Basiswechsel < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:59 Do 28.02.2013 | | Autor: | piriyaie |
| Aufgabe | | Gegeben seien die Vektoren b1 = [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 1} [/mm] ; b2= [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 1} [/mm] ; b3 = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1} \in \IR^{3} [/mm] und c1 = [mm] \vektor{1 \\ 2} [/mm] ; c2 = [mm] \vektor{2 \\ 3} [/mm] sowie die Matrix S = [mm] \pmat{ 1 & -2 & 1 \\ 0 & 2 & 1 } [/mm] |
Hallo,
das obige ist mir gegeben. Ich soll für die lineare Abbildung f: [mm] \IR^{3} \to \IR^{2} [/mm] , f(x) = S*x die darstellende Matrix bezgl. der Basen b1, b2, b3 und c1, c2 angeben.
Ich weiß, dass das irgenwie mit diesem Basiswechsel funktioniert. Aber wie das mit dem Basiswechsel geht weiß ich nicht. Ich habe leider auch nichts im internet gefunden wo mir erklärt wird wie ich mit dem Basiswechsel arbeite.
Gibt es auch einen einfacheren Weg die Aufgabe zu lösen ohne den Basiswechsel? Wie funktioniert der Basiswechsel? Gibt es auf youtube vllt ein Video mit dem Basiswechsel?
Danke schonmal.
Grüße
Ali
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Hallo,
> Gegeben seien die Vektoren b1 = [mm]\vektor{1 \\
1 \\
1}[/mm] ; b2=
> [mm]\vektor{0 \\
1 \\
1}[/mm] ; b3 = [mm]\vektor{0 \\
0 \\
1} \in \IR^{3}[/mm]
> und c1 = [mm]\vektor{1 \\
2}[/mm] ; c2 = [mm]\vektor{2 \\
3}[/mm] sowie die
> Matrix S = [mm]\pmat{ 1 & -2 & 1 \\
0 & 2 & 1 }[/mm]
> Hallo,
>
> das obige ist mir gegeben. Ich soll für die lineare
> Abbildung f: [mm]\IR^{3} \to \IR^{2}[/mm] , f(x) = S*x die
> darstellende Matrix bezgl. der Basen b1, b2, b3 und c1, c2
> angeben.
> Ich weiß, dass das irgenwie mit diesem Basiswechsel
> funktioniert. Aber wie das mit dem Basiswechsel geht weiß
> ich nicht. Ich habe leider auch nichts im internet gefunden
> wo mir erklärt wird wie ich mit dem Basiswechsel arbeite.
>
> Gibt es auch einen einfacheren Weg die Aufgabe zu lösen
> ohne den Basiswechsel? Wie funktioniert der Basiswechsel?
> Gibt es auf youtube vllt ein Video mit dem Basiswechsel?
Es gibt einige Wege das lösen. Die sind aber im Grunde alle gleich, und der systematischste ist jedoch mit dem Basiswechsel.
Mgl. 1): "In den Spalten der Darstellungsmatrix stehen die Koordinatenvektoren der Bilder der Basisvektoren". Das bedeutet:
a) Berechne nacheinander [mm] $v_i [/mm] = [mm] f(b_i)$ [/mm] ("Bilder der Basisvektoren")
b) Stelle die [mm] $v_i$ [/mm] als "Koordinatenvektoren bzgl. [mm] $(c_1,c_2)$ [/mm] " dar, d.h. finde [mm] $\lambda_{1i}, \lambda_{2i}$ [/mm] so dass [mm] $v_i [/mm] = [mm] \lambda_{1i} [/mm] * [mm] c_1 [/mm] + [mm] \lambda_{2i} [/mm] * [mm] c_2$
[/mm]
c) Die Darstellungsmatrix von f lautet [mm] $\begin{pmatrix}\lambda_{11} & \lambda_{12} & \lambda_{13}\\ \lambda_{21} & \lambda_{22} & \lambda_{23}\end{pmatrix}$
[/mm]
Mgl. 2): Basiswechselmatrizen. Mit $S$ ist dir die Darstellungsmatrix von $f$ bzgl. der Einheitsbasen [mm] $(e_1,e_2,e_3)$ [/mm] bzw. [mm] $(e_1, e_2)$ [/mm] gegeben. Die Darstellungsmatrix $S'$ bzgl. der neuen Basen $B = [mm] (b_1,b_2,b_3)$ [/mm] und $C = [mm] (c_1,c_2)$ [/mm] erhältst du durch
$S' = [mm] $_{C}M_{(e_1,e_2)}\cdot [/mm] S [mm] \cdot _{(e_1,e_2,e_3)}M_{B}$,
[/mm]
wobei die beiden $M$-Matrizen die Basiswechselmatrizen beschreiben.
