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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:55 Mi 19.01.2011 | | Autor: | mo1985 |
| Aufgabe | Die lineare Selbstabbilung [mm] \delta [/mm] : [mm] \IR^{3} [/mm] -> [mm] \IR^{3} [/mm] werde hinsichtlich der kanonischen Basis durch die Matrix M beschrieben.
M = [mm] \pmat{ \bruch{5}{3} & 4 & -\bruch{2}{3} \\ \bruch{7}{3} & 0 & \bruch{2}{3} \\ -\bruch{7}{3} & -2 & -\bruch{5}{3} }
[/mm]
a)Berechnen Sie die Bilder der kakonischen Basisvektoren [mm] \delta(e1), \delta(e2),\delta(e3).
[/mm]
b)ermitteln Sie sämtliche Eigenwerte und Eigenräume der Abbildung [mm] \delta
[/mm]
c)geben SIe, sofern möglich, eine Basis W der Vektorraums [mm] \IR^{3} [/mm] an, die aus lauter Eigenvektoren von [mm] \delta [/mm] besteht. Wie lautet die Matrix M*, die [mm] \delta [/mm] hinsichtlich dieser neuen Basis W zugeordnet ist. |
Hallo,
meine Frage bezieht sich eigentlich erstmal nur auf die Aufgabe a) Muss ich die Matrix nur umstellen das ich ein Dreiecksschema bekomme und so auflösen kann. Also
[mm] \pmat{ \bruch{5}{3} & 4 & -\bruch{2}{3} \\ \bruch{7}{3} & 0 & \bruch{2}{3} \\ -\bruch{7}{3} & -2 & -\bruch{5}{3} } [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
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Hallo mo1985,
> Die lineare Selbstabbilung [mm]\delta[/mm] : [mm]\IR^{3}[/mm] -> [mm]\IR^{3}[/mm]
> werde hinsichtlich der kanonischen Basis durch die Matrix M
> beschrieben.
>
> M = [mm]\pmat{ \bruch{5}{3} & 4 & -\bruch{2}{3} \\
\bruch{7}{3} & 0 & \bruch{2}{3} \\
-\bruch{7}{3} & -2 & -\bruch{5}{3} }[/mm]
>
> a)Berechnen Sie die Bilder der kakonischen Basisvektoren
> [mm]\delta(e1), \delta(e2),\delta(e3).[/mm]
> b)ermitteln Sie
> sämtliche Eigenwerte und Eigenräume der Abbildung [mm]\delta[/mm]
> c)geben SIe, sofern möglich, eine Basis W der Vektorraums
> [mm]\IR^{3}[/mm] an, die aus lauter Eigenvektoren von [mm]\delta[/mm]
> besteht. Wie lautet die Matrix M*, die [mm]\delta[/mm] hinsichtlich
> dieser neuen Basis W zugeordnet ist.
> Hallo,
> meine Frage bezieht sich eigentlich erstmal nur auf die
> Aufgabe a) Muss ich die Matrix nur umstellen das ich ein
> Dreiecksschema bekomme und so auflösen kann. Also
> [mm]\pmat{ \bruch{5}{3} & 4 & -\bruch{2}{3} \\
\bruch{7}{3} & 0 & \bruch{2}{3} \\
-\bruch{7}{3} & -2 & -\bruch{5}{3} }[/mm] = [mm]\vektor{0 \\
0 \\
0}[/mm]
Nein, in den Spalten der Matrix [mm]M[/mm] stehen doch schon die Bilder der Basisvektoren, du brauchst also nix zu rechnen, nur abzuschreiben.
Rechnerisch:
[mm]M[/mm] beschreibt dir die lineare Abb. [mm]\delta[/mm] bzgl. der kanonischen Basen in Urbild- und Bildraum, also bzgl. der Basis [mm]\left\{\vektor{1\\
0\\
0},\vektor{0\\
1\\
0},\vektor{0\\
0\\
1}\right\}[/mm]
Es ist also [mm]\delta(\vec{x})=M\cdot{}\vec{x}[/mm]
Rechne [mm]M\cdot{}\vektor{1\\
0\\
0}[/mm], [mm]M\cdot{}\vektor{0\\
1\\
0}[/mm] und [mm]M\cdot{}\vektor{0\\
0\\
1}[/mm], also die Bilder der Basisvektoren doch mal zu Fuß aus ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:33 Mi 19.01.2011 | | Autor: | mo1985 |
Okay...dann habe ich für
e1 = [mm] \vektor{\bruch{5}{3}\\ \bruch{7}{3} \\ -\bruch{7}{3} }
[/mm]
e2 = [mm] \vektor{4\\ 0 \\ -2 }
[/mm]
e3 = [mm] \vektor{-\bruch{2}{3}\\ \bruch{2}{3} \\ -\bruch{8}{3} }
[/mm]
Dann habe ich noch eine Frage zum Aufgabeteil b)
Für die EIgenwerte habe ich raus (-3,-2,4)
Wenn ich dann den Eigenvektor zu t1 = -3 ausrechnen will ziehe ich ja t1 auf der Hauptdiagonalen ab.
