0)}. \notag \]
[/mm]
Jetzt ist ja das Integralt einer Zufallsvariable nach dem zugehörigen Maß (hier noch mit der Bedingung [mm] $Z_n>0$) [/mm] der Erwartungswert der Zufallsvariable. Deshalb bin ich von Folgendem ausgegangen:
[mm] \[\int Z_nd(P|Z_n>0) [/mm] = [mm] E[Z_n|Z_n>0], \notag \]
[/mm]
nach obiger Gleichung und unsere vorigen Rechnungen ist es aber
[mm] \[\int Z_nd(P|Z_n>0) [/mm] = [mm] \frac{1}{P(Z_n>0)} [/mm] = [mm] \frac{E[Z_n|Z_n>0]}{E[Z_n]}. \notag \]
[/mm]
Hat das was mit der Bedingung in dem Integral zu tun?
Lieben Gruß :)
GirlyMaths
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:51 Fr 25.09.2015 | | Autor: | tobit09 |
> Im Verlauf eines weiteren Beweisen bin ich auf eine Aussage
> gestoßen, die den Ausdruck wieder aufnimmt. Gerne würde
> ich euch die auch noch zeigen:
>
> [mm]\[\int Z_nd(P|Z_n>0)[/mm] = [mm]\frac{1}{P(Z_n>0)}. \notag \][/mm]
Ist [mm] $P|Z_n>0$ [/mm] eine Kurzschreibweise für das Wahrscheinlichkeitsmaß definiert durch
[mm] $P|Z_n>0(A):=\frac{P(A\cap\{Z_n>0\})}{P(Z_n>0)}$?
[/mm]
(Natürlich unter der Voraussetzung [mm] $P(Z_n>0)>0$.)
[/mm]
> Jetzt ist ja das Integralt einer Zufallsvariable nach dem
> zugehörigen Maß (hier noch mit der Bedingung [mm]Z_n>0[/mm]) der
> Erwartungswert der Zufallsvariable. Deshalb bin ich von
> Folgendem ausgegangen:
>
> [mm]\[\int Z_nd(P|Z_n>0)[/mm] = [mm]E[Z_n|Z_n>0], \notag \][/mm]
Links steht (im Falle der [mm] $P|Z_n>0$-Integrierbarkeit [/mm] von [mm] $Z_n$) [/mm] eine reelle Zahl, rechts jedoch eine Zufallsgröße, wenn ich nichts missverstehe.
Das ist dann keine sinnvolle Gleichung.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 06:11 Mo 28.09.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:59 Mo 28.09.2015 | | Autor: | tobit09 |
Nachdem nun eure Bedeutung von [mm] $E[Z_n|Z_n>0]$ [/mm] geklärt ist:
> Tausend Dank, jetzt habe ich es verstanden! :)
Das ist schlecht, denn die Argumentation ging ebenso wie ich ursprünglich von einer anderen Bedeutung von [mm] $E[Z_n|Z_n>0]$ [/mm] aus und war auch darüber hinaus fehlerhaft.
> Im Verlauf eines weiteren Beweisen bin ich auf eine Aussage
> gestoßen, die den Ausdruck wieder aufnimmt. Gerne würde
> ich euch die auch noch zeigen:
>
> [mm]\[\int Z_nd(P|Z_n>0)[/mm] = [mm]\frac{1}{P(Z_n>0)}. \notag \][/mm]
>
> Jetzt ist ja das Integralt einer Zufallsvariable nach dem
> zugehörigen Maß (hier noch mit der Bedingung [mm]Z_n>0[/mm]) der
> Erwartungswert der Zufallsvariable. Deshalb bin ich von
> Folgendem ausgegangen:
>
> [mm]\[\int Z_nd(P|Z_n>0)[/mm] = [mm]E[Z_n|Z_n>0], \notag \][/mm]
Das lässt sich (mit der nun geklärten Bedeutung von [mm] $E[Z_n|Z_n>0]$) [/mm] in der Tat mittels eines Funktionserweiterungs-Argumentes zeigen.
