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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:25 Mi 28.05.2008 | | Autor: | belf |
| Aufgabe | | Eine lineare Abbildung ist durch die Matrix L = [mm] \pmat{ 1 & -18 & 15 \\ -1 & -22 & 20 \\ 1 & -25 & 22} [/mm] bezüglich der Basis [mm] a_{1}' [/mm] = [8, -6, 7] , [mm] a_{2}' [/mm] = [-16, 7, -13] und [mm] a_{3}' [/mm] = [9, -3, 7] angegeben. Beschrieben Sie die gleiche Abbildung bezüglich der Basis der Vektoren [mm] b_{1}' [/mm] = [1, -2, 1], [mm] b_{2}' [/mm] = [3, -1, 2] und [mm] b_{3}' [/mm] = [2, 1, 2]. |
Hallo,
Ich vermute schon, dass der erste Schritt ist, die Übergangsmatrix T zu finden. Ich habe probiert, sie schon zu berechnen aber vergeblich. Bei anderen Aufgaben konnte ich es lösen, aber es handelte sich um kanonische Basis. Ich wäre froh, wenn mir jemand den Weg zeigen könnte.
Vielen Dank
Belf
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> Eine lineare Abbildung ist durch die Matrix L = [mm]\pmat{ 1 & -18 & 15 \\ -1 & -22 & 20 \\ 1 & -25 & 22}[/mm]
> bezüglich der Basis [mm]a_{1}'[/mm] = [8, -6, 7] , [mm]a_{2}'[/mm] = [-16, 7,
> -13] und [mm]a_{3}'[/mm] = [9, -3, 7] angegeben. Beschrieben Sie die
> gleiche Abbildung bezüglich der Basis der Vektoren [mm]b_{1}'[/mm] =
> [1, -2, 1], [mm]b_{2}'[/mm] = [3, -1, 2] und [mm]b_{3}'[/mm] = [2, 1, 2].
> Hallo,
>
> Ich vermute schon, dass der erste Schritt ist, die
> Übergangsmatrix T zu finden.
Hallo,
ja, die brauchst Du.
Wir haben also eine lineare Abbildung l, und ihre darstellende Matrix [mm] _AM_A(l) [/mm] bzgl [mm] A=(a_1, a_2, a_3) [/mm] ist L, dh. [mm] L=_AM_A(l).
[/mm]
Du suchst nun die darstellende Matrix bzgl [mm] B=(b_1, b_2, b_3), _BM_B(l).
[/mm]
Dazu benötigst Du die Transformationsmatrix [mm] _AT_B, [/mm] welche Dir die Vektoren, die in Koordinaten bzgl B gegeben sind, in solche bzgl A umwandelt.
Es ist dann [mm] _BM_B(l)=[/mm] [mm](_AT_B)^{-1}[/mm][mm]_AM_A(l)_AT_B[/mm].
Nun zum Finden von [mm] _AT_B.
[/mm]
Schreibe [mm] b_1, b_2 [/mm] und [mm] b_3 [/mm] als Linearkombinationen von [mm] a_1, a_2, a_3,
[/mm]
also
[mm] b_1=r_1a_1+r_2a_2+r_3a_3,
[/mm]
[mm] b_2=s_1a_1+s_2a_2+s_3a_3,
[/mm]
[mm] b_3=t_1a_1+t_2a_2+t_3a_3.
[/mm]
(Dazu sind Gleichungssysteme zu lösen.)
Es ist dann [mm] _AT_B=\pmat{ r_1 & s_1&t_1 \\ r_2 & s_2&t_2\\r_3 & s_3&t_3 }.
[/mm]
Alternativ kannst Du auch folgendes tun:
[mm] _AT_B=_AT_E*_ET_B =(_ET_A)^{-1}*_ET_B, [/mm] E ist hierbei die Einheitsbasis.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:56 Mi 28.05.2008 | | Autor: | belf |
Hallo Angela,
Vielen Dank für die Antwort. Ich habe noch ein paar Frage :
Zur Linearkombination :
[mm] \pmat{ b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} } [/mm] = T . [mm] \pmat{ a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} } [/mm]
T = [mm] \pmat{ a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i } [/mm]
Stimmt das ?
[mm] \pmat{ 1 \\ -2 \\ 1 } [/mm] = a [mm] \pmat{ 8 \\ -6 \\ 7 } [/mm] + b [mm] \pmat{ -16 \\ 7 \\ -13 } [/mm] + c [mm] \pmat{ 9 \\ -3 \\ 7 }
[/mm]
a=1 b=1 c=1
Ich habe so weitergerechnet und habe am Schluss die Matrix T = [mm] \pmat{ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ -3 & -5 & -6 } [/mm] erhalten.
Trotzdem lautet T in der Lösung : [mm] \pmat{ 3 & 1 & 1 \\ -3 & -3 & -2 \\ 1 & 2 & 1 }
[/mm]
Was habe ich falsch gemacht ?
Vielen Dank
Gruss Belf
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> [mm]\pmat{ 1 \\ -2 \\ 1 }[/mm] = a [mm]\pmat{ 8 \\ -6 \\ 7 }[/mm] + b [mm]\pmat{ -16 \\ 7 \\ -13 }[/mm]
> + c [mm]\pmat{ 9 \\ -3 \\ 7 }[/mm]
>
> a=1 b=1 c=1
Hallo,
diese Koeffizienten wären die erste Spalte(!) der Matrix [mm] _AT_B, [/mm] also ist
[mm] _AT_B=\pmat{ 1 & & \\ 1 & & \\ 1 & & }
[/mm]
>
> Ich habe so weitergerechnet und habe am Schluss die Matrix
> T = [mm]\pmat{ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ -3 & -5 & -6 }[/mm]
> erhalten.
Du hast die Koeffizienten anscheinend in die Zeilen eingetragen. Sie gehören in die Spalten.
Ich habe das nicht nachgerechnet, vielleicht ist die Matrix Deiner Lösung die Matrix [mm] _BT_A =(_AT_B)^{-1}.
[/mm]
Gruß v. Angela
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