also:
[mm] \pmat{ \bruch{14}{3} & 4 & -\bruch{2}{3} \\
\bruch{7}{3} & 3 & \bruch{2}{3} \\
-\bruch{7}{3} & -2 & \bruch{1}{3} } [/mm] * [mm] \vektor{x1 \\ x2 \\ x3} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
wenn ich die dann aufaddiere habe ich dann
[mm] \pmat{ \bruch{14}{3} & 4 & -\bruch{2}{3} \\
0 & 1 & 1 }
[/mm]
also steht da jetzt x2 = -x3...wie mach ich denn dann weiter und wie schriebe ich das auf das ich meinen Eigenvektor erhalte? DIesen Schritt versteh ich einfach nicht.
Danke Gruß
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Hallo nochmal,
> Okay...dann habe ich für
> e1 = [mm]\vektor{\bruch{5}{3}\\
\bruch{7}{3} \\
-\bruch{7}{3} }[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> e2 = [mm]\vektor{4\\
0 \\
-2 }[/mm]
> e3 = [mm]\vektor{-\bruch{2}{3}\\
\bruch{2}{3} \\
-\bruch{8}{3} }[/mm]
Das passt nicht zur Matrix im Ausgangspost, dort ist der Eintrag [mm]m_{33}=-\frac{\red{5}}{3}[/mm]
Ich nehme an, du hast dich bei der Matrix vertippt, da du unten für die Bestimmung des Eigenraumes bzgl. [mm]\lambda=-3[/mm] auch auf den Eintrag [mm]\frac{1}{3}[/mm] kommst ...
>
> Dann habe ich noch eine Frage zum Aufgabeteil b)
> Für die EIgenwerte habe ich raus (-3,-2,4)
Da habe ich keine Lust, das nachzurechnen. Poste deine Rechnung inkl. char. Polynom, dann sehen wir weiter ...
> Wenn ich dann den Eigenvektor zu t1 = -3 ausrechnen will
> ziehe ich ja t1 auf der Hauptdiagonalen ab.
>
> also:
>
> [mm]\pmat{ \bruch{14}{3} & 4 & -\bruch{2}{3} \\
\bruch{7}{3} & 3 & \bruch{2}{3} \\
-\bruch{7}{3} & -2 & \bruch{1}{3} }[/mm] * [mm]\vektor{x1 \\
x2 \\
x3}[/mm] = [mm]\vektor{0 \\
0 \\
0}[/mm]
Wenn [mm]\lambda=-3[/mm] tatsächlich Eigenwert ist
>
> wenn ich die dann aufaddiere habe ich dann
> [mm]\pmat{ \bruch{14}{3} & 4 & -\bruch{2}{3} \\
0 & 1 & 1 }[/mm]
Du kannst doch nicht einfach die Nullzeile weglassen !
Besser: [mm]\pmat{\frac{14}{3}&4&-\frac{2}{3}\\
0&1&1\\
0&0&0}[/mm]
>
> also steht da jetzt x2 = -x3...wie mach ich denn dann
> weiter und wie schriebe ich das auf das ich meinen
> Eigenvektor erhalte? DIesen Schritt versteh ich einfach
> nicht.
Du kannst [mm]x_3[/mm] beliebig wählen, sagen wir [mm]x_3:=t[/mm] mit [mm]t\in\IR[/mm]
Dann ist mit Zeile2: [mm]x_2=-x_3=-t[/mm] und damit mit Zeile1:
[mm]\frac{14}{3}x_1+4x_2-\frac{2}{3}x_3=0[/mm], also [mm]\frac{14}{3}x_1-4t-\frac{2}{3}t=0[/mm]
Damit [mm]\frac{14}{3}x_1=4t+\frac{2}{3}t=\frac{14}{3}t[/mm], mithin [mm]x_1=t[/mm]
Also sieht ein Lösungsvektor des Kerns hier so aus:
[mm]\vektor{x_1\\
x_2\\
x_3}=\vektor{t\\
-t\\
t}=t\cdot{}\vektor{1\\
-1\\
1}[/mm] für [mm]t\in\IR[/mm]
Nimm dir irgendein (möglichst einfaches) [mm]t\neq 0[/mm], dann hast du einen Eigenvektor zum Eigenwert [mm]\lambda=3[/mm]
[mm]t\neq 0[/mm], denn für [mm]t=0[/mm] ergäbe sich der Nullvektor, der aber per definitionem kein EV ist ...
> Danke Gruß
>
LG
schachuzipus
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