> nach obiger Gleichung und unsere vorigen Rechnungen ist es
> aber
>
> [mm]\[\int Z_nd(P|Z_n>0)[/mm] = [mm]\frac{1}{P(Z_n>0)}[/mm] =
> [mm]\frac{E[Z_n|Z_n>0]}{E[Z_n]}. \notag \][/mm]
Ich würde den gleichen Einwand erheben wie du.
Oder ist irgendeine Bedingung gegeben, die [mm] $E[Z_n]=1$ [/mm] sicherstellt?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:10 Mo 28.09.2015 | | Autor: | tobit09 |
> [mm]\[E[Z_n|Z_n>0]=\frac{E[Z_n 1_{Z_n>0}]}{P(Z_n>0)}+\frac{E[Z_n1_{Z_n=0}]}{P(Z_n=0)}
=\frac{E[Z_n 1_{Z_n>0}]}{P(Z_n>0)}+\frac{E[0*1_{Z_n=0}]}{P(Z_n=0)}
=\frac{E[Z_n 1_{Z_n>0}]}{P(Z_n>0)}=\frac{E[Z_n]}{P(Z_n>0)}[/mm]
>
> Die letzte Umformung gilt,
> da
> [mm]E[Z_n]=E[Z_n*1_{Z_n>0}+Z_n*1_{Z_n=0}]=E[Z_n*1_{Z_n>0}+0*1_{Z_n=0}]=E[Z_n*1_{Z_n>0}][/mm]
>
> *Update*
> hier fehlen noch Indikatorfunktionen, siehe erste Antwort
An diesen fehlenden Indikatorfunktionen scheitert dein Beweis-Versuch.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:08 Mo 28.09.2015 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Fry!
> Nun gilt allgemein
> [mm]E[X|A]=E[X|\sigma(A)]
=\frac{1}{P(A)}E[X*1_A]*1_A+\frac{1}{P(A^c)}E[X*1_{A^c}]*1_{A^c}[/mm]
Wie ich jetzt von GirlyMaths erfahren habe, ist mit $E[X|A]$ nicht die Zufallsgröße [mm] $E[X|\sigma(A)]$ [/mm] gemeint!
> Wendest du dies auf [mm]A=\{Z_n>0\}[/mm] an, erhälst du sofort die
> Behauptung.
Nein.
Man erhält folgerichtig (wenn man von [mm] $E[X|A]=E[X|\sigma(A)]$ [/mm] ausgeht)
[mm] $E[Z_n|Z_n>0]=\frac{EZ_n}{P(Z_n>0)}1_{\{Z_n>0\}}$.
[/mm]
Viele Grüße
Tobias
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:35 Fr 25.09.2015 | | Autor: | tobit09 |
Hallo zusammen!
> Der Ausdruck lautet wie folgt:
> [mm]P(Z_n>0)=\mathbb{E}[Z_n]/\mathbb{E}[Z_n|Z_n>0][/mm].
Ich weiß nicht, ob ich irgendetwas missverstehe, aber ich sehe auf der linken Seite vom Gleichheitszeichen eine reelle Zahl, auf der rechten Seite vom Gleichheitszeichen jedoch eine (sicherlich im Allgemeinen nicht konstante) Zufallsgröße. Ich kann also keine sinnvolle Aussage erkennen.
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:01 So 27.09.2015 | | Autor: | GirlyMaths |
Hey,
danke, dass du dich mit meiner Frage auseinandergesetzt hast!
Just in den letzten Tagen bin ich auf die Lösung gestoßen; wir befinden uns in einem bestimmten Verzweigungsprozess, der gewisse Voraussetzungen mitbringt, weshalb man durch einige Rechnungen auf die Gleichung kommt.
Liebe Grüße,
GirlyMaths
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:39 So 27.09.2015 | | Autor: | tobit09 |
> Just in den letzten Tagen bin ich auf die Lösung
> gestoßen; wir befinden uns in einem bestimmten
> Verzweigungsprozess, der gewisse Voraussetzungen mitbringt,
> weshalb man durch einige Rechnungen auf die Gleichung
> kommt.