Um eine Basiswechselmatrix, z.B. [mm] $_{(e_1,e_2,e_3)}M_{B}$ [/mm] zu berechnen, musst du die Vektoren aus B durch [mm] (e_1,e_2,e_3) [/mm] ausdrücken, wieder mit [mm] $b_1 [/mm] = [mm] \lambda_1 e_1 [/mm] + [mm] \lambda_2 e_2 [/mm] + [mm] \lambda_3 e_3$. [/mm] Die Vektoren [mm] $(\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3)^{T}$ [/mm] werden die Spalten von [mm] $_{(e_1,e_2,e_3)}M_{B}$.
[/mm]
Viele Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:19 Do 28.02.2013 | | Autor: | piriyaie |
> Hallo,
>
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> > Gegeben seien die Vektoren b1 = [mm]\vektor{1 \\
1 \\
1}[/mm] ;
> b2=
> > [mm]\vektor{0 \\
1 \\
1}[/mm] ; b3 = [mm]\vektor{0 \\
0 \\
1} \in \IR^{3}[/mm]
> > und c1 = [mm]\vektor{1 \\
2}[/mm] ; c2 = [mm]\vektor{2 \\
3}[/mm] sowie
> die
> > Matrix S = [mm]\pmat{ 1 & -2 & 1 \\
0 & 2 & 1 }[/mm]
> > Hallo,
> >
> > das obige ist mir gegeben. Ich soll für die lineare
> > Abbildung f: [mm]\IR^{3} \to \IR^{2}[/mm] , f(x) = S*x die
> > darstellende Matrix bezgl. der Basen b1, b2, b3 und c1, c2
> > angeben.
>
>
>
> > Ich weiß, dass das irgenwie mit diesem Basiswechsel
> > funktioniert. Aber wie das mit dem Basiswechsel geht weiß
> > ich nicht. Ich habe leider auch nichts im internet gefunden
> > wo mir erklärt wird wie ich mit dem Basiswechsel arbeite.
> >
> > Gibt es auch einen einfacheren Weg die Aufgabe zu lösen
> > ohne den Basiswechsel? Wie funktioniert der Basiswechsel?
> > Gibt es auf youtube vllt ein Video mit dem Basiswechsel?
>
>
> Es gibt einige Wege das lösen. Die sind aber im Grunde
> alle gleich, und der systematischste ist jedoch mit dem
> Basiswechsel.
>
> Mgl. 1): "In den Spalten der Darstellungsmatrix stehen die
> Koordinatenvektoren der Bilder der Basisvektoren". Das
> bedeutet:
>
> a) Berechne nacheinander [mm]v_i = f(b_i)[/mm] ("Bilder der
> Basisvektoren")
> b) Stelle die [mm]v_i[/mm] als "Koordinatenvektoren bzgl. [mm](c_1,c_2)[/mm]
> " dar, d.h. finde [mm]\lambda_{1i}, \lambda_{2i}[/mm] so dass [mm]v_i = \lambda_{1i} * c_1 + \lambda_{2i} * c_2[/mm]
>
> c) Die Darstellungsmatrix von f lautet
> [mm]\begin{pmatrix}\lambda_{11} & \lambda_{12} & \lambda_{13}\\ \lambda_{21} & \lambda_{22} & \lambda_{23}\end{pmatrix}[/mm]
>
Danke schonmal. Da Mögl. 2 wie du sagst die systematischste ist entscheide ich mich für diese.
> Mgl. 2): Basiswechselmatrizen. Mit [mm]S[/mm] ist dir die
> Darstellungsmatrix von [mm]f[/mm] bzgl. der Einheitsbasen
> [mm](e_1,e_2,e_3)[/mm] bzw. [mm](e_1, e_2)[/mm] gegeben. Die
> Darstellungsmatrix [mm]S'[/mm] bzgl. der neuen Basen [mm]B = (b_1,b_2,b_3)[/mm]
> und [mm]C = (c_1,c_2)[/mm] erhältst du durch
Bis hierhin verstehe ich es. Soweit so gut...
