Basiswechselmatrix? < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 01:23 So 06.05.2012 | | Autor: | HugATree |
| Aufgabe | Sei $K$ ein Körper
Sei [mm] char(K)=0[/mm] und [mm] $n=\mathbb{N}$. [/mm] Wir wissen aus Teil [mm](a)[/mm], dass [mm] $$\matcal{B}':=(1,(x-1),(x-1)^2,...,(x-1)^n)$$
[/mm]
eine geordnete Basis von [mm] $\mathbb{P}_n$ [/mm] ist. [mm] \mathcal{B}:=(1,x,x^2,...,x^m)$. [/mm] Geben Sie [mm]a_{ij} \in K[/mm] an, so dass für die Matrix [mm]A[/mm] mit Einträgen [mm] $a_{ij}$ [/mm] für alle [mm] $\alpa \in \mathbb{P}_n$ [/mm] gilt [mm] $[\alpha]_{\mathcal{B}'}=A[\alpha]_\mathcal{B}$. [/mm] |
Guten Abend zusammen,
ich weiß hier irgendwie nicht, wie ich anfangen soll,bzw. was überhaupt gefragt ist.
Soll ich eine Basiswechselmatrix von B nach B' finden?
Vielen Dank im Voraus
lG
HugATree
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 02:46 So 06.05.2012 | | Autor: | DerBaum |
Ich habe mir jetzt nochmal ein paar Gedanken darüber gemacht und bin auf folgendes gekommen:
Seien $b'_0=1, [mm] b'_1=(x-1),b'_2=(x-1)^2,...,b_n=(x-1)^n$
[/mm]
und [mm] $b_0=1,b_1=x,b_2=x^2,...,b_m=x^m$
[/mm]
Also ergibt sich:
[mm] $b'_0=1=b_0,$
[/mm]
[mm] $b'_1=(x-1)=-b_1+b_2,$
[/mm]
[mm] $b'_3=(x-1)^2=x^2-2x+1=b_0-2b_1+b_2,$
[/mm]
[mm] $b'3=(x-1)^3=x^3-3x^2+3x-1=-b_0+b_1-b_2+b_3,$
[/mm]
[mm] $\hdots$
[/mm]
Nun könnte man das ja theoretisch mit Binomialkoeffizienten ausdrücken, wenn da der blöde Vorzeichenwechsel nicht wäre.
Dieser außer Acht gelassen, würde folgendes ergeben:
[mm] $b'_n=\sum_{i=0}^n\binom{n}{i}b_i$
[/mm]
Wenn man sich die Binomialkoeffizienten betrachtet, fällt aus, dass immer wenn gilt: i UND n sind gerade oder ungerade: Vorzeichen ist +
und i und n sind verschieden (also n gerade und i ungerade oder andersrum), gilt Vorzeichen ist -.
Aber bin ich hier überhaupt auf dem richtigen Weg, und wenn ja, wie soll ich das dann hier machen?!
Vielen Dank,
lG
DerBaum
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:58 So 06.05.2012 | | Autor: | DerBaum |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Also, ich bin gerade auf eine Lösung mit den Vorzeichen gekommen:
Die Linearkombination der Vektoren von $\mathcal{B}'$ lässt sich darstellen durch:
$b'_n=\sum_{i=0}^n{(-1)^{n-i}\binom{n}{i}b_i$
Passt das?
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Okay, dann würde meine Matrix A ja so aussehen:
[mm] $$A:=\pmat{\binom{0}{0}&-\binom{1}{0}&\binom{2}{0}&\hdots & (-1)^{n}\binom{n}{0}\\ 0&\binom{1}{1}&-\binom{2}{1}&\hdots &(-1)^{n-1}\binom{n}{1}\\ 0 & 0 & \binom{2}{2} & \hdots &(-1)^{n-2}\binom{n}{2}\\ 0&0&0&\hdots&(-1)^{n-3}\binom{n}{3}\\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots\\ 0 & 0 & 0 & \hdots & (-1)^{n-m}\binom{n}{m}}$$
[/mm]
Und somit: [mm] $$a_{ij}=\begin{cases}(-1)^{j-i}\binom{j}{i} &\mbox{ für } i\leq j\\ 0 &\mbox{ für } {j\leq i} \end{cases}$$
[/mm]
Stimmt das?
lG
HugATree
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:20 Di 08.05.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 03:20 Di 08.05.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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> Sei [mm]K[/mm] ein Körper
> Sei [mm]char(K)=0[/mm] und [mm]n=\mathbb{N}[/mm]. Wir wissen aus Teil [mm](a)[/mm],
> dass [mm]\matcal{B}':=(1,(x-1),(x-1)^2,...,(x-1)^n)[/mm]
> eine geordnete Basis von [mm]\mathbb{P}_n[/mm][/mm] ist.
> [mm]\mathcal{B}:=(1,x,x^2,...,x^m)$.[/mm] Geben Sie [mm]a_{ij} \in K[/mm] an,
> so dass für die Matrix [mm]A[/mm] mit Einträgen [mm]a_{ij}[/mm] für alle
> [mm]\alpa \in \mathbb{P}_n[/mm] gilt
> [mm][\alpha]_{\mathcal{B}'}=A[\alpha]_\mathcal{B}[/mm].
> Guten Abend zusammen,
>
> ich weiß hier irgendwie nicht, wie ich anfangen soll,bzw.
> was überhaupt gefragt ist.
> Soll ich eine Basiswechselmatrix von B nach B' finden?
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Nein. Sonst stünde dort nämlich, daß Du die Matrix A mit [mm][\alpha]_{\mathcal{B}'}=A[\alpha]_\mathcal{B}[/mm][mm] A^{-1} [/mm] finden sollst.
Mein Verdacht: Du sollst tatsächlich die Basiswechselmatrix finden, und in Deiner Aufgabenstellung ist ein Tippfehler passiert.
Ich würde mal bei den Chefs nachfragen.
LG Angela
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> Vielen Dank im Voraus
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> lG
> HugATree
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt
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