Dann stellt sich mir die Frage, wo mein Missverständnis liegt?
Ist mit [mm] $E[Z_n|Z_n>0]$ [/mm] nicht der bedingte Erwartungswert von [mm] $Z_n$ [/mm] gegeben die vom Ereignis [mm] $\{Z_n>0\}$ [/mm] erzeugte Sigma-Algebra gemeint?
Wenn nein: Was ist dann stattdessen mit der Schreibweise [mm] $E[Z_n|Z_n>0]$ [/mm] gemeint?
Wenn doch: Dann steht nach wie vor auf der rechten Seite der behaupteten Gleichheit eine Zufallsgröße und auf der linken Seite eine Zahl. In welchem Sinne sollen diese beiden Objekte übereinstimmen?
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Beide Ausdrücke beschreiben den Erwartungswert der Zufallsvariable [mm] $Z_n$ [/mm] unter der Bedingung, dass [mm] $Z_n$ [/mm] größer als 0 ist. Ausformuliert erfahren wir so, welche Größe wir für eine Population in Generation $n$ erwarten können, unter der Voraussetzung, dass sie zu dem Zeitpunkt noch nicht ausgestorben ist.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:15 So 27.09.2015 | | Autor: | tobit09 |
> Beide Ausdrücke
Du meinst die beiden Ausdrücke [mm] $P(Z_n>0)$ [/mm] und [mm] $\frac{E[Z_n]}{E[Z_n|Z_n>0]}$?
[/mm]
> beschreiben den Erwartungswert der
> Zufallsvariable [mm]Z_n[/mm] unter der Bedingung, dass [mm]Z_n[/mm] größer
> als 0 ist.
Wie ist ein Erwartungswert unter einer Bedingung (bzw. einem Ereignis) definiert?
Ich kenne nur bedingte Erwartungswerte (und diese sind keine Zahlen, sondern Zufallsgrößen).
Geht ihr vielleicht von folgender Definition aus?
[mm] $E[X|A]:=\frac{E[X1_A]}{P(A)}\in\IR$
[/mm]
(für integrierbare Zufallsgrößen X und Ereignisse $A$ mit $P(A)>0$).
Dann würde die behauptete Gleichung (ohne lange Rechnung) passen.
Anderenfalls bleibt mein Problem unverändert: In welchem Sinne soll eine Gleichung der Form "Zahl=Zufallsgröße" (wobei die Zufallsgröße nicht als (P-f.s.) konstant vorausgesetzt ist) in sinnvoller Weise als wahr angesehen werden?
> Ausformuliert erfahren wir so, welche Größe
> wir für eine Population in Generation [mm]n[/mm] erwarten können,
> unter der Voraussetzung, dass sie zu dem Zeitpunkt noch
> nicht ausgestorben ist.
[mm] $P(Z_n>0)$ [/mm] ist eine Zahl (anschaulich gibt sie die Wahrscheinlichkeit an, dass die Population in Generation n noch nicht ausgestorben ist).
(Ich gehe im Folgenden davon aus, dass die [mm] $Z_n$ [/mm] mindestens P-f.s. nichtnegativ sind und jeweils [mm] $P(Z_n>0)\in(0,1)$ [/mm] gilt.)
Verstehe ich [mm] $E[Z_n|Z_n>0]$ [/mm] als bedingten Erwartungswert von [mm] $Z_n$ [/mm] unter der vom Ereignis [mm] $\{Z_n>0\}$ [/mm] erzeugten Sigma-Algebra, so ist [mm] $E[Z_n|Z_n>0]$ [/mm] eine Zufallsgröße, die für [mm] $\omega\in\{Z_n>0\}$ [/mm] den Wert [mm] $\frac{EZ_n}{P(Z_n>0)}\in\IR$ [/mm] und für [mm] $\omega\in\{Z_n>0\}^c$ [/mm] den Wert $0$ annimmt, wie man sich überlegen kann.
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$ [mm] E[X|A]:=\frac{E[X1_A]}{P(A)}\in\IR [/mm] $
Genau davon gehen wir aus 
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