Basisisomorphie und Matrizen < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:15 Di 02.12.2008 | | Autor: | Lati |
| Aufgabe | Sei V = [mm] \IR^{3} [/mm] mit Basis [mm] B_{1} [/mm] := [mm] (\vektor{ \bruch{-1}{2}\\ \bruch{-1}{2}\\ 1 }, \vektor{ \bruch{1}{2}\\ \bruch{-3}{2}\\ 1 },\vektor{-2,5 \\ 1\\\bruch{-1}{2} }), [/mm] und W= [mm] \IR^{3} [/mm] mit Basis [mm] B_{2}:= (\vektor{1 \\ 2\\-1 }, \vektor{-1 \\ 2\\1 },\vektor{2 \\ 1\\-1 }), [/mm] wobei wir die jeweiligen Basisvektoren abkürzen wollen als [mm] B_{1}= (a_{1}, a_{2}, a_{3}) [/mm] und [mm] B_{2} [/mm] = [mm] (b_{1}, b_{2}, b_{3}).
[/mm]
Wir definieren eine lineare Abbildung f : V [mm] \to [/mm] W durch
Angabe der Bilder der Basisvektoren:
[mm] f(a_{1}) [/mm] := [mm] 4b_{1}-b_{2}; [/mm]
[mm] f(a_{2}) :=b_{1} +b_{2}-2b_{3}; [/mm]
[mm] f(a_{3}) [/mm] := [mm] 3b_{1}-2b_{2}+2b_{3}). [/mm]
Die Abbildung f soll nun durch Basisisomorphie in eine Darstellung auf kanonische Basen überführt werden:
1. Schreiben Sie die Abbildung f als Matrix [mm] C_{f} [/mm] , bezogen auf die Basen [mm] B_{1},B_{2}.
[/mm]
2. Geben Sie Abbildungen in Matrixform an, welche einen Vektor in einer Darstellung bezüglich der Basen [mm] B_{1},B_{2} [/mm] in eine kanonische Darstellung abbilden.
3. Geben Sie Abbildungen in Matrixform an, welche einen Vektor in kanonischer Darstellung in eine Darstellung bezüglich der Basen [mm] B_{1},B_{2} [/mm] abbilden.
4. Transformieren Sie die Abbildung f so, dass Sie eine Abbildungsvorschrift in Matrixform [mm] D_{f}
[/mm]
von der kanonischen Basis des [mm] \IR^{3} [/mm] in die kanonische Basis erhalten.
5. Überprüfen Sie Ihre Ergebnisse, indem Sie einerseits
den Vektor k := (5 5 [mm] 5)^T \in [/mm] V
(dargestellt unter [mm] B_{1}) [/mm] mit C abbilden, und andererseits k in eine kanonische Darstellung bringen, mit [mm] D_{f} [/mm] abbilden, und das Ergebnis in eine Darstellung unter [mm] B_{2} [/mm] bringen. |
Hallo an alle,
ich hätte ein paar Fragen zu den einzelnen Teilaufgaben und zum Teil auch Korrekturwünsche.
zu 1. : ich habe hier [mm] f(a_{1})= [/mm] (5 6 -5) , [mm] f(a_{2}) [/mm] = ( -4 2 2) und [mm] f(a_{3})= [/mm] (9 4 -7) berechnet und erhalte ja somit die Bilder der Basis [mm] B_{1}.
[/mm]
Ist [mm] C_{f} [/mm] jetzt schon [mm] \pmat{ 5 & -4 & 9\\ 6 & 2 & 4\\ -5 & 2 & -7} [/mm] ?
Zu 2. :Was ist hier genau gemeint? Soll ich die Abbildung f neu bestimmen?
Und muss ich dann zwei unterschiedliche Dinge für die zwei unterschiedlichen Basen bestimmen oder ist das eins?
zu 3. :
Was ist genau der Unterschied zwischen den beiden Teilen 2. und 3.?ich hab schon gesehen, dass das " kanonisch " seinen Platz wechselt, aber was genau heißt das?
zu 4. :
Hier hab ich gar keine Ahnung was ich machen soll. Was ist denn der Unterschied zwischen kanonischer Basis des [mm] \IR^{3} [/mm] und der kanonischen Basis?
zu 5.: Kann man ja erst durchführen, wenn man 1.-4. gelöst hat...