>
> $S' = [mm]$_{C}M_{(e_1,e_2)}\cdot[/mm] S [mm]\cdot _{(e_1,e_2,e_3)}M_{B}$,[/mm]
Diese Formel verstehe ich leider nicht.
>
> wobei die beiden [mm]M[/mm]-Matrizen die Basiswechselmatrizen
> beschreiben.
> Um eine Basiswechselmatrix, z.B. [mm]_{(e_1,e_2,e_3)}M_{B}[/mm] zu
> berechnen, musst du die Vektoren aus B durch [mm](e_1,e_2,e_3)[/mm]
> ausdrücken, wieder mit [mm]b_1 = \lambda_1 e_1 + \lambda_2 e_2 + \lambda_3 e_3[/mm].
> Die Vektoren [mm](\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3)^{T}[/mm] werden
> die Spalten von [mm]_{(e_1,e_2,e_3)}M_{B}[/mm].
>
Und wie ich das genau machen soll verstehe ich auch nicht.
>
> Viele Grüße,
> Stefan
Könntest du mir das genauer erklären? Bin im 1. bzw. 2. Semester und ab und zu habe ich schwierigkeiten Erklärungen genau zu verstehen.
Danke schonmal.
Grüße
Ali
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:28 Do 28.02.2013 | | Autor: | piriyaie |
Wir haben in den Lösungen auch irgendwie diese Formel:
[mm] M=C^{-1}*S*B
[/mm]
Wenn ich wüsste wie man auf diese Formel kommt würde ich die Aufgabe selbstständig lösen können. Kann mir jemand sagen wie man auf diese Formel kommt?
Danke schonmal.
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Hallo,
> Wir haben in den Lösungen auch irgendwie diese Formel:
>
> [mm]M=C^{-1}*S*B[/mm]
>
> Wenn ich wüsste wie man auf diese Formel kommt würde ich
> die Aufgabe selbstständig lösen können. Kann mir jemand
> sagen wie man auf diese Formel kommt?
Das ist die Formel für die Durchführung eines Basiswechsels.
B und C sind die Basiswechselmatrizen.
Im einfachen Fall, dass $S$ vorher bzgl. der Standardbasen gegeben war, sind die Basiswechselmatrizen einfacher zu bestimmen.
Die Basiswechselmatrix von B nach [mm] $(e_1,e_2,e_3)$, [/mm] also [mm] $_{(e_1,e_2,e_3)}M_B$, [/mm] ist dann einfach [mm] B=(b_1,b_2,b_3) [/mm] selbst (Basisvektoren von B hintereinander in eine Matrix geschrieben).
Umgekehrt,
Die Basiswechselmatrix von [mm] $(e_1,e_2)$ [/mm] nach C ist [mm] $_{C}M_{(e_1,e_2)}$. [/mm] Es gilt ganz allgemein die folgende Regel:
[mm] $_{C}M_{(e_1,e_2)} [/mm] = [mm] \Big[_{(e_1,e_2)}M_C\Big]^{-1}$
[/mm]
Bei der rechten Seite wissen wir bereits dass das wieder nur [mm] $C^{-1}$ [/mm] ist mit $C = [mm] (c_1,c_2)$ [/mm] die Matrix, bei welcher einfach die Basisvektoren von C hintereinander reingeschrieben werden).
Damit haben wir
$S' = [mm] _{C}M_{(e_1,e_2)} [/mm] * S * [mm] _{(e_1,e_2,e_3)}M_B [/mm] = [mm] C^{-1} [/mm] * S * B$.
Viele Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:22 Fr 01.03.2013 | | Autor: | piriyaie |
> Hallo,
>
>
> > Wir haben in den Lösungen auch irgendwie diese Formel:
> >
> > [mm]M=C^{-1}*S*B[/mm]
> >
> > Wenn ich wüsste wie man auf diese Formel kommt würde ich
> > die Aufgabe selbstständig lösen können. Kann mir jemand
> > sagen wie man auf diese Formel kommt?
>
> Das ist die Formel für die Durchführung eines
> Basiswechsels.
> B und C sind die Basiswechselmatrizen.
