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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:43 Mi 23.06.2010 | | Autor: | sven2109 |
Schön guten Tag!
Vorab:
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich habe Schwierigkeiten dies folgende Rechnung komplett zu verstehen, irgendwie weiß ich nicht , wo ein Term verbleiben ist und warum der Exponent so aussieht:-(.
Ich habe die folgende Situation:
Gegeben ist die Realisierung [mm] x = ( x_1, ... , x_n ) [/mm] von [mm] X = ( X_1, ... X_n ) [/mm] mit Werten in [mm] \{0,1\}^n [/mm] und [mm] X_i [/mm] sind i.i.d.
Die Verteilung von X ist gegeben als
[mm] P_{ \theta} ^X = P( X_1 = x_1, ... , X_n = x_m ) = \theta^{ \summe_{i=1}^n x_i } ( 1- \theta)^{n - \summe_{i=1}^n x_i } [/mm] mit [mm] \theta \in (0,1) [/mm].
Nun kommt die folgende Rechnung:
Für [mm] x = ( x_1, ... , x_n ) \in \{0,1\}^n, \ y \in \{0,1,2, ... n \} [/mm] berechne
[mm] P_{\theta} ( X = x \mid \summe_{i=1}^n X_i = y }) = \bruch{ P_{\theta} ( X = x , \summe_{i=1}^n X_i = y ) }{P_{\theta} (\summe_{i=1}^n X_i = y ) } [/mm]
Die obige Gleichung ist einfach die Gleichung für bed. Wahrscheinlichkeiten , richtig ?
Falls [mm] \summe_{i=1}^n x_i = y [/mm] vorliegt, dann ergibt sich
[mm] P_{\theta} ( X = x \mid \summe_{i=1}^n X_i = y }) = \bruch{ P_{\theta} ( X = x ) }{P_{\theta} (\summe_{i=1}^n X_i = y ) } [/mm]
Da vertsehe ich nicht, warum in dem Zähler nur das [mm]P_{\theta} ( X = x ) [/mm] steht, wo ist der Rest???
Weiter geht es dann folgendermaßen:
[mm] = \bruch{\theta^y ( 1 - \theta)^{n-y} }{ {n \choose y} \theta^y ( 1- \theta)^{n-y} } [/mm]
Hier ist mir nicht klar, warum im Zähler das y im Exponenten steht... Muss das nicht ein x hin??
[mm] = \bruch{1}{{n \choose k} [/mm]
Bitte um Hilfe!
Vielen herzlichen Dank!
Sven
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:49 Mi 23.06.2010 | | Autor: | wauwau |
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> [mm]P_{\theta} ( X = x \mid \summe_{i=1}^n X_i = y }) = \bruch{ P_{\theta} ( X = x \mid \summe_{i=1}^n X_i = y ) }{P_{\theta} (\summe_{i=1}^n X_i = y ) }[/mm]
>
> Die obige Gleichung ist einfach die Gleichung für bed.
> Wahrscheinlichkeiten , richtig ?
nein, kann nicht sein, denn im Zähler rechts steht das gleiche wie links!!!
hast du da nicht [mm] $\cap$ [/mm] mit | verwechselt???
>.........
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:59 Mi 23.06.2010 | | Autor: | sven2109 |
Sorry, habe mich vertippt! Anstelle von [mm] \mid [/mm] muss ein Komma stehen. Habe es schon geändert!!!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:35 Fr 25.06.2010 | | Autor: | wauwau |
> [mm]P_{\theta} ( X = x \mid \summe_{i=1}^n X_i = y }) = \bruch{ P_{\theta} ( X = x , \summe_{i=1}^n X_i = y ) }{P_{\theta} (\summe_{i=1}^n X_i = y ) }[/mm]
Es muss heißen
[mm]P_{\theta} ( X = x \mid \summe_{i=1}^n X_i = y }) = \bruch{ P_{\theta} ( X = x \cap \summe_{i=1}^n X_i = y ) }{P_{\theta} (\summe_{i=1}^n X_i = y ) }[/mm]
= normale bedingte Wahrscheinlichkeit
Dann betrachte mal: $ [mm] \summe_{i=1}^n X_i [/mm] = y $ ist ja nur dann der Fall, wenn y Elemente der n Elemente $ [mm] x_i [/mm] = 1 $ sind (daher kommt der Binomialkoeffizient im Nenner)
Im Zähler steht dann die Wahrscheinlichkeit $ [mm] \theta^{\summe_{i=1}^{n}x_i}(1-\theta)^{n-\summe_{i=1}^{n}x_i} [/mm] $ und gleichzeitig muss ja [mm] $\summe_{i=1}^{n}x_i=y$ [/mm] sein. Daher kannst du im Zähler die Summe durch y ersetzen.
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