Basis von Untervektorräumen < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:54 Fr 30.11.2007 | | Autor: | angie.b |
hallo, ich sitze gerade an meinen Übungsaufgaben für lineare algebra und bin dabei auf folgendes problem gestoßen:
meine aufgabe ist es für dieUntervektorräume U1 und U2 jeweils Basen anzugeben,..das habe ich auch bereits gemacht. nun soll ich aber auch eine Basis für U1 [mm] \cap [/mm] U2 und für U1 + U2 angeben..und da weiß ich nicht mehr weiter...
wäre ganz nett wenn mir jmd verraten kann, wie man dort überhaupt herangehen muss...
also hier erstmal die Untervektorräume von V = [mm] R^4 [/mm] :
U1= { [mm] (x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4} [/mm] ) : [mm] x_{1} [/mm] - [mm] x_{2} [/mm] + [mm] 2x_{4} [/mm] = 0 }
U2 = span ( (-1,-1,1,-2), (1,-1,-1,-7)
für U1 ist meine Basis ( (1,1,0,0) (0,0,1,0) (-2,0,0,1) )
für U2 ist meine Basis ( (-1,-1,1,-2) (1,-1,-1,-7) )
so, bis dahin bich ich wie gesagt gekommen aber weiter leider nicht..
ich habe mir überlegt für die basis von U1 [mm] \cap [/mm] U2 ob ich dass so machen kann, dass ich meine Basisvektoren von U1 und meine Basisvektoren von U2 nehme, und die auf linerae Unabhängigkeit prüfe und wenn es z.B. einen Vektor daraus gibt, der sich als Linearkombination darstellen lässt, wäre dass dann mein neuer Basisvektor..?!..bin mir aber nich sicher..
schonmal dankeschön im voraus für alle tipps und tricks! :) lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:32 Fr 30.11.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Deine idee für den Schnitt ist schon mal fast richtig.
du musst einen oder beide der Vektorenvon U2 versuchen durch die von U1 darzustellen. dann hast du mit dem, oder den Die Basis.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:53 Fr 30.11.2007 | | Autor: | angie.b |
also ich habe jetzt versucht einmal (-1,-1,1,-2) [mm] \in [/mm] U2 versucht mit vektoren von U1 darzustellen:
[mm] \pmat{ -1 & 1 & 0 & -2 \\ -1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ -2 & 0 & 0 & 1 }
[/mm]
wenn ich die in zeilen-stufen-form bringe erhalte ich
[mm] \pmat{-1&1&0&-2&\\0&-2&0&5\\0&0&1&-2\\0&0&0&-2}
[/mm]
und damit nur die triviale lösung [mm] \lambda_{1} [/mm] = [mm] \lambda_{2}= \lambda_{3} [/mm] = [mm] \lambda_{4} [/mm] = 0
,also sind die lin. unabhängig und dieser Vektor aus U2 kann ich nicht durch die von U1 darstellen
nehme ich nun (1,-1,-1,-7) [mm] \in [/mm] U2:
[mm] \pmat{1&1&0&-2\\-1&1&0&0\\-1&0&1&0\\-7&0&0&1} [/mm]
--> [mm] \pmat{1&1&0&-2\\0&2&0&-2\\0&0&-2&2\\0&0&0&12}
[/mm]
d.h. auch hier habe ich nur die triviale Lösung raus [mm] \lambda_{1} [/mm] = [mm] \lambda_{2}= \lambda_{3} [/mm] = [mm] \lambda_{4} [/mm] = 0
heißt das jetzt, dass die basis von beiden {0} ist? oder habe ich was falsch gemacht?...;)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:26 Sa 01.12.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo angie
Der Schnitt ist nicht leer, da es ja nicht 5 linear unabh. Vektoren in [mm] R^4 [/mm] geben kann.
Was du schon mal raus hast ist dass der Sppan von U1+U2 [mm] R^4 [/mm] ist, also kannst du als Basis dafür die Standartbasis angeben.
um einen bzw, den Vektor im Schnitt zu finden suchst du den Vektor
mit r_1u1+r_2u2+r_3u3=s_1v1+s_2v2 u , v die Vektoren aus den 2 Unteraümen. der liegt im Schnitt und ist dann auch Basis.
dimU+dimV=dim(U [mm] \cap [/mm] V) +dim(U+V) da das erste 5, das letze 4 ist bleibt ja für dim(U [mm] \cap [/mm] V) nur 1 übrig.
Damit ist wohl auch die andere gestellte Frage beantwortet.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:01 Sa 01.12.2007 | | Autor: | angie.b |
sorry, wenn ich nochmal nachhaken muss..
also ich habe das jetzt so probiert und komme auf den vektor
(-2,0,0,1)...aber muss dieser vektor der im durchschnitt liegt nicht in U2 und U1 liegen? weil den den ich raus habe, der liegt nich im U2...*das is doch zum Verzweifeln...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:09 Sa 01.12.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Er muss in U1 und U2 liegen! du musst also meine r und s getrennt halten :
wegen r_1u1+r_2u2+r_3u3=s_1v1+s_2v2
liegt dann r_1u1+r_2u2+r_3u3 im einen s_1v1+s_2v2 im anderen und wegen dem = in beiden!
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:32 Sa 01.12.2007 | | Autor: | angie.b |
jetzt hat's klick gemacht!! habe auch schon das ergebnis!! danke für deine geduld und super schnelle hilfe!!! lg angie
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:54 Fr 30.11.2007 | | Autor: | Tavaril |
an dem gleichen aufgabenteil bin ich auch schon gescheitert..
ich habe mir überlegt, dass die vektoren, die sowohl in U1 als auch in U2 liegen ja auch sowohl durch eine linearkombination der ersten basis als auch als linearkombination der zweiten basis ausgedrückt werden können.
Das prüfen auf lineare abhängigkeit ergibt, dass keiner der basisverktoren linear durch die jeweils andere basis kombiniert werden kann. aber es wäre ja möglich, dass es eine linearkombination der beiden basisvektoren von U2 gibt, die in U1 enthalten ist.
Dabei kommt raus, dass alle fünf vektoren linear abhängig sind. Aber wenn ich nun einfach einen, den ich als linearkombination der anderen darstelle weglasse, habe ich dann wirklich genau die schnittmenge von U1 und U2 ausgedrückt? (nicht dass da noch welche fehlen, die im schnitt drin sind, oder welche enthalten sind, die nicht drin sind...)
und wenn das die lösung ist, warum? kann man das irgendwie anschaulich machen?
lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:27 Sa 01.12.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
siehe meine Antwort an angie
Gruss leduart
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