Bedeutung d über = < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo zusammen!
Ich bin in einem Beweis, der auf Verteilungen von Zufallsvariablen beruht, auf Ausdrücke gestoßen, wie z.B.
[mm] \[R_n\overset{d}{\rightarrow}X.\]
[/mm]
[mm] $R_n$ [/mm] und $X$ sind jeweils Zufallsvariablen. Meinte Vermutung ist, dass es (in diesem Fall) 'geht gegen die Verteilung von' bedeutet.
Kann man das verallgemeinern?
Danke und viele Grüße,
GirlyMaths
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Hallo,
Das bedeutet : konvergiert in Verteilung !
$ [mm] \[R_n\overset{d}{\rightarrow}X.\] [/mm] $
[mm] R_n [/mm] konvergiert in Verteilung gegen X.
Lg
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:19 Mi 07.10.2015 | | Autor: | GirlyMaths |
Danke! :)
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Hey,
mir ist zu dem Thema noch eine Frage gekommen:
Wenn zwei Zufallsvariablen A und B gegeben sind, die unter ihrer jeweiligen Verteilung ($A_*$ und $B_*$) gleich verteilt sind, kann ich das dann so ausdrücken:
[mm] \[A_*(A)\overset{d}{=}B_*(B)\]
[/mm]
?
Bzw. wenn die Verteilung von A gegen die Verteilung von B konvergiert, ist dann das folgende richtig:
[mm] \[A\overset{d}{\rightarrow}B\]
[/mm]
?
Danke :)
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Hallo,
Entweder zwei ZV A und B sind gleich verteilt oder nicht - falls A und B gleich verteilt sind so schreiben wir
A [mm] \overset{d}{=} [/mm] B
Ist dir klar was Gleichheit in Verteilung bedeutet ?
Also kennst du den Unterschied zwischen
A = B
und
A [mm] \overset{d}{=} [/mm] B
?
Und : Ja eine Verteilung kann gegen eine andere Verteilung konvergieren, dafür gibt es aber meines Wissens nach keine einheitlich übliche Notation.
Lg
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:44 Do 08.10.2015 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Thomas_Aut!
> Und : Ja eine Verteilung kann gegen eine andere Verteilung
> konvergieren, dafür gibt es aber meines Wissens nach keine
> einheitlich übliche Notation.
Was meinst du genau mit "eine Verteilung kann gegen eine andere Verteilung konvergieren"?
Beziehst du dich auf eine mir unbekannte Definition?
Viele Grüße
Tobias
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:53 Do 08.10.2015 | | Autor: | Thomas_Aut |
Hallo Tobias,
Als Beispiel : die t-Verteilung ist asymptotisch normalverteilt - die Dichte der t-Verteilung konvergiert also gegen die Dichte der Standardnormalverteilung.
Die Aussage : die t-Verteilung konvergiert gegen die Standardnoramlverteilung ist mathematisch nicht absolut exakt aber damit meinte ich obiges - bist du damit einverstanden ?
Lg
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:41 Do 08.10.2015 | | Autor: | tobit09 |
> Als Beispiel : die t-Verteilung ist asymptotisch
> normalverteilt - die Dichte der t-Verteilung konvergiert
> also gegen die Dichte der Standardnormalverteilung.
>
> Die Aussage : die t-Verteilung konvergiert gegen die
> Standardnoramlverteilung ist mathematisch nicht absolut
> exakt aber damit meinte ich obiges - bist du damit
> einverstanden ?
Noch bin ich nicht sicher, ob ich richtig verstanden habe, was du meinst.
Bezeichne [mm] $t_n$ [/mm] die t-Verteilung mit n Freiheitsgraden (für [mm] $n\in\IN$).
[/mm]
[mm] $f_n$ [/mm] bezeichne die "üblicherweise betrachtete" Dichte von [mm] $t_n$.
[/mm]
$f$ bezeichne die "üblicherweise betrachtete" Dichte der Standardnormalverteilung N(0,1).
Du meinst also, dass [mm] $(f_n)_{n\in\IN}$ [/mm] punktweise gegen f konvergiert?
(Mir fehlt leider das Fachwissen, um die Korrektheit dieser Behauptung zu prüfen. Ebenso wenig weiß ich, ob dies die schwache Konvergenz der Folge [mm] $(t_n)_{n\in\IN}$ [/mm] gegen $N(0,1)$ impliziert.)
Hier konvergiert keine einzelne Verteilung, sondern allenfalls eine Folge von Verteilungen in irgendeinem Sinne.
Das würde ich auch so formulieren, um Missverständnissen vorzubeugen.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:46 Do 08.10.2015 | | Autor: | Thomas_Aut |
Hallo Tobias,
Ich arbeite bei Zeit einen Beweis aus - dann sollte auch klar sein was genau gemeint ist :)
Lg
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:41 Do 08.10.2015 | | Autor: | tobit09 |
Hallo GirlyMaths!
