Basis von Vektorraum bestimmen < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:58 Mi 06.01.2010 | | Autor: | jarna37 |
| Aufgabe | | Bestimmen sie die Basis vom Untervektorraum U mit [mm] U={x\in\IR^4|Ax=0} [/mm] mit [mm] A=\pmat{ 1 & 2 & -2 & -1 \\ 1 & 1 & -2 & 0 \\ 1 & -1 & -2 & 2 } [/mm] |
Hallo!
Also wie aus der Aufgabe schon ersichtlich soll ich die Basen von U bestimmen. Allerdings habe ich nicht die leiseste Ahnung wie das geht.
Ich weiß nur, dass man anhand dem Rang der Matrix ablesen kann, wie viele Basisvektorren man finden soll. Der Rang von A ist bei mir 2 -> 2 Vektoren. Außerdem weiß ich, dass die Vektoren linear unabhängig sein müssen...
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Grüße, Kira
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Hallo jarna37,
> Bestimmen sie die Basis vom Untervektorraum U mit
> [mm]U={x\in\IR^4|Ax=0}[/mm] mit [mm]A=\pmat{ 1 & 2 & -2 & -1 \\ 1 & 1 & -2 & 0 \\ 1 & -1 & -2 & 2 }[/mm]
>
> Hallo!
> Also wie aus der Aufgabe schon ersichtlich soll ich die
> Basen von U bestimmen. Allerdings habe ich nicht die
> leiseste Ahnung wie das geht.
> Ich weiß nur, dass man anhand dem Rang der Matrix ablesen
> kann, wie viele Basisvektorren man finden soll. Der Rang
> von A ist bei mir 2 -> 2 Vektoren. Außerdem weiß ich,
> dass die Vektoren linear unabhängig sein müssen...
Bestimme die Lösungsmenge des Gleichungssystems Ax=0.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> Grüße, Kira
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:23 Do 07.01.2010 | | Autor: | jarna37 |
Also das LGS ist ja unterbestimmt.
Ich bekomme als Lösung, bei den Variablen r,s,t,u folgendes:
s=u, r=2t, t=1/2r
Was hilft mir das jetzt weiter?
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Hallo jarna37,
> Also das LGS ist ja unterbestimmt.
> Ich bekomme als Lösung, bei den Variablen r,s,t,u
> folgendes:
> s=u, r=2t, t=1/2r
> Was hilft mir das jetzt weiter?
Die Lösung stimmt nicht ganz.
Es muss für r stehen: [mm]r=\red{-s}+2t[/mm]
Jetzt kannst Du die Lösung in der Form
[mm]\pmat{r \\ s \\ t \\ u}=s*\pmat{... \\ ... \\ ... \\ ...}+t*\pmat{... \\ ... \\ ... \\ ...}[/mm]
schreiben.
Die beiden Vektoren auf der rechten Seite
stellen dann eine Basis des Untervektorraums dar.
Und markiere Fragen nicht als Mitteilung,
sonst ist die Gefahr gross,
daß diese nicht beantwortet werden.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:51 Do 07.01.2010 | | Autor: | jarna37 |
wie du von der lösung des lgs (auf die ich inzwischen auch gekommen bin) auf diese linearkombination kommst ist mir noch unklar.
danke für den tipp - das ist mir dann nach dem reinstellen der "antwort" erst aufgefallen ;)
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Hallo jarna37,
> wie du von der lösung des lgs (auf die ich inzwischen auch
> gekommen bin) auf diese linearkombination kommst ist mir
> noch unklar.
Die Lösung des LGS ist
[mm]r=-s+2t, \ u = s[/mm]
,wobei hier s,t frei wählbar sind.
Anders geschrieben:
[mm]x_{1}=r=-s+2t[/mm]
[mm]x_{2}=s[/mm]
[mm]x_{3}=t[/mm]
[mm]x_{4}=u=s[/mm]
Da die Lösungen aus [mm]\IR^{4}[/mm] sein sollen,
kann auch geschrieben werden:
[mm]x = \pmat{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4}}=\pmat{r \\ s \\ t \\ u}=\pmat{-s+2t \\ s \\ t \\ s}=s*\pmat{-1 \\ 1 \\ 0 \\ 1}+ t*\pmat{2 \\ 0 \\ 1 \\ 0}[/mm]
> danke für den tipp - das ist mir dann nach dem reinstellen
> der "antwort" erst aufgefallen ;)
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:06 Do 07.01.2010 | | Autor: | jarna37 |
Achso... ok, jetzt dämmerts bei mir. Weil s und t frei wählbar sind, stehen sie bei der linearkombination vor den vektoren. demnach sind dann [mm] \vektor{-1 \\ 1 \\ 0 \\ 1} [/mm] und [mm] \vektor{2 \\ 0 \\ 1 \\ 0} [/mm] die basen von A...?
