Basiswechsel < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:08 Do 25.11.2010 | | Autor: | Polynom |
Hallo,
ich verstehe die Formulierung nicht: [mm] "a^x [/mm] in einen Term mit anderer Basis umrechnen", was ist damit gemeint und wie funktioniert das?
Ich habe davon noch nichts gehört und kann auch nichts finden.
Vielen Dank für eure Antworten!
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:41 Do 25.11.2010 | | Autor: | Sax |
Hi,
ich beginne mal mit einem Beispiel.
Angenommen du hast ein paar Groschen auf dem Sparbuch, die jährlich mit 2% verzinst werden. Unter Berücksichtigung der Zinseszinsen wächst ein Kapital [mm] K_0 [/mm] von heute in n Jahren auf den stolzen Betrag von [mm] K_n [/mm] = [mm] K_0*1,02^n [/mm] oder kurz K = [mm] K_0*1,02^t [/mm] (t : Zeit in Jahren) an. Nun möchtest du zum Beispiel wissen, wie lange es dauert, bis sich dein Kapital verdoppelt hat. Das kann man ausrechnen (und wir werden das gleich tun), es ergibt sich eine bestimmte Zeitspanne T. Genau nach nochmal dieser Zeit wird sich das Anfangskapital insgesamt vervierfacht und nach 3T (von heute ab gerechnet) sogar verachtfacht haben. Die Kapitalformel lässt sich also auch in der Form K = [mm] K_0*2^{\bruch{t}{T}} [/mm] schreiben.
Wie du siehst, kann man je nach Zweck dieselbe Kapitalformel mit unterschiedlichen Basen schreiben.
Mathematisch sieht die Umrechnung dabei folgendermaßen aus :
aus [mm] a^x [/mm] = [mm] b^y [/mm] folgt durch Logarithmieren $ x*log a = y*log b $ (die Basis des Logarithmus' ist egal, sie muss nur auf beiden Seiten der Gleichung dieselbe sein) und nach y aufgelöst y = [mm] x*\bruch{log a}{log b} [/mm] also schließlich [mm] a^x [/mm] = [mm] b^{x*\bruch{log a}{log b}}.
[/mm]
PS : unser T von oben ergibt sich aus dieser Formel zu T = [mm] \bruch{log 2}{log 1,02} [/mm] = 35 Jahre.
Gruß Sax.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:50 Do 25.11.2010 | | Autor: | Polynom |
Danke für deine ausführliche Antwort.
Aber ich habe da noch eine Frage: Die Tage sind also die Basen oder weil ich ja unterschiedliche Tage einsetzten kann 2 oder ...
Ist doch richtig oder?
Vielen Dank für eure Antworten!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:03 Do 25.11.2010 | | Autor: | Sax |
Hi,
wie wir gesehen haben, kannst du als Basis nehmen, was du willst, die Basis ist der "Wachstumsfaktor" : in der allgemeinen Exponentialfunktion
y = f(x) = [mm] y_0*a^\bruch{x}{\Delta x} [/mm] (der Exponent ist [mm] \bruch{x}{\Delta x}, [/mm] falls das schlecht zu lesen sein sollte)
bedeutet [mm] y_0 [/mm] den Anfangswert für x = 0,
immer dann, wenn sich x um [mm] \Delta [/mm] x erhöht ( x [mm] \to [/mm] x + [mm] \Delta [/mm] x ), dann wird y um den Faktor a größer ( y [mm] \to [/mm] a*y ).
In der ersten Version des Beispiels war [mm] \Delta [/mm] t = 1, jedes Jahr wuchs das Kapital um den Faktor 1,02, in der zweiten Version war [mm] \Delta [/mm] t = T, alle 35 Jahre verdoppelt sich das Kapital.
Gruß Sax.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:09 Do 25.11.2010 | | Autor: | Polynom |
Danke!
Aber ich hätte da noch eine Frage, wie bist du auf den Wert 1,02 gekommen?
Vielen Dank für eure Antworten!
|
|
|
| |
|
Hallo,
wenn das Kapital mit 2% p.a. verzinst wird, hat man am Ende des Jahres $100%+2%$ von dem, was man am Jahresanfang hatte.
[mm] 102%=\bruch{102}{100}=1.02
[/mm]
Das Kapital wächst am Jahresende um den Faktor 1.02.
Gruß v. Angela
|
|
|
|