> mir ist zu dem Thema noch eine Frage gekommen:
> Wenn zwei Zufallsvariablen A und B gegeben sind, die unter
> ihrer jeweiligen Verteilung ([mm]A_*[/mm] und [mm]B_*[/mm]) gleich verteilt
> sind,
Du meinst also [mm] $A_\*:=P^A$ [/mm] und [mm] $B_\*:=P^B$?
[/mm]
> kann ich das dann so ausdrücken:
>
> [mm]\[A_*(A)\overset{d}{=}B_*(B)\][/mm]
>
> ?
Was soll [mm] $A_\*(A)$ [/mm] bedeuten?
> Bzw. wenn die Verteilung von A gegen die Verteilung von B
> konvergiert,
Ich kenne nur die schwache Konvergenz (/Konvergenz in Verteilung) einer FOLGE von Verteilungen (/Zufallsgrößen) gegen eine Verteilung (/Zufallsgröße).
Du betrachtest also die konstante Folge [mm] $(P^A)_{n\in\IN}$ [/mm] und willst nun den Fall betrachten, dass diese konstante Folge von Verteilungen schwach gegen die Verteilung [mm] $P^B$ [/mm] konvergiert (mit anderen Worten: Du betrachtest den Fall, dass die konstante Folge [mm] $(A)_{n\in\IN}$ [/mm] in Verteilung gegen B konvergiert).
Wegen der Eindeutigkeit des Grenzwertes bei schwacher Konvergenz folgt dann schon [mm] $P^A=P^B$ [/mm] (denn die konstante Folge [mm] $(P^A)_{n\in\IN}$ [/mm] konvergiert sicherlich auch schwach gegen [mm] $P^A$).
[/mm]
> ist dann das folgende richtig:
>
> [mm]\[A\overset{d}{\rightarrow}B\][/mm]
> ?
Ja, das wäre eine andere Schreibweise für: "Die konstante Folge, die für jedes [mm] $n\in\IN$ [/mm] als Wert A annimmt, konvergiert in Verteilung gegen B" (was nichts anderes als [mm] $P^A=P^B$ [/mm] bedeutet).
Viele Grüße
Tobias
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Hey ihr zwei,
vielen Dank für eure Erklärungen!
Es stimmt, dass mir leider noch nicht ganz klar ist, was 'Konvergenz in Verteilung bedeutet'.
Hat es was damit zu tun, dass nicht die Folge der ZV gleich ist, ihre Verteilung aber schon?
Danke!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:00 Do 08.10.2015 | | Autor: | tobit09 |
Wichtig finde ich, den von Thomas_Aut angesprochenen Unterschied zwischen Gleichheit zweier Zufallsgrößen und Gleichheit der Verteilungen zweier Zufallsgrößen zu verstehen.
Wenn zwei Zufallsgrößen $X$ und $Y$ übereinstimmen, dann stimmen natürlich erst Recht die Verteilungen [mm] $P^X$ [/mm] und [mm] $P^Y$ [/mm] überein.
Kannst du ein (möglichst einfaches) Beispiel zweier Zufallsgrößen $X$ und $Y$ (auf einem geeigneten Wahrscheinlichkeitsraum) angeben, deren Verteilungen zwar übereinstimmen, die aber nicht selbst übereinstimmen (d.h. [mm] $P^X=P^Y$ [/mm] aber [mm] $X\not=Y$)? [/mm]
> Es stimmt, dass mir leider noch nicht ganz klar ist, was
> 'Konvergenz in Verteilung bedeutet'.
> Hat es was damit zu tun, dass nicht die Folge der ZV
> gleich ist, ihre Verteilung aber schon?
Was meinst du mit "die Folge der Zufallsvariablen ist nicht gleich" oder "die Verteilung dieser Folge ist gleich"?
Eine Folge [mm] $(X_n)_{n\in\IN}$ [/mm] von Zufallsgrößen konvergiert in Verteilung gegen eine Zufallsgröße X, falls die Folge der Verteilungen [mm] $(P^{X_n})_{n\in\IN}$ [/mm] schwach gegen die Verteilung [mm] $P^X$ [/mm] konvergiert.
Im Gegensatz zu anderen Konvergenzarten für Zufallsgrößen (Konvergenz P-f.s., stochastische Konvergenz, Konvergenz im p-ten Mittel) kommt es also bei der Frage nach Konvergenz in Verteilung nur auf die VERTEILUNG der einzelnen Zufallsgrößen an.
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> Wichtig finde ich, den von Thomas_Aut angesprochenen
> Unterschied zwischen Gleichheit zweier Zufallsgrößen und
> Gleichheit der Verteilungen zweier Zufallsgrößen zu
> verstehen.
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> Wenn zwei Zufallsgrößen [mm]X[/mm] und [mm]Y[/mm] übereinstimmen, dann
> stimmen natürlich erst Recht die Verteilungen [mm]P^X[/mm] und [mm]P^Y[/mm]
> überein.
