Bedeutung eines Integrals < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:48 Fr 17.09.2010 | | Autor: | Denny22 |
Hallo an alle,
ich habe im Buch folgendes Integral gefunden:
[mm] $\int_{0}^{\infty\exp(i\beta)}f(u)du$,
[/mm]
wobei [mm] $\beta\in\IR$. [/mm] Aber was soll mir das [mm] $\infty\exp(i\beta)$ [/mm] aussagen? Wird hier nur radial in eine bestimmte Richtung integriert?
Danke
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:52 Fr 17.09.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo an alle,
>
> ich habe im Buch folgendes Integral gefunden:
>
> [mm]\int_{0}^{\infty\exp(i\beta)}f(u)du[/mm],
>
> wobei [mm]\beta\in\IR[/mm]. Aber was soll mir das [mm]\infty\exp(i\beta)[/mm]
> aussagen? Wird hier nur radial in eine bestimmte Richtung
> integriert?
Das kann ich Dir nicht sagen. Diese Bez. hab ich noch nie gesehen.
Beachte: [mm] $|exp(i\beta)|=1$
[/mm]
Merkwürdig. Schau mal in dem Buch nach, vielleicht ist es dort irgendwo erklärt.
FRED
>
> Danke
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:10 Mo 20.09.2010 | | Autor: | Denny22 |
Hallo nochmal,
ich habe im Buch nichts finden koennen. Scheint wohl zu trivial zu sein!? Ich vermute nach wie vor, dass der Oeffnungswinkel [mm] $\beta$ [/mm] fest ist und entlang einer Geraden integeriert wird. Wie auch immer.
Ich versuche nun einmal den Sinn des Integrals an der folgenden (im Buch aufgefuehrten) Gleichung nach zu vollziehen: Im Buch wurde [mm] $\beta$ [/mm] fest gewaehlt mit [mm] $-\frac{\pi}{2}\leqslant\beta\leqslant\frac{\pi}{2}$. [/mm] Dann schreiben sie dort, dass folgendes gelten soll:
[mm] $\left|\int_{0}^{\infty\exp(i\beta)}e^{-u}u^{\nu+k-\frac{1}{2}}du\right|\overset{\text{Buch}}{=}\Gamma(\nu+k+\frac{1}{2}):=\int_{0}^{\infty}e^{-t}t^{\nu+k+\frac{1}{2}-1}dt=\int_{0}^{\infty}e^{-t}t^{\nu+k-\frac{1}{2}}dt$
[/mm]
Hierbei ist [mm] $k=0,1,2,3,\ldots$ [/mm] und [mm] $\nu\in\IC$ [/mm] mit [mm] $\mathrm{Re}\left(\nu+\frac{1}{2}\right)>0$.
[/mm]
Hat jemand eine Idee, wie der Autor auf die Gleichheit kommt? Unter Umstaenden koennte dort auch ein [mm] $\leqslant$ [/mm] stehen.
Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:51 Mo 20.09.2010 | | Autor: | Blech |
Hi,
> Hat jemand eine Idee, wie der Autor auf die Gleichheit
> kommt? Unter Umstaenden koennte dort auch ein [mm]\leqslant[/mm]
> stehen.
Nicht nur unter Umständen. Wenn Du den Ursprung in irgendeine Richtung außer entlang der realen Achse verläßt, stimmt die Gleichheit nicht.
Hier sind die Absolutwerte der komplexen Gammafunktion, man sieht daß die $Re(z)>0$ Halbebene nicht radialsymmetrisch zum Ursprung ist:
[Dateianhang nicht öffentlich]
(Bild ist von ![[]](/images/popup.gif) hier)
ciao
Stefan
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:07 Mo 20.09.2010 | | Autor: | Denny22 |
Danke fuer den Hinweis. Wie komme ich nun auf
[mm] $\left|\int_{0}^{\infty\exp(i\beta)}e^{-u}u^{\nu+k-\frac{1}{2}}du\right|\overset{\text{Buch}}{\leqslant}\Gamma(\nu+k+\frac{1}{2})$?
[/mm]
Angenommen das Integral beschreibt ein Kurvenintegral und ich habe meinen Integrationsweg
[mm] $\alpha:[0,\infty[\rightarrow\IC$ [/mm] mit [mm] $\alpha(r):=r\cdot\exp(i\beta)$
[/mm]
dann gilt (nach der Definition des Kurvenintegrals):
[mm] $\left|\int_{0}^{\infty\exp(i\beta)}e^{-u}u^{\nu+k-\frac{1}{2}}du\right|$
[/mm]
[mm] $=\left|\int_{\alpha}e^{-u}u^{\nu+k-\frac{1}{2}}du\right|$
[/mm]
[mm] $=\left|\int_{0}^{\infty}e^{-r e^{i\beta}}\left(r e^{i\beta}\right)^{\nu+k-\frac{1}{2}}e^{i\beta}dr\right|
[/mm]
Wenn [mm] $\beta=0$ [/mm] ist, so steht in den Betraegen die Gammafunktion [mm] $\Gamma(\nu+k+\frac{1}{2})$. [/mm] Fuer den Fall [mm] $-\frac{\pi}{2}\leqslant\beta\leqslant\frac{\pi}{2}$ [/mm] mit [mm] $\beta\neq [/mm] 0$ ziehe ich die Betraege in das Integral
[mm] $\leqslant\int_{0}^{\infty}\left|e^{-r e^{i\beta}}\right|\cdot r^{\nu+k-\frac{1}{2}}\cdot\underbrace{\left|e^{i\beta}\right|^{\nu+k-\frac{1}{2}}}_{=1}\cdot\underbrace{\left|e^{i\beta}\right|}_{=1}dr$
[/mm]
[mm] $=\int_{0}^{\infty}\left|e^{-r e^{i\beta}}\right|\cdot r^{\nu+k-\frac{1}{2}}dr$
[/mm]
Warum gilt nun
[mm] $\left|e^{-re^{i\beta}}\right|\leqslant e^{-r}\quad\forall\,r\geqslant [/mm] 0$?
Denn dies muss gelten, wenn ich anschliessend die Gammafunktion erhalten moechte.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:40 Mo 20.09.2010 | | Autor: | Blech |
Hi,
> [mm]\left|\int_{0}^{\infty\exp(i\beta)}e^{-u}u^{\nu+k-\frac{1}{2}}du\right|\overset{\text{Buch}}{\leqslant}\Gamma(\nu+k+\frac{1}{2})[/mm]?
>
Stand im Buch nicht Gleichheit?
> Warum gilt nun
>
> [mm]\left|e^{-re^{i\beta}}\right|\leqslant e^{-r}\quad\forall\,r\geqslant 0[/mm]?
Das gilt allgemein nicht.
[mm] $e^{i\beta}=:c+id$
[/mm]
Der Imaginärteil spielt für den Betrag keine Rolle, aber [mm] $1\geq c\geq [/mm] 0$ schon. Sagen wir [mm] $\beta=\frac\pi [/mm] 2,$ dann ist
[mm] $\left|e^{-re^{i\beta}}\right|=1$
[/mm]
völlig unabhängig von r.
ciao
Stefan
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