Basisergänzungssatz < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Wie lautet der Basisergänzungssatz? Wie lautet der Satz
von der linearen Fortsetzung?
Zeigen Sie, dass es mindestens eine lineare Abbildung f : [mm] \IR^{3} \to \IR^{2} [/mm] gibt derart, dass f(1,−2, 2) = (3,−1) und f(1, 1, 3) = (1, 1) gilt. Gibt es ein solches f, das
außerdem f(1, 4, 4) = (−1, 3) erfüllt? |
Das ist eine Aufgabe aus einer Musterklausur.
Ich hab sie hier mal als Beispiel gepostet, im Prinzip gehts mir aber darum dass ich das Thema GAR NICHT verstanden habe. Ich weiß nicht wie ich bei einer solchen Aufgabe vorgehen sollte. Ich habe zwar die Lösung der Aufgabe, aber da ich das Prinzip dahinter nicht verstanden habe hilft die nur wenig.
die beiden Definitionen habe ich natürlich:
Der Basisergänzungssatz besagt dass man jedes linear unabhängige System zu einer Basis fortsetzen kann.
Satz von der linearen Fortsetzung: Jede Abbildung einer Basis von V nach W lässt sich auf genau eine Weise zu einer linearen Abbildung von V nach W fortsetzen.
(hoffe das war jetzt richtig)
Aber wie gesagt: könnt ihr mir das Prinzip erklären?
|
|
| |
|
> Wie lautet der Basisergänzungssatz? Wie lautet der Satz
> von der linearen Fortsetzung?
> Zeigen Sie, dass es mindestens eine lineare Abbildung f :
> [mm]\IR^{3} \to \IR^{2}[/mm] gibt derart, dass f(1,−2, 2) =
> (3,−1) und f(1, 1, 3) = (1, 1) gilt. Gibt es ein
> solches f, das
> außerdem f(1, 4, 4) = (−1, 3) erfüllt?
>
> Das ist eine Aufgabe aus einer Musterklausur.
>
> Ich hab sie hier mal als Beispiel gepostet, im Prinzip
> gehts mir aber darum dass ich das Thema GAR NICHT
> verstanden habe. Ich weiß nicht wie ich bei einer solchen
> Aufgabe vorgehen sollte. Ich habe zwar die Lösung der
> Aufgabe, aber da ich das Prinzip dahinter nicht verstanden
> habe hilft die nur wenig.
>
>
> die beiden Definitionen habe ich natürlich:
> Der Basisergänzungssatz besagt dass man jedes linear
> unabhängige System zu einer Basis fortsetzen kann.
> Satz von der linearen Fortsetzung: Jede Abbildung einer
> Basis von V nach W lässt sich auf genau eine Weise zu einer
> linearen Abbildung von V nach W fortsetzen.
> (hoffe das war jetzt richtig)
>
> Aber wie gesagt: könnt ihr mir das Prinzip erklären?
Hallo,
ich hab vielleicht ein paar hilfreiche Tipps:
Also du weißt, dass eine lineare Abbildung [mm] f:\IR^3\longrightarrow\IR^2 [/mm] eine Basis des [mm] \IR^3 [/mm] in eine Basis des [mm] \IR^2 [/mm] abbildet.
Das gilt allgemein für lineare Abbildungen [mm] \phi: V\longrightarrow [/mm] W
Nun sind die Vektoren [mm] v_1=\vektor{1 \\ -2 \\ 2} [/mm] und [mm] v_2=\vektor{1 \\ 1 \\ 3} [/mm] linear unabhängig. Du kannst sie also nach dem Basisergänzungssatz durch Hinzunahme eines dritten Vektors aus dem [mm] \IR^3 [/mm] zu einer Basis des [mm] \IR^3 [/mm] ergänzen.
Die Bilder von [mm] v_1 [/mm] und [mm] v_2, [/mm] also [mm] f(v_1)=\vektor{3 \\ -1} [/mm] und [mm] f(v_2)=\vektor{ 1 \\ 1} [/mm] sind ebenfalls linear unabhängig. Also lässt sich auf jeden Fall eine lineare Abbildung wie gewünscht finden.
Wähle einen Vektor [mm] v_3 [/mm] aus [mm] \IR^3, [/mm] so dass [mm] \{v_1,v_2,v_3\} [/mm] linear unabhängig ist und weise [mm] v_3 [/mm] ein Bild [mm] f(v_3) \in \IR^2 [/mm] zu, so dass [mm] \{f(v_1),f(v_2),f(v_3)\} [/mm] linear unabhängig ist
Zur zweiten Frage:
Eine Eigenschaft linearer Abbildungen ist die Homomorphieeigenschaft (lin. Abb sind ja Vektorraumhomomorphismen),
dh. ist [mm] \phi [/mm] : [mm] V\longrightarrow [/mm] W eine lineare Abb und sind V,W VR über einem Körper [mm] \IK, [/mm] so gilt
[mm] \forall\lambda,\mu\in\IK\forall v_1,v_2\in [/mm] V: [mm] \phi(\lambda v_1+\mu v_2)=\lambda\phi(v_1)+\mu\phi(v_2)
[/mm]
Nun sind [mm] \IR^3 [/mm] und [mm] \IR^2 [/mm] VR über [mm] \IR [/mm] und [mm] \vektor{1 \\ 4 \\ 4} [/mm] lässt sich darstellen als LK von [mm] v_1 [/mm] und [mm] v_2:
[/mm]
[mm] \vektor{1 \\ 4 \\ 4}=(-1)*\vektor{1 \\ -2 \\ 2}+2*\vektor{1 \\ 1 \\ 3}, [/mm] also müsste gelten
[mm] f\left(\vektor{1 \\ 4 \\ 4}\right)=f\left((-1)*\vektor{1 \\ -2 \\ 2}+2*\vektor{1 \\ 1 \\ 3}\right)=(-1)*f\left(\vektor{1 \\ -2 \\ 2}\right)+2*f\left(\vektor{1 \\ 1 \\ 3}\right)=(-1)*\vektor{3 \\ -1}+2*\vektor{1 \\ 1}=\vektor{-3 \\ 1}+\vektor{2 \\ 2}=\vektor{-1 \\ 3} [/mm]
Das ist das gewünschte Ergebnis für das Bild [mm] von\vektor{1 \\ 4 \\ 4}, [/mm] also existiert eine solche gesuchte lineare Abb.
Ich hoffe, das war nicht zu wirr und einigermaßen verständlich ;)
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:44 Fr 09.02.2007 | | Autor: | celeste16 |
perfekt erklärt, danke.
|
|
|
|
