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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:10 Mi 25.07.2012 | | Autor: | Laura87 |
| Aufgabe | | Gibt es eine 2x2 Matrix, die diagonalisierbar, aber nicht normal ist? |
Hallo,
in der Lösung steht, ja es gibt so eine Matrix. Bsp: Die Matrix sei aehnlich zu [mm] D=\pmat{1&0\\0&0}.
[/mm]
Der Basiswechsel sei gegeben durch [mm] S=\{1&1\\0&1}
[/mm]
İch versteh nicht wie die auf S kommen.
İch habe die Eigenwerte 0 und 1. Als Eigenvektor (1 [mm] 0)^T [/mm] und (0 [mm] 1)^T
[/mm]
Wenn ich die normiere, bekomme ich aber was anderes raus für S :-S
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Hi,
> Gibt es eine 2x2 Matrix, die diagonalisierbar, aber nicht
> normal ist?
> Hallo,
>
> in der Lösung steht, ja es gibt so eine Matrix. Bsp: Die
> Matrix sei aehnlich zu [mm]D=\pmat{1&0\\
0&0}.[/mm]
(Das ist nicht die gesuchte Matrix! Das ist eine zu ihr ähnliche Diagonalmatrix )
>
> Der Basiswechsel sei gegeben durch [mm]S=\{1&1\\
0&1}[/mm]
>
> İch versteh nicht wie die auf S kommen.
>
> İch habe die Eigenwerte 0 und 1. Als Eigenvektor (1 [mm]0)^T[/mm]
> und (0 [mm]1)^T[/mm]
Versuchst du gerade D zu diagonalisieren?
>
> Wenn ich die normiere, bekomme ich aber was anderes raus
> für S :-S
Dann berechne doch einmal [mm] $S^{-1}DS=:A$.
[/mm]
Du suchst doch nur eine Matrix [mm] $A=\pmat{a&b\\c&d}$, [/mm] die diagonalisierbar ist und es gilt [mm] $A^TA\neq AA^T$. [/mm]
Bei 2x2 kann man diese dann durchprobieren. Man sucht eine Matrix mit zwei verschiedenen Eigenwerten für die eben [mm] $A^TA\neq AA^T$. [/mm] Diese Ungleichheit gilt für so ziemlich viele Matrizen.
Und [mm] $A=\pmat{1&1\\0&0}$ [/mm] tuts.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:14 Do 26.07.2012 | | Autor: | Laura87 |
Hallo,
ich hatte eıg. auch folgende Lösung:
[mm] A=\pmat{0&1\\4&0}
[/mm]
die Eigenwerte [mm] \lambda_1=2 [/mm] und [mm] \lambda_2=-2
[/mm]
die Matrix hat zwei verschiedene Eigenwerte, also ist sie diagonalisierbar.
Jz muss ich noch zeigen, dass A nicht normal ist.
Die Eigenwerte [mm] v_1=( [/mm] 1 [mm] 2)^T [/mm] und [mm] v_2=(-1 2)^T [/mm] stehen nicht senkrecht aufeinander, also ist die Matrix nicht normal.
Das stimmt doch oder?
İn der Lösung stand die andere Variante und ich würde gerne wissen wie man auf S kommt? Kann mir das jmd erklaeren?
Lg
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:18 Do 26.07.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
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> ich hatte eıg. auch folgende Lösung:
>
> [mm]A=\pmat{0&1\\4&0}[/mm]
>
> die Eigenwerte [mm]\lambda_1=2[/mm] und [mm]\lambda_2=-2[/mm]
>
> die Matrix hat zwei verschiedene Eigenwerte, also ist sie
> diagonalisierbar.
>
> Jz muss ich noch zeigen, dass A nicht normal ist.
>
> Die Eigenwerte [mm]v_1=([/mm] 1 [mm]2)^T[/mm] und [mm]v_2=(-1 2)^T[/mm] stehen nicht
> senkrecht aufeinander, also ist die Matrix nicht normal.
>
> Das stimmt doch oder?
Ja
>
> İn der Lösung stand die andere Variante und ich würde
> gerne wissen wie man auf S kommt? Kann mir das jmd
> erklaeren?
Das hat doch wieschoo schon getan.
FRED
>
> Lg
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