Vielen, vielen Dank für eure Hilfe!
Grüße
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> Sei V = [mm]\IR^{3}[/mm] mit Basis [mm]B_{1}[/mm] := [mm](\vektor{ \bruch{-1}{2}\\ \bruch{-1}{2}\\ 1 }, \vektor{ \bruch{1}{2}\\ \bruch{-3}{2}\\ 1 },\vektor{-2,5 \\ 1\\\bruch{-1}{2} }),[/mm]
> und W= [mm]\IR^{3}[/mm] mit Basis [mm]B_{2}:= (\vektor{1 \\ 2\\-1 }, \vektor{-1 \\ 2\\1 },\vektor{2 \\ 1\\-1 }),[/mm]
> wobei wir die jeweiligen Basisvektoren abkürzen wollen als
> [mm]B_{1}= (a_{1}, a_{2}, a_{3})[/mm] und [mm]B_{2}[/mm] = [mm](b_{1}, b_{2}, b_{3}).[/mm]
>
> Wir definieren eine lineare Abbildung f : V [mm]\to[/mm] W durch
> Angabe der Bilder der Basisvektoren:
> [mm]f(a_{1})[/mm] := [mm]4b_{1}-b_{2};[/mm]
> [mm]f(a_{2}) :=b_{1} +b_{2}-2b_{3};[/mm]
> [mm]f(a_{3})[/mm] := [mm]3b_{1}-2b_{2}+2b_{3}).[/mm]
> Die Abbildung f soll nun durch Basisisomorphie in eine
> Darstellung auf kanonische Basen überführt werden:
>
> 1. Schreiben Sie die Abbildung f als Matrix [mm]C_{f}[/mm] , bezogen
> auf die Basen [mm]B_{1},B_{2}.[/mm]
>
> 2. Geben Sie Abbildungen in Matrixform an, welche einen
> Vektor in einer Darstellung bezüglich der Basen [mm]B_{1},B_{2}[/mm]
> in eine kanonische Darstellung abbilden.
>
> 3. Geben Sie Abbildungen in Matrixform an, welche einen
> Vektor in kanonischer Darstellung in eine Darstellung
> bezüglich der Basen [mm]B_{1},B_{2}[/mm] abbilden.
>
> 4. Transformieren Sie die Abbildung f so, dass Sie eine
> Abbildungsvorschrift in Matrixform [mm]D_{f}[/mm]
> von der kanonischen Basis des [mm]\IR^{3}[/mm] in die kanonische
> Basis erhalten.
>
> 5. Überprüfen Sie Ihre Ergebnisse, indem Sie einerseits
> den Vektor k := (5 5 [mm]5)^T \in[/mm] V
> (dargestellt unter [mm]B_{1})[/mm] mit C abbilden, und andererseits
> k in eine kanonische Darstellung bringen, mit [mm]D_{f}[/mm]
> abbilden, und das Ergebnis in eine Darstellung unter [mm]B_{2}[/mm]
> bringen.
> zu 1. : ich habe hier [mm]f(a_{1})=[/mm] (5 6 -5) , [mm]f(a_{2})[/mm] = ( -4
> 2 2) und [mm]f(a_{3})=[/mm] (9 4 -7) berechnet und erhalte ja somit
> die Bilder der Basis [mm]B_{1}.[/mm]
>
> Ist [mm]C_{f}[/mm] jetzt schon [mm]\pmat{ 5 & -4 & 9\\ 6 & 2 & 4\\ -5 & 2 & -7}[/mm]
> ?
>
Hallo,
Du hast hier jetzt folgendes getan: Du hast die Bilder der Basisvektoren [mm] a_i [/mm] in Koordinaten bzgl der Standardbasis ausgerechnet.
Ich kenne Eure Notationen nicht, jedenfalls tut die matrix, die Du angibst, folgendes:man füttertsie mit Vektoren in Koordinaten bzgl. [mm] B_1, [/mm] und siespuckt deren Bilder unter f in Koordinaten bzgl. der Standardbasis E aus, Ich schreibe dafür jetzt mal [mm] _{E}M(f)_{B_1}.
