Basis zu Vektorraum < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:58 Sa 26.03.2011 | | Autor: | rubi |
| Aufgabe | Gib zwei Basen für die Menge der komplexen [mm] \IC [/mm] an, wenn [mm] \IC [/mm]
a) als [mm] \IR-Vektorraum
[/mm]
b) als [mm] \IC-Vektorraum [/mm] interpretiert wird. |
Hallo zusammen,
ich verstehe nicht ganz den Unterschied in der Lösung zwischen a) und b).
Als mögliche Basis für a) würde ich angeben [mm] \vektor{1 \\ 0} [/mm] und [mm] \vektor{0 \\ i}.
[/mm]
Als mögliche Basis für b) würde ich angeben [mm] \vektor{1 \\ 0} [/mm] und [mm] \vektor{0 \\ 1}, [/mm] da ich ja mit einem komplexen Zahl multiplizieren kann. Ich könnte meines Erachtens auch meine gewählte Basis aus a) nehmen.
Ist dies so richtig, oder bin ich hier auf dem Holzweg ?
Viele Grüße
Rubi
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
|
|
| |
|
Moin rubi,
> Gib zwei Basen für die Menge der komplexen [mm]\IC[/mm] an, wenn
> [mm]\IC[/mm]
> a) als [mm]\IR-Vektorraum[/mm]
> b) als [mm]\IC-Vektorraum[/mm] interpretiert wird.
> Hallo zusammen,
>
> ich verstehe nicht ganz den Unterschied in der Lösung
> zwischen a) und b).
> Als mögliche Basis für a) würde ich angeben [mm]\vektor{1 \\ 0}[/mm]
> und [mm]\vektor{0 \\ i}.[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
> Als mögliche Basis für b) würde
> ich angeben [mm]\vektor{1 \\ 0}[/mm] und [mm]\vektor{0 \\ 1},[/mm] da ich ja
> mit einem komplexen Zahl multiplizieren kann. Ich könnte
> meines Erachtens auch meine gewählte Basis aus a) nehmen.
Basiselemente der komplexen Zahlen können keine [mm] 2\times1 [/mm] Vektoren sein. Es müssen komplexe Zahlen gewählt werden. Die Basiselemente müssen schließlich in dem Vektorraum, hier die komplexen Zahlen, liegen.
zu a) Es stehen nur reelle Skalare zur Verfügung, also werden zwei Basiselemente benötigt. Zum Beispiel 1 und $i$. Jede komplexe Zahl z ist darstellbar als z=a*1+b*i, wobei [mm] a,b\in\IR.
[/mm]
Die Koordinatenvektoren sind dann [mm] 2\times1 [/mm] Vektoren der Gestalt [mm] \vektor{a\\b}
[/mm]
zu b) Das kannst du dir nun selbst überlegen.
>
> Ist dies so richtig, oder bin ich hier auf dem Holzweg ?
>
> Viele Grüße
> Rubi
>
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
LG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:23 Sa 26.03.2011 | | Autor: | rubi |
Hallo Kamaleonti,
vielen Dank für deine Ausführungen.
Heißt dies dann, dass ich bei b) als Basiselement nur die 1 benötige, weil ich ja hier mit einer beliebigen komplexen Zahl aus dem Körper multiplizieren kann und somit alle komplexen Zahlen erzeugen kann ?
Viele Grüße
Rubi
|
|
|
| |
|
Hallo rubi,
> Hallo Kamaleonti,
>
> vielen Dank für deine Ausführungen.
> Heißt dies dann, dass ich bei b) als Basiselement nur die
> 1 benötige, ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") weil ich ja hier mit einer beliebigen
> komplexen Zahl aus dem Körper multiplizieren kann und
> somit alle komplexen Zahlen erzeugen kann ?
Ganz recht.
Jede bel. andere komplexe Zahl [mm] $z\neq [/mm] 0$ tut's als Basis aber genauso.
Es ist [mm] $\IC$ [/mm] als [mm] $\IC$-Vektorraum [/mm] aufgefasst eindimensional!
>
> Viele Grüße
> Rubi
Gruß
schachuzipus
|
|
|
|