Das gleiche soll ich jetzt nochmal für den Vektorraum [mm] W=\{x \in \IR^4 | Bx=0 \} [/mm] mit [mm] B=\pmat{ 1 & -1 & 1 & -1 \\ 1 & -2 & 3 & -2 \\ 1 & 1 & -3 & 1 } [/mm] machen. Jedoch komme ich bei dem LGS auf eine sehr komische Lösung, die ich irgendwie nicht schön sortiert bekommen: r=t, u=-s+2t. Das wird irgendwie wieder nix bei mir
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> Achso... ok, jetzt dämmerts bei mir. Weil s und t frei
> wählbar sind, stehen sie bei der linearkombination vor den
> vektoren. demnach sind dann [mm]\vektor{-1 \\ 1 \\ 0 \\ 1}[/mm] und
> [mm]\vektor{2 \\ 0 \\ 1 \\ 0}[/mm] die basen von A...?
Hallo,
nein.
Sondern: die beiden Vektoren bilden zusammen eine Basis des gesuchten Raumes. (Du hast also richtig gerechnet.)
>
> Das gleiche soll ich jetzt nochmal für den Vektorraum
> [mm]W=\{x \in \IR^4 | Bx=0 \}[/mm] mit [mm]B=\pmat{ 1 & -1 & 1 & -1 \\ 1 & -2 & 3 & -2 \\ 1 & 1 & -3 & 1 }[/mm]
> machen. Jedoch komme ich bei dem LGS auf eine sehr komische
> Lösung, die ich irgendwie nicht schön sortiert bekommen:
> r=t, u=-s+2t. Das wird irgendwie wieder nix bei mir
Also haben die Lösungsvektoren [mm] \vektor{r\\s\\t\\u} [/mm] die Gestalt [mm] \vektor{r\\s\\t\\u}=\vektor{t\\s\\t\\-s+2t}=t*\vektor{1\\0\\1\\2}+s*\vektor{0\\1\\0\\-1},
[/mm]
und die beiden Vektoren bilden eine Basis des Lösungsraumes.
Mir ist nicht ganz klar, wie Du die Gleichung gelöst hast. Daß man dazu die Matrix auf Zeilenstufenform bringt, ist Dir klar?
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:11 Fr 08.01.2010 | | Autor: | jarna37 |
> Hallo,
>
> nein.
>
> Sondern: die beiden Vektoren bilden zusammen eine Basis des
> gesuchten Raumes. (Du hast also richtig gerechnet.)
>
hallo, das wollte ich ja eigentlich auch so sagen. da hab ich mich halt falsch ausgedrückt :)
> Also haben die Lösungsvektoren [mm]\vektor{r\\s\\t\\u}[/mm] die
> Gestalt
> [mm]\vektor{r\\s\\t\\u}=\vektor{t\\s\\t\\-s+2t}=t*\vektor{1\\0\\1\\2}+s*\vektor{0\\1\\0\\-1},[/mm]
>
> und die beiden Vektoren bilden eine Basis des
> Lösungsraumes.
ok, viele dank. als ich das vor mir hatte kam ich wohl einfach nich drauf.
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> Mir ist nicht ganz klar, wie Du die Gleichung gelöst hast.
> Daß man dazu die Matrix auf Zeilenstufenform bringt, ist
> Dir klar?
ähm, ja, das ist mir schon klar. über gauß auf zeilenstufenform... wieso, wie hätte ich das den sonst anders machen sollen?
grüße, kira
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> > Mir ist nicht ganz klar, wie Du die Gleichung gelöst hast.
> > Daß man dazu die Matrix auf Zeilenstufenform bringt, ist
> > Dir klar?
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> ähm, ja, das ist mir schon klar. über gauß auf
> zeilenstufenform... wieso, wie hätte ich das den sonst
> anders machen sollen?
Hallo,
Du hättest es gar nicht anders machen sollen.
Es hätte aber sein können, daß Du es anders gemacht hast, z.B. mit wüstem, unsystematischem Umformen.
In diesem Falle hätte ich Dir erklärt, wie es geht.
Gruß v. Angela
> grüße, kira
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:25 Sa 09.01.2010 | | Autor: | jarna37 |
Achso, da bin ich ja beruhigt. Dachte schon, ich hätte wieder irgendwas falsch gemacht. Das ganze Thema Vektorräume geht irgendwie nicht in meinen Kopf rein...
Danke für deine Hilfe,
Grüße Kira
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