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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:10 Fr 03.10.2008 | | Autor: | zoj |
| Aufgabe | Eine Wettregel für den Herbst besagt, dass auf einen sonnigen Tag in 7 von 8 Fällen wieder ein sonniger Tag kommt. Auf einen trüben Tag aber nur 50% aller Fälle wieder ein trüber Tag folgt.
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten für folgende Herbstwetter der Wochen a-e:
Mittwoch Do Fr Sa
a)egal sonnig trübe sonnig
b)egal sonnig egal sonnig
c)trübe trübe trübe sonnig
d)trübe egal sonnig trübe
e)sonnig egal egal sonnig |
Wie könnte mann zu der Aufgabe ein Baumdiagramm zeichnen?
Geht das so?
a)
Start ---> egal ---> sonnig ---> trübe ---> sonnig
Demnach wäre doch P(s,t,s) = 7/7*1/2 *7/8
Ist das richtig so?
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> Eine Wettregel für den Herbst besagt, dass auf einen
> sonnigen Tag in 7 von 8 Fällen wieder ein sonniger Tag
> kommt. Auf einen trüben Tag aber nur 50% aller Fälle wieder
> ein trüber Tag folgt.
> Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten für folgende
> Herbstwetter der Wochen a-e:
> Mittwoch Do Fr Sa
> a)egal sonnig trübe sonnig
> b)egal sonnig egal sonnig
> c)trübe trübe trübe sonnig
> d)trübe egal sonnig trübe
> e)sonnig egal egal sonnig
> Wie könnte mann zu der Aufgabe ein Baumdiagramm zeichnen?
> Geht das so?
>
> a)
> Start ---> egal ---> sonnig ---> trübe ---> sonnig
> Demnach wäre doch P(s,t,s) = 7/7*1/2 *7/8
>
> Ist das richtig so?
Ich denke, dass es nötig sein wird, zuerst die
absoluten Wahrscheinlichkeiten für sonnige
und trübe Herbsttage zu berechnen. Dies gelingt,
wenn man das stochastische Übergangsdiagramm
(nicht Baumdiagramm !) mit den beiden Zuständen
S (sonniger Tag) und T (trüber Tag) betrachtet und
daraus Gleichungen herleitet.
Bezeichnungen:
s=P(S) (unabh. vom Vortageswetter)
t=P(T) (unabh. vom Vortageswetter)
ss=P(sonniger Tag | Vortag sonnig)=7/8
st=P(trüber Tag | Vortag sonnig)=...
tt=P(trüber Tag | Vortag trübe)=...
ts=P(sonniger Tag | Vortag trübe)=...
Dann gilt:
s+t=1
s=s*ss+t*ts
Daraus kann man (mittels der gegebenen Werte)
s und t berechnen.
Für Aufgabe a), also eine Folge [mm] ,
[/mm]
ergibt sich dann die Wahrscheinlichkeit:
[mm] P_a=1*s*st*ts
[/mm]
etc.
Schönen Abend ! Al-Chwarizmi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:04 Sa 04.10.2008 | | Autor: | zoj |
Irgendwie steige ich nicht ganz durch.
Unser Lehrer meint es ist mit einem Baumdiagramm zu lösen.
Die Lösung für a hat er so angegeben: [mm] P(sts)=\bruch{1}{8}*\bruch{1}{2} [/mm] = 6,25%
Aber wie kommt er drauf?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:10 Sa 04.10.2008 | | Autor: | Infinit |
Hallo zoj,
diese Wahrscheinlichkeit ist richtig für die Tage ab Donnerstag, denn die Wahrscheinlichkeit für den Übergang trübe - sonnig oder umgekehrt ist jeweils 0,5, für sonnig - trübe jedoch nur 1/8. Dann geht es mit einem Baumdiagramm, aber der Mittwoch ist dabei nicht berücksichtigt. Es gibt ja aber die Möglichkeit, egal so zu deuten, dass es entweder sonnig oder trüb ist. Mehr Möglichkeiten gibt es aber nicht und die folgenden Wetterübergänge sind ja bekannt. Dass es also sonnig oder trüb ist (und damit egal), diese Wahrscheinlichkeit ist 1.
P(ests) = 1* 1/8 * 1/2, und das unterscheidet sich vom Ergebnis her nicht.
Viele Grüße,
Infinit
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Hallo zusammen,
für die Berechnung des jeweils weiteren Wetterverlaufs
von Tag zu Tag ist natürlich das Baumdiagramm die
richtige Methode. Aus den Angaben der Übergangswahr-
scheinlichkeiten ergibt sich aber, dass die Wahrscheinlich-
keiten für sonnige bzw. trübe Tage s=0.8 bzw. t=0.2 sind
(siehe meinen 1.Beitrag).
In der Rechnung
$ [mm] P(sts)=\bruch{1}{8}\cdot{}\bruch{1}{2} [/mm] $ = 6,25%
fehlt also, wenn ich mich nicht sehr irre, der allererste
Faktor, der die Wahrscheinlichkeit beschreibt, dass der
Mittwoch sonnig ist.
Richtig wäre also:
$ P(sts)=P(Mittwoch\ [mm] sonnig)*\bruch{1}{8}\cdot{}\bruch{1}{2} [/mm] $
$ [mm] P(sts)=\bruch{4}{5}*\bruch{1}{8}\cdot{}\bruch{1}{2} [/mm] $ = 5%
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:57 Sa 04.10.2008 | | Autor: | Infinit |
Hallo Al-Chwarizmi, Bruder im Geiste des großen Mathematikers,
danke für Dein Veto, denn das brachte mich zu der Überlegung, dass ja nicht die Zustandswahrscheinlichkeit hier wichtig ist, sondern die Übergangswahrscheinlichkeit. Den Wert von 1/8 * 1/2 müsste man noch multiplizieren mit der Übergangswahrscheinlichkeit, dass "egal" sowohl "sonnig" als auch "trüb" bezeichnet. Für den Übergang sonnig - sonnig müsste man das Ganze noch mit 7/8 multiplizieren, für den Übergang trüb - sonnig mit 1/2 und dann beide Terme addieren.
Viele Grüße (eventuell nach Chiwa?),
Infinit
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> Hallo Al-Chwarizmi, Bruder im Geiste des großen
> Mathematikers,
> danke für Dein Veto, denn das brachte mich zu der
> Überlegung, dass ja nicht die Zustandswahrscheinlichkeit
> hier wichtig ist, sondern die Übergangswahrscheinlichkeit.
> Den Wert von 1/8 * 1/2 müsste man noch multiplizieren mit
> der Übergangswahrscheinlichkeit, dass "egal" sowohl
> "sonnig" als auch "trüb" bezeichnet. Für den Übergang
> sonnig - sonnig müsste man das Ganze noch mit 7/8
> multiplizieren, für den Übergang trüb - sonnig mit 1/2 und
> dann beide Terme addieren.
> Viele Grüße (eventuell nach Chiwa?),
im Moment nur ins Elsass ... 
> Infinit
>
Besten Dank !
Jetzt bleibt nur noch die Frage: Wie bringt zoj das dem Lehrer bei ?
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