[/mm]
Gefragt war hier etwas viel Bescheideneres: die Matrix [mm] _{B_2}M(f)_{B_1}, [/mm] welche die Ergebnisse in Koordinaten bzgl. [mm] B_2 [/mm] liefert.
Es ist [mm] f(a_{1}):= 4b_{1}-b_{2}=\vektor{4\\-1\\0}_{(B_2)}, [/mm] und dies istdie erste Spalte der gesuchten Matrix.
> Zu 2. :Was ist hier genau gemeint? Soll ich die Abbildung f
> neu bestimmen?
Nein. Es sind Basistransformationsmatrizen gemeint.
Du sollst eine Matrix [mm] _ET_{B_1} [/mm] angeben, welche Du mit Vektoren in Koordinaten bzgl. [mm] B_1 [/mm] fütterst, und welche Dir denselben Vektor in Koordinaten bzgl derStandardbasis ausgibt.
Diese Matrix aufzustellen ist sehr einfach.
Was ist denn [mm] a_1= \vektor{1\\0\\0}_{(B_1)} [/mm] in Standardkoordinaten? dsa wäre dann die erste Spalte der Transformationsmatrix.
Für die andere Basis entsprechend.
>
> Und muss ich dann zwei unterschiedliche Dinge für die zwei
> unterschiedlichen Basen bestimmen oder ist das eins?
Zwei.
>
> zu 3. :
> Was ist genau der Unterschied zwischen den beiden Teilen
> 2. und 3.?ich hab schon gesehen, dass das " kanonisch "
> seinen Platz wechselt, aber was genau heißt das?
Die Matrizen, die hier gesucht sind, tun genau das umgekehrte: sie fressen Vektoren in Koordinaten bzgl. E und hinten kommen solche in Koordinaten bzgl [mm] B_i [/mm] heraus.
Gesucht ist hier also [mm] _{B_i}T_E, [/mm] und Du weißt, was zu tun ist, wenn Du Dir klarmachst, daß [mm] _{B_i}T_E*_ET_{B_i} [/mm] die Einheitsmatrix ist.
>
> zu 4. :
> Hier hab ich gar keine Ahnung was ich machen soll. Was ist
> denn der Unterschied zwischen kanonischer Basis des [mm]\IR^{3}[/mm]
> und der kanonischen Basis?
Keiner.
In Aufgabe 1. hast Du [mm] _{B_2}M(f)_{B_1} [/mm] bestimmt.
Du suchst nun [mm] _{E}M(f)_{E}, [/mm] was Du erreichst, wenn Du bei [mm] _{B_2}M(f)_{B_1} [/mm] die passenden Transformationsmatrizen vor- bzw. nachschaltest.
Gruß v. Angela
> zu 5.: Kann man ja erst durchführen, wenn man 1.-4. gelöst
> hat...
>
> Vielen, vielen Dank für eure Hilfe!
>
> Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:17 Di 02.12.2008 | | Autor: | Lati |
Hi Angela,
vielen Dank für deine Hilfe,
aber mir ist immer noch so einiges nicht klar.
1. ist eindeutig aber schon bei 2. weiß ich nicht genau, was du mit "Was ist denn $ [mm] a_1= \vektor{1\\0\\0}_{(B_1)} [/mm] $ in Standardkoordinaten? das wäre dann die erste Spalte der Transformationsmatrix" meinst. Hab irgednwie noch nie was von Standardkoordinaten gehört.
Ich hab aber trotzdem mal versucht eine Matrix zu bstimmen und zwar zu [mm] B_{1}: \pmat{ 1/8 & 9/8 & 13/8\\ -3/8 & -11/8 & -7/8 \\ -1/2 & -1/2 & -1/2}
[/mm]
Diese Matrix ergibt mit der Matrix [mm] B_{1} [/mm] multipliziert die Einheitsmatrix.
Ob des jetzt allerdings das ist was bei 2. gesucht ist, weiß ich nicht.
Allerdings kann ich mir da schwer vorstellen, weil du schreibst:
>
> Gesucht ist hier also [mm]_{B_i}T_E,[/mm] und Du weißt, was zu tun
> ist, wenn Du Dir klarmachst, daß [mm]_{B_i}T_E*_ET_{B_i}[/mm] die
> Einheitsmatrix ist.
