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Gegeben sei eine Abbildung mit F: R³ -> R³ linear, und eine Matrix bzgl der kanonischen Basis, z.B.
[mm] \pmat{ -1 & 2 & 1 \\ 2 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 }
[/mm]
Die Frage ist nun, wie die Matrix bzgl der Basis B:
[mm] \vektor{-1 \\ 2 \\ 1} [/mm] , [mm] \vektor{2 \\ 0 \\ 0} [/mm] , [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 1} [/mm] ,
aussieht. Wenn ich mir das logisch überlege, dann denke ich, dass da eine Einheitsmatrix rauskommen muss.
Ich möchte das aber nun berechnen. Und zwar würde ich rechnen:
MB(F) = T(von K nach B) * MK(F) * T (von B nach K).
MB(F) ist Matrixdarstellung bzgl Basis B, T ist jeweils die Basiswechselmatrix.
Um das T zu bekommen muss man doch jetzt die Bektoren aus B als Spaltenvektoren schreiben. Dann invertieren, und man bekommt das andere T. So dachte ich zumindest...
Wenn ich nun aber MB(F) berechne, dann kommt wieder die selbe Matrix raus, da T (von K nach B) die Inverse zu T(von B nach K) ist, aber auch von MK(F). ALso steht da eine Einheitsmatrix mal T, und das gibt dann wieder MB(F).
Wo liegt mein Fehler?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:12 Di 20.01.2009 | | Autor: | fred97 |
Sei
[mm] b_1= [/mm] $ [mm] \vektor{-1 \\ 2 \\ 1} [/mm] $ , [mm] b_2 [/mm] = $ [mm] \vektor{2 \\ 0 \\ 0} [/mm] $ , [mm] b_3 [/mm] = $ [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 1} [/mm] $ ,
Berechne [mm] F(b_1) [/mm] und stelle [mm] F(b_1) [/mm] als Linearkombination der Vektoren [mm] b_1, b_2 [/mm] und [mm] b_3 [/mm] dar,
also [mm] F(b_1) [/mm] = [mm] t_1 b_1+ t_2 b_2+t_3 b_3
[/mm]
Dann ist
[mm] t_1
[/mm]
[mm] t_2
[/mm]
[mm] t_3
[/mm]
die erste Spalte der gesuchten Matrix. Analog verfahre mit [mm] b_2 [/mm] und [mm] b_3 [/mm] um die 2. und 3. Spalt e zu erhalten.
FRED
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:16 Di 20.01.2009 | | Autor: | MisterWong |
Danke für die Antwort.
Aber wie berechne ich dann die Matrix mit der Methode die ich anwenden wollte?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:18 Di 20.01.2009 | | Autor: | taura |
Siehe meine Antwort auf die erste Frage 
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:14 Di 20.01.2009 | | Autor: | taura |
Oder anders gesagt: Du hast keinen Fehler gemacht, deine Überlegungen sind richtig, die Darstellungsmatrix zur Basis B ist die gleiche, wie die zur kanonischen Basis.
Grüße taura
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Achso. Aber das kann doch eigentlich nicht sein! Wenn ich eine Abbildung habe, die ich einmal bzgl der einen einmal bzgl der anderen Basis darstelle, dann kann das doch nicht die selbe Darstellungsmatrix sein.
Ist das dann immer so, dass die Matrix gliech bleibt, wenn man die Matrix einmal bzgl. der Kanonischen und einmal bzgl. der Basis darstellt, die die selben Vektoren der Matrix hat (ich hoffe ihr wisst was ich meine, ist bisschen blöd ausgedrückt!).
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:23 Di 20.01.2009 | | Autor: | taura |
Doch es kann sein, nämlich genau in diesem Fall. Ja, das klappt immer, unter der Voraussetzung, dass die Abbildung vollen Rang hat, weil sonst die Spalten der Darstellungsmatrix keine Basis bilden.
Grüße taura
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:25 Di 20.01.2009 | | Autor: | MisterWong |
OK, danke, für mich ist das jedoch alles andere als logisch
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