>
> Im einfachen Fall, dass [mm]S[/mm] vorher bzgl. der Standardbasen
> gegeben war, sind die Basiswechselmatrizen einfacher zu
> bestimmen.
>
> Die Basiswechselmatrix von B nach [mm](e_1,e_2,e_3)[/mm], also
> [mm]_{(e_1,e_2,e_3)}M_B[/mm], ist dann einfach [mm]B=(b_1,b_2,b_3)[/mm]
> selbst (Basisvektoren von B hintereinander in eine Matrix
> geschrieben).
>
> Umgekehrt,
> Die Basiswechselmatrix von [mm](e_1,e_2)[/mm] nach C ist
> [mm]_{C}M_{(e_1,e_2)}[/mm]. Es gilt ganz allgemein die folgende
> Regel:
>
> [mm]_{C}M_{(e_1,e_2)} = \Big[_{(e_1,e_2)}M_C\Big]^{-1}[/mm]
>
> Bei der rechten Seite wissen wir bereits dass das wieder
> nur [mm]C^{-1}[/mm] ist mit [mm]C = (c_1,c_2)[/mm] die Matrix, bei welcher
> einfach die Basisvektoren von C hintereinander
> reingeschrieben werden).
>
> Damit haben wir
>
> [mm]S' = _{C}M_{(e_1,e_2)} * S * _{(e_1,e_2,e_3)}M_B = C^{-1} * S * B[/mm].
>
> Viele Grüße,
> Stefan
Ok. Soweit so gut. Aber ich verstehe nicht woher ich weiß, dass ich [mm] C^{-1} [/mm] * S * B nehmen muss. Warum kann ich z. B. nicht C * S * [mm] B^{-1} [/mm] nehmen? Oder C * [mm] S^{-1} [/mm] * B???
Danke schonmal.
Grüße
Ali
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Hallo,
> Ok. Soweit so gut. Aber ich verstehe nicht woher ich weiß,
> dass ich [mm]C^{-1}[/mm] * S * B nehmen muss. Warum kann ich z. B.
> nicht C * S * [mm]B^{-1}[/mm] nehmen? Oder C * [mm]S^{-1}[/mm] * B???
Das sollte eigentlich schon oben etwas klarer geworden sein.
Die Matrix S ist die Darstellungsmatrix von f bzgl. der Standardbasen:
In die Darstellungsmatrix S wird Koordinatenvektor bzgl. [mm] $(e_1,e_2,e_3)$ [/mm] reingesteckt und Koordinatenvektor bzgl. [mm] $(e_1,e_2)$ [/mm] kommt raus. Das ist vorgegeben.
Um eine Darstellungsmatrix bzgl. der Basen B,C zuerhalten, muss also vor S eine Matrix geschaltet werden, die Koordinatenvektoren bzgl. B in Koordinatenvektoren bzgl. [mm] $(e_1,e_2,e_3)$ [/mm] umwandelt --> [mm] $_{(e_1,e_2,e_3)}M_B$.
[/mm]
Nach S muss eine Matrix geschaltet werden, die Koordinatenvektoren bzgl. [mm] (e_1,e_2) [/mm] in Koordinatenvektoren bzgl. C umwandelt --> $_C [mm] M_{(e_1,e_2)}$.
[/mm]
Wieso sollte man da [mm] $S^{-1}$ [/mm] brauchen? Das würde überhaupt nichts mehr mit der ursprünglichen Abbildung zu tun haben.
Viele Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:08 Di 05.03.2013 | | Autor: | piriyaie |
supi. Dankeeeee. :-D
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Hallo,
> > > Gegeben seien die Vektoren b1 = [mm]\vektor{1 \\
1 \\
1}[/mm]
> ;
> > b2=
> > > [mm]\vektor{0 \\
1 \\
1}[/mm] ; b3 = [mm]\vektor{0 \\
0 \\
1} \in \IR^{3}[/mm]
> > > und c1 = [mm]\vektor{1 \\
2}[/mm] ; c2 = [mm]\vektor{2 \\
3}[/mm] sowie
> > die
> > > Matrix S = [mm]\pmat{ 1 & -2 & 1 \\
0 & 2 & 1 }[/mm]
> > Mgl. 2): Basiswechselmatrizen. Mit [mm]S[/mm] ist dir die
> > Darstellungsmatrix von [mm]f[/mm] bzgl. der Einheitsbasen
> > [mm](e_1,e_2,e_3)[/mm] bzw. [mm](e_1, e_2)[/mm] gegeben. Die
> > Darstellungsmatrix [mm]S'[/mm] bzgl. der neuen Basen [mm]B = (b_1,b_2,b_3)[/mm]
> > und [mm]C = (c_1,c_2)[/mm] erhältst du durch
> > [mm]S' = [/mm][mm] _{C}M_{(e_1,e_2)}\cdot [/mm] S [mm]\cdot _{(e_1,e_2,e_3)}M_{B}$,[/mm]
> > wobei die beiden [mm]M[/mm]-Matrizen die Basiswechselmatrizen
> > beschreiben.
