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(Frage) überfällig  | | Datum: | 12:46 Mo 23.01.2012 | | Autor: | Teufel |
| Aufgabe | | Seien [mm] $T_0, T_1$ [/mm] u.i. exponentialverteilt mit Parameter [mm] $\alpha$ [/mm] und [mm] $X=min(T_0, T_1)$. [/mm] Zeige: [mm] $E(X|T_0)=\frac{1}{\alpha}(1-e^{-\alpha T_0})$. [/mm] |
Hi!
Hier habe ich ein kleines Problem. Also, ich muss zeigen:
(i) [mm] \frac{1}{\alpha}(1-e^{-\alpha T_0}) [/mm] ist [mm] \sigma (T_0)-messbar [/mm] und
(ii) [mm] \integral_{A}^{}{X dP} [/mm] = [mm] \integral_{A}^{}{\frac{1}{\alpha}(1-e^{-\alpha T_0}) dP} [/mm] für alle $A [mm] \in \sigma (T_0)$.
[/mm]
(i) ist klar.
Das Problem bei (ii) ist, dass ich nicht weiß, wie ich die Dichte der Exponentialverteilung vernünftig einbringen kann. Man muss ja erstmal davon ausgehen, dass X, [mm] T_0 [/mm] und [mm] T_1 [/mm] aus irgendeinem Wahrscheinlichkeitsraum [mm] $(\Omega, \mathcal{A}, [/mm] P)$ kommen.
Nun will ich erst einmal [mm] \integral_{A}^{}{X dP} [/mm] ausrechnen. Ich weiß, dass die Dichtefunktion von X [mm] f_X(t)=2\alpha e^{-2\alpha t} [/mm] ist. Aber nun ist mir nicht klar, wo genau die Dichtefunktion zum Tragen komm, weil das irgendwie nicht besprochen wurde, weil es als bekannt vorausgesetzt war.
Ich kenne eben nur die elementare Sache, dass [mm] P_X((- \infty, t])=\integral_{(- \infty, t]}^{}{f d \lambda}=\integral_{0}^{t}{f_X(x) dx} [/mm] gilt.
Kann mir jemand einen Ansatz geben?
Edit:
Wenn ich ganz stur anfangen würde, würde das so aussehen:
[mm] \integral_{A}^{}{X dP}=\integral_{X(A)}^{}{x*f_X(x) d \lambda (x)}=\integral_{X(A)}^{}{x*2\alpha e^{-2\alpha x} d \lambda (x)}
[/mm]
und (sei [mm] h(x)=\frac{1}{\alpha}(1-e^{-\alpha x}))
[/mm]
[mm] \integral_{A}^{}{h \circ T_0 dP}=\integral_{T_0(A)}^{}{h*f_{T_0}(x)d \lambda (x)}=\integral_{T_0(A)}^{}{\frac{1}{\alpha}(1-e^{-\alpha x})*\alpha e^{-\alpha x}d \lambda (x)}=\integral_{T_0(A)}^{}{e^{-\alpha x}-e^{-2 \alpha x}*d \lambda (x)}
[/mm]
Diese beide Sachen sollen nun gleich sein, wenn alles bis hier hin ok sein sollte. Wie kann ich das denn bewerkstelligen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:20 Mi 25.01.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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