Dann müsste ja [mm] B_{1}= _{B_i}T_E [/mm] sein oder?
Zu:
> In Aufgabe 1. hast Du [mm]_{B_2}M(f)_{B_1}[/mm] bestimmt.
>
> Du suchst nun [mm]_{E}M(f)_{E},[/mm] was Du erreichst, wenn Du bei
> [mm]_{B_2}M(f)_{B_1}[/mm] die passenden Transformationsmatrizen
> vor- bzw. nachschaltest.
Hat das was mit den vorherigen Aufgaben zu tun?
Vielen, vielen Dank für deine Hilfe!
Grüße L.
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> Hi Angela,
>
> vielen Dank für deine Hilfe,
> aber mir ist immer noch so einiges nicht klar.
> 1. ist eindeutig aber schon bei 2. weiß ich nicht genau,
> was du mit "Was ist denn [mm]a_1= \vektor{1\\0\\0}_{(B_1)}[/mm] in
> Standardkoordinaten? das wäre dann die erste Spalte der
> Transformationsmatrix" meinst. Hab irgednwie noch nie was
> von Standardkoordinaten gehört.
Hallo,
ich meinte damit in Koordinaten bzgl der Standardbasis. Möglicherweise sagt Ihr "kanonische Basis" dazu.
> Ich hab aber trotzdem mal versucht eine Matrix zu bstimmen
> und zwar zu [mm]B_{1}: \pmat{ 1/8 & 9/8 & 13/8\\ -3/8 & -11/8 & -7/8 \\ -1/2 & -1/2 & -1/2}[/mm]
Aha. Das ist eine der Matrizen, die in 3. gefordert sind.
Die Transformationsmatrizen, die in 2. verlangt sind, sind die, die Du offensichtlich mit [mm] B_1 [/mm] und [mm] B_2 [/mm] benennst, also die Matrizen, die die Basisvektoren in Koordinaten bzgl. der kanonischen Basis in den Spalten haben.
>
> Diese Matrix ergibt mit der Matrix [mm]B_{1}[/mm] multipliziert die
> Einheitsmatrix.
> Ob des jetzt allerdings das ist was bei 2. gesucht ist,
> weiß ich nicht.
> Allerdings kann ich mir da schwer vorstellen, weil du
> schreibst:
> >
> > Gesucht ist hier also [mm]_{B_i}T_E,[/mm] und Du weißt, was zu tun
> > ist, wenn Du Dir klarmachst, daß [mm]_{B_i}T_E*_ET_{B_i}[/mm] die
> > Einheitsmatrix ist.
>
> Dann müsste ja [mm]B_{1}= _{B_i}T_E[/mm] sein oder?
Genau umgekehrt: [mm] B_1= _{E}T__{B_1}.
[/mm]
Warum? Wenn ich die Matrix mit dem ersten Basisvektor in Koordinaten bzgl [mm] B_1 [/mm] füttere, also mit [mm] \vektor{1\\0\\0}_{(B_1)}, [/mm] so kommt der erste Basisvektor in Koordinaten bzgl. der kanonischen Basis heraus.
>
> Zu:
> > In Aufgabe 1. hast Du [mm]_{B_2}M(f)_{B_1}[/mm] bestimmt.
> >
> > Du suchst nun [mm]_{E}M(f)_{E},[/mm] was Du erreichst, wenn Du bei
> > [mm]_{B_2}M(f)_{B_1}[/mm] die passenden Transformationsmatrizen
> > vor- bzw. nachschaltest.
>
> Hat das was mit den vorherigen Aufgaben zu tun?
Ja, sehr viel.
[mm] _{B_2}M(f)_{B_1} [/mm] wird mit Koordinatevektoren bzgl [mm] B_1 [/mm] gefüttert und liefert das Bild unter f in Koordinaten bzgl [mm] B_2.
[/mm]
Wenn Du nun die Matrix suchst, die Vektoren bzgl. der kanonischen Basis frißt und die Bilder von diesen ebenfalls in kanonischen Koordinaten liefert, kommst Du dazu, indem Du folgendes der Reihe nach tust:
-ein "kanonischer Vektor" muß zunächst umgewandelt werden in Koordinaten bzgl [mm] B_1, [/mm] das geschieht mit der passenden Transformationsmatrix
-hierauf kann die Matrix [mm] _{B_2}M(f)_{B_1} [/mm] angewendet werden, heraus kommt das Bild unter f in Koordinaten bzgl. [mm] B_2
[/mm]
-jetzt ist der Vektor umzuwandeln in Koordinaten bzgl. der kanonischen Basis, auch da geschieht mit einer passenden Transformationsmatrix.