> > Um eine Basiswechselmatrix, z.B. [mm]_{(e_1,e_2,e_3)}M_{B}[/mm]
> zu
> > berechnen, musst du die Vektoren aus B durch [mm](e_1,e_2,e_3)[/mm]
> > ausdrücken, wieder mit [mm]b_1 = \lambda_1 e_1 + \lambda_2 e_2 + \lambda_3 e_3[/mm].
> > Die Vektoren [mm](\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3)^{T}[/mm] werden
> > die Spalten von [mm]_{(e_1,e_2,e_3)}M_{B}[/mm].
Die Schreibweise [mm] $_{A}M_{B}$ [/mm] bedeutet bei mir: Basiswechselmatrix von B nach A.
Berechnen wir mal diese Matrix [mm] $_{(e_1,e_2,e_3)}M_{B}$.
[/mm]
Drücke [mm] $b_1$ [/mm] durch [mm] $(e_1,e_2,e_3)$ [/mm] aus: [mm] $b_1 [/mm] = [mm] 1*e_1 [/mm] + [mm] 1*e_2 [/mm] + [mm] 1*e_3$ [/mm] --> Koordinatenvektor [mm] $\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$ [/mm] --> erste Spalte der Darstellungsmatrix
[mm] $b_2$, $b_3$ [/mm] analog.
Erhalte:
[mm] $_{(e_1,e_2,e_3)}M_{B} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\1 & 1 & 0\\ 1 & 1 & 1\end{pmatrix}$.
[/mm]
Nun berechnen wir [mm] $_{C}M_{(e_1,e_2)}$: [/mm] Es müssen die Vektoren [mm] $e_1, e_2$ [/mm] durch [mm] $c_1, c_2$ [/mm] ausgedrückt werden. Also z.B. [mm] $e_1 [/mm] = [mm] \lambda_1 c_1 [/mm] + [mm] \lambda_2 c_2$. [/mm] Dies entspricht dem Lösen des Gleichungssystems
[mm] $\begin{pmatrix}
| & |\\
c_1 & c_2\\
| & |
\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}\lambda_1 \\ \lambda_2\end{pmatrix} [/mm] = [mm] e_1$
[/mm]
D.h. hier
[mm] $\begin{pmatrix}
1 & 2\\
2 & 3
\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}\lambda_1 \\ \lambda_2\end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix}1\\ 0\end{pmatrix}.$
[/mm]
Wir erhalten als Lösung: [mm] $e_1 [/mm] = [mm] (-3)*c_1 [/mm] + [mm] 2*c_2$ [/mm] --> Koordinatenvektor [mm] $\begin{pmatrix}-3\\ 2\end{pmatrix}$
[/mm]
Analog: [mm] $e_2 [/mm] = [mm] 2*c_1 [/mm] + [mm] (-1)*c_2$ [/mm] --> Koordinatenvektor [mm] $\begin{pmatrix}2\\ -1\end{pmatrix}$
[/mm]
Damit ist insgesamt:
[mm] $_{C}M_{(e_1,e_2)} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix}-3 & 2\\2 & -1\end{pmatrix}$.
[/mm]
Du erhältst nun $S'$ über
$S' = [mm] _{C}M_{(e_1,e_2)} [/mm] * S * [mm] _{C}M_{(e_1,e_2)}$
[/mm]
Also zusammengefasst: Beide Basiswechselmatrizen berechnen und dann obiges Matrixprodukt, um die neue Darstellungsmatrix S' zu erhalten.
Viele Grüße,
Stefan
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