Bed. der gem. 2nd Ableitung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:37 Do 07.11.2013 | | Autor: | Druss |
Hallo,
Ich versuche zu verstehen was mir die zweite gemischte Ableitung inhaltlich aussagt. Im 1-dim-Fall ist es einfach die Rate mit welcher sich die Steigung verändert. Bei nur einer Veraenderlichen gibt es jedoch keine Mischungen der zweiten Ableitung.
Betrachte ich ein Beispiel mit [mm] $f_1 [/mm] (x,y) = [mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2$, [/mm] so weiß ich aus [mm] $\bruch{\partial^2 f_1}{\partial x \partial x}$ [/mm] und [mm] $\bruch{\partial^2 f_1}{\partial y \partial y}$, [/mm] dass die die Steigung der Funktion [mm] $f_1$ [/mm] in x- als auch y-Richtung ansteigt. Die gemischten Ableitungen sind jedoch Null und ich verstehe nicht, was dies inhaltlich zu bedeuten hat?
Angenommen ich betrachte ein weiteres Beispiel mit: [mm] $f_2 [/mm] (x,y) = [mm] x^2 [/mm] + 2xy + [mm] y^2$.
[/mm]
Die zweite gem. Ableitung ist: [mm] $\bruch{\partial^2 f_2}{\partial x \partial y} [/mm] = [mm] \bruch{\partial^2 f_2}{\partial y \partial x} [/mm] = 2$.
Inhaltlich hätte ich hier nun geschlussfolgert, dass die Steigung der Funktion [mm] $f_2$ [/mm] bei fixiertem $x$ ebenfalls in die y-Richtung ansteigt, da die ersten Ableitungen ja auch sowohl von $x$ als auch $y$ abhängen.
Im vorherigen Beispiel [mm] $f_1 [/mm] (x,y) $ ist die erste Ableitung entweder eine Funktion von $x$ oder von $y$. Somit würde ich mutmaßen, dass sich die Steigung in Diagonale nicht verändert, wenn ich $x$ fixieren würde und $y$ varriiere?
Vielen Dank,
Druss
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:18 Do 07.11.2013 | | Autor: | chrisno |
Diese Funktionen kannst Du Dir als Gelände vorstellen: x, y geben die Koordinaten an, f(x,y) die Höhe an dieser Stelle.
Wenn Du nach x ableitest, dann gibt es ein neues Gelände: Zu jedem Punkt (x, y) wird als Höhe die Steigung in x-Richtung genommen. Für jedes x, y gibt es nun in den ersten Beispiel den Wert 2x. Also ist diese Gelände eine Ebene, die bei einem x für jedes y die gleiche Höhe hat.
Wenn Du nun nach y ableitest, dann schaust auf die Steigung in y-Richtung. Die ist aber Null, weil Du beim Wandern in y-Richtung nie die Höhe änderst.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:22 Do 07.11.2013 | | Autor: | Druss |
Vielen Dank für die schnelle Antwort.
Ich wusste nicht genau wie ich auf die Funktion schauen soll aber im 3D-Plot sieht man genau das, was Du beschrieben hast.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Ich hab es mir im Plot so veranschaulicht, dass wenn ich die Funktion [mm] $f_1(x,y)$ [/mm] entlang der y-Achse in Scheiben schneide, dann verändert sich an der Tatsache nichts, dass die Steigung in $x$-Richtung positiv ist (die Parabel hat zwar eine unterschiedliche Form, jedoch ist die Rate in welcher sich die Steigung verändert, immer positiv).
Im zweiten Plot sieht man sofort, dass sich die Rate, in welcher sich die Steigung von $x$ verändert, von $y$ abhängt, d.h., aus einer negativen Rate, bei ca. ($y=-1$), wird eine positive, bei ca. ($y=1$).
Da die zweite gemischte Ableitung für [mm] $f_2(x,y) [/mm] = 2$ ist, heißt das doch genau, dass wenn ich mir die Rate in welcher sich die Steigung von $x$ verändert, anschaue, und anschließend $x$ fixiere und in die $y$-Richtung wandere, dass sich die Rate der Steigung von $x$ von negativ zu positiv verändert.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:26 Mi 13.11.2013 | | Autor: | Druss |
Ich habe noch eine Anschlussfrage:
Wenn ich nun die Hessian betrachte, so bestimmt man die Determinante um zu schlussfolgern, ob ein Extrema vorliegt oder nicht.
Für [mm] $f_2(x,y) [/mm] = [mm] x^2 [/mm] + 2xy + [mm] y^2$ [/mm] erhalte ich
[mm] $H_{f_2} [/mm] = [mm] \pmat{ 2 & 2 \\ 2 & 2 }$
[/mm]
Da die Summe der off-Diagonalen genau der Summe der Hauptdiagonalen ist, weiß ich, dass kein Extrema vorliegt.
Inhaltlich hätte ich gesagt, dass die Summe aus der Hauptdiagonalen, um in einem Extrema zu liegen, immer positiv sein sollte (gleiches Vorzeichen). Die off-Diagonale sollte mir nach den obigen Überlegungen Null sein, da ich bei einem Extrema doch keine Möglichkeit haben sollte mich zu einem anderen Punkt zu bewegen, ohne dass sich die Form des Geländes ändert? Wenn dies Möglich ist, dann hätte ich entweder kein eindeutiges Extrema (Fläche mit vielen Extrema) oder einen Sattel (kann mich wonaders hinbewegen, wo die Rate sich verändert und in ich ein "tieferes" Tal rutschen)?
Kurz gesagt, wie muss meine Hessian auf der off-Diagonalen aussehen, damit ich in einem Extrema liege?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:12 Do 14.11.2013 | | Autor: | fred97 |
Gannz ehrlich: ich verstehe Deine Ausführungen zu möglichen Extremwerten von
[mm] f(x,y)=x^2+2xy+y^2 [/mm]
nicht so richtig.
Bei obigem f ist die Sache ganz simpel.
Es ist gradf(u,v)=(0,0) [mm] \gdw [/mm] v=-u.
Extremwertverdächtig sind also alle Punkte (u,v) [mm] \in \IR^2 [/mm] mit: v=-u.
In einem solchen Punkt ist aber f(u,v)=0
Nun ist aber [mm] f(x,y)=(x+y)^2 \ge [/mm] 0 für alle (x,y) [mm] \in \IR^2.
[/mm]
Fazit: f nimmt in jedem Punkt (u,v) mit v=-u sein absolutes Minimum an.
Noch ein Wort zur Hessematrix
$ [mm] H_{f} [/mm] = [mm] \pmat{ 2 & 2 \\ 2 & 2 } [/mm] $:
[mm] H_f [/mm] ist weder positiv definit, noch negativ definit , noch indefinit.
[mm] H_f [/mm] hilft also bei möglichen Extremwerten nix !
FRED
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:30 Do 14.11.2013 | | Autor: | chrisno |
Ich denke, Du solltest die Anschauung auch mal verlassen. Dies ist schon für die zweiten gemischten Ableitungen etwas mühsam (für mich auf jeden Fall). Diese dann noch zu zu verarbeiten, das dabei die (Semi-)Definitheit der Hesse-Matrix erkennbar wird, ist mir zu komplex. Da arbeite ich dann lieber formal.
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