Insgesamt erhält man [mm] _{E}M(f)_{E} [/mm] als Produkt dreier zuvor berechneter Matrizen.
Gruß v. Angela
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:30 Mi 03.12.2008 | | Autor: | Lati |
Hallo Angela,
vielen, vielen Dank für deine Mühe.
Ich hab jetzt eigentlich überall ein Ergebnis komm aber am Ende irgendwie trotzdem nicht auf das richtige.Entweder ich mach was falsch oder ich kapier es immer noch nicht.Tut mir echt leid!
Also zu 1.:
Hier hab ich die Matrix [mm] C_{f} [/mm] = [mm] \pmat{ 4 & 1 & 3\\-1 & 1 & -2\\0 & -2 & 2} [/mm] aufgestellt.
zu 2. : Hier müsste die erste Matrix bezüglich [mm] B_{1} [/mm] heißen: [mm] \pmat{ -1/2 & 1/2 & -2,5\\ -1/2 & -3/2 & 1\\ 1 & 1 & -1/2 } [/mm] (nenn ich [mm] A_{1})
[/mm]
und zu [mm] B_{2} :\pmat{ 1 & -1 & 2\\ 2 & 2 & 1\\ -1 & 1 & -1 }(nenn [/mm] ich [mm] A_{2})
[/mm]
zu 3. : Hier hab ich bezüglich [mm] B_{1} [/mm] :
[mm] \pmat{ 1/8 & 9/8 & 13/8\\ -3/8 & -11/8 & -7/8\\ -1/2 & -1/2 & -1/2 }(nenne [/mm] ich [mm] G_{1}) [/mm] und
zu [mm] B_{2} :\pmat{ -3/4 & 1/4 & -5/4\\ 1/4 & 1/4 & 3/4\\ 1 & 0 & 1 }(nenne [/mm] ich [mm] G_{2})
[/mm]
zu 4. Hier stellt sich jetzt für mich die Frage, wie ich die Matrizen verknüpfen soll.
Ich hab's jetzt mal über die Multiplikation gemacht:
Dazu habe ich zuerst [mm] G_{1} [/mm] mit [mm] C_{f} [/mm] multipliziert und dann das Ergebnis mit [mm] A_{2} [/mm] multipliziert.
Als Ergebnis erhalte ich:
[mm] D_{f} [/mm] = [mm] \pmat{ -6 & -2 & -37/8\\ 0 & 0 & -1/8\\ 51/8 & 17/8 & 45/4 }
[/mm]
zu 5.:
Jetzt mache ich die Probe.
Dazu bilde ich k in V mit f nach W ab:
Mach ich indem ich [mm] \vektor{5 \\ 5 \\ 5} [/mm] mit [mm] C_{f} [/mm] mulitipliziere.
Als Ergebnis erhalte ich [mm] \vektor{40 \\ -10 \\ 0}
[/mm]
Auf der anderen Seite bilde ich k mit [mm] D_{f} [/mm] ab.
Dazu wandle ich k in kanonische Darstellung um. Hier bin ich mir allerdings sehr unsicher ob das was ich gemacht habe richtig ist,also die Umwandlung betreffend:
[mm] \vektor{5 \\ 5 \\ 5} [/mm] * [mm] A_{1} [/mm] = [mm] \vektor{-25/2 \\ -5 \\ 15/2}
[/mm]
Dieses Ergebnis multipliziere ich nun mit [mm] D_{f} [/mm] und dann diese Ergebnis wiederum mit [mm] G_{2} [/mm] und erhalte:
[mm] \vektor{-1955/64 \\ 505/64 \\ 355/8} [/mm] , was absolut nicht dem anderen Ergebnis entspricht.
Kannst du mir vielleicht nochmal sagen wo mein Fehler liegt?
Ich weiß echt nicht, was ich noch anders machen kann.
Vielen Dank!
Gruß L.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:20 Fr 05.12.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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