>
Das verstehe ich!
> Kannst du ein (möglichst einfaches) Beispiel zweier
> Zufallsgrößen [mm]X[/mm] und [mm]Y[/mm] (auf einem geeigneten
> Wahrscheinlichkeitsraum) angeben, deren Verteilungen zwar
> übereinstimmen, die aber nicht selbst übereinstimmen
> (d.h. [mm]P^X=P^Y[/mm] aber [mm]X\not=Y[/mm])?
>
Würde da zB passen, dass wir einen Münzwurf haben und die eine ZV X im Fall von Kopf einen Gewinn, die ZV Y im Fall von Zahl einen Gewinn beschreibt. Dann wäre die Verteilung für beide gleich, die ZV stimmen aber nicht überein.
>
> > Es stimmt, dass mir leider noch nicht ganz klar ist, was
> > 'Konvergenz in Verteilung bedeutet'.
> > Hat es was damit zu tun, dass nicht die Folge der ZV
> > gleich ist, ihre Verteilung aber schon?
> Was meinst du mit "die Folge der Zufallsvariablen ist
> nicht gleich" oder "die Verteilung dieser Folge ist
> gleich"?
>
> Eine Folge [mm](X_n)_{n\in\IN}[/mm] von Zufallsgrößen konvergiert
> in Verteilung gegen eine Zufallsgröße X, falls die Folge
> der Verteilungen [mm](P^{X_n})_{n\in\IN}[/mm] schwach gegen die
> Verteilung [mm]P^X[/mm] konvergiert.
>
Also kann man hier die Schreibweise [mm] $X_n\overset{d}{\rightarrow}X$ [/mm] verwenden?
> Im Gegensatz zu anderen Konvergenzarten für
> Zufallsgrößen (Konvergenz P-f.s., stochastische
> Konvergenz, Konvergenz im p-ten Mittel) kommt es also bei
> der Frage nach Konvergenz in Verteilung nur auf die
> VERTEILUNG der einzelnen Zufallsgrößen an.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:29 Fr 09.10.2015 | | Autor: | tobit09 |
> > Kannst du ein (möglichst einfaches) Beispiel zweier
> > Zufallsgrößen [mm]X[/mm] und [mm]Y[/mm] (auf einem geeigneten
> > Wahrscheinlichkeitsraum) angeben, deren Verteilungen zwar
> > übereinstimmen, die aber nicht selbst übereinstimmen
> > (d.h. [mm]P^X=P^Y[/mm] aber [mm]X\not=Y[/mm])?
> >
> Würde da zB passen, dass wir einen Münzwurf haben und die
> eine ZV X im Fall von Kopf einen Gewinn, die ZV Y im Fall
> von Zahl einen Gewinn beschreibt. Dann wäre die Verteilung
> für beide gleich, die ZV stimmen aber nicht überein.
Du meinst also wahrscheinlich:
[mm] $\Omega:=\{K,Z\}$
[/mm]
[mm] $F:=\mathcal{P}(\Omega)$
[/mm]
P:=die Laplace-Verteilung auf [mm] $\Omega$
[/mm]
[mm] $X:=1_{\{K\}}$ [/mm] (also $X(K)=1$ und $X(Z)=0$)
[mm] $Y:=1_{\{Z\}}$ [/mm] (also $Y(Z)=1$ und $Y(K)=0$).
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Gute Idee!
In der Tat: Beide Zufallsgrößen sind Laplace-verteilt auf der Menge [mm] $\{0,1\}$, [/mm] aber stimmen offenbar nicht überein.
> > > Es stimmt, dass mir leider noch nicht ganz klar ist, was
> > > 'Konvergenz in Verteilung bedeutet'.
> > > Hat es was damit zu tun, dass nicht die Folge der ZV
> > > gleich ist, ihre Verteilung aber schon?
> > Was meinst du mit "die Folge der Zufallsvariablen ist
> > nicht gleich" oder "die Verteilung dieser Folge ist
> > gleich"?
> >
> > Eine Folge [mm](X_n)_{n\in\IN}[/mm] von Zufallsgrößen konvergiert
> > in Verteilung gegen eine Zufallsgröße X, falls die Folge
> > der Verteilungen [mm](P^{X_n})_{n\in\IN}[/mm] schwach gegen die
> > Verteilung [mm]P^X[/mm] konvergiert.
> >
> Also kann man hier die Schreibweise
> [mm]X_n\overset{d}{\rightarrow}X[/mm] verwenden?
Ja, das (oder etwas ausführlicher: [mm] $X_n\overset{d}{\rightarrow}X$ [/mm] für [mm] $n\to\infty$) [/mm] ist eine abkürzende Schreibweise für [mm] "$(X_n)_{n\in\IN}$ [/mm] konvergiert in Verteilung gegen X".
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