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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:47 Mo 03.04.2017 | | Autor: | goerimx |
Hallo zusammen,
mir stellt sich die Frage ob ich folgende Aufgabe korrekt verstanden habe:
Es seien folgende Unterräume des R5 gegeben:
U1 := {⃗x∈R5 |2x1 −x2 +2x3 =0 ∧ −x1 +x4 =0}
Bestimmt werden soll eine Basis.
Nach dem Aufstellen einer Matrix und umformen gelange ich letztendlich von:
-1 0 0 1 0
2 -1 2 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
zu:
1 0 0 -1 0
0 1 -2 -2 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
reicht es hier nun aus die Pivotspalten in Spalte 1 und 2 zu erkennen und die Basis somit als
2
-1
0
0
0
und
-1
0
0
0
0
anzugeben?
Vielen Dank für eure Hilfe!
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> Hallo zusammen,
> mir stellt sich die Frage ob ich folgende Aufgabe korrekt
> verstanden habe:
>
> Es seien folgende Unterräume des R5 gegeben:
> U1 := {⃗x∈R5 |2x1 −x2 +2x3 =0 ∧ −x1 +x4 =0}
> Bestimmt werden soll eine Basis.
Hallo,
gegeben ist ein homogenes LGS, dessen Lösungsraum Du bestimmen sollst bzw. eine Basis des Lösungsraumes.
Dies kannst Du tun, indem Du die Koeffizientenmatrix des LGS nimmst und ihren Kern bestimmst:
>
> Nach dem Aufstellen einer Matrix und umformen gelange ich
> letztendlich von:
>
> -1 0 0 1 0
> 2 -1 2 0 0
> 0 0 0 0 0
> 0 0 0 0 0
> 0 0 0 0 0
>
> zu:
>
> [mm] \red{1} [/mm] 0 0 -1 0
> 0 [mm] \red{1 } [/mm] -2 -2 0
> 0 0 0 0 0
> 0 0 0 0 0
> 0 0 0 0 0
>
> reicht es hier nun aus die Pivotspalten in Spalte 1 und 2
> zu erkennen
Du hast nun die Matrix auf reduzierte ZSF gebracht - Nullen nicht nur unter, sondern auch über den rotmarkierten führenden Zeilenelementen.
Aus dieser Form kannst Du dann leicht eine Basis bekommen:
und die Basis somit als
>
> 2
> -1
> 0
> 0
> 0
>
> und
>
> -1
> 0
> 0
> 0
> 0
>
> anzugeben?
Daß hier etwas gründlich danebengegangen ist, merkst Du sofort, wenn Du Deine "Basis" mal in das LGS einsetzt: das sind ja beides überhaupt keine Lösungen!
So geht es:
die fürenden Zeilenelemente der Zeilenstufenform stehen in der 1. und 2. Spalte.
Also kannst Du die 3.,4.,5.Variable frei wälen.
Mit [mm] x_3=r
[/mm]
[mm] x_4=s
[/mm]
[mm] x_5=t
[/mm]
bekommst Du
aus Zeile 2
[mm] x_2=2r+2s,
[/mm]
aus Zeile 1
[mm] x_1=s.
[/mm]
Also haben alle Lösungen die Gestalt
[mm] \vektor{x_1\\x_2\\x_3\\x_4\\x_5}=\vektor{s\\2r+2s\\r\\s\\t}=r\vektor{0\\2\\1\\0\\0}+s\vektor{1\\2\\0\\1\\0}+t\vektor{0\\0\\0\\0\\1},
[/mm]
und die 3 Vektoren [mm] \vektor{0\\2\\1\\0\\0}, \vektor{1\\2\\0\\1\\0}, \vektor{0\\0\\0\\0\\1} [/mm] bilden Zusammen eine Basis des gesuchten Raumes.
Alternativ mit dem (-1)-Trick: in der reduzierten(!!!) Zeilenstufenform die Eineitsmatrix subtrahieren. In den Nichtnullspalten steht eine Basis des gesuchten Raumes.
LG Angela
>
> Vielen Dank für eure Hilfe!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:11 Di 04.04.2017 | | Autor: | goerimx |
Vielen Dank für die ausführliche und sehr hilfreiche Antwort!
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