Basis von Unterraum bestimmen < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:15 Mo 04.04.2011 | | Autor: | Loriot95 |
| Aufgabe | Betrachten Sie den Endomorphismus
f: [mm] \IR^{3} \to \IR^{3}, [/mm] x [mm] \mapsto \pmat{ 1 & 2 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 3 & 0 & 1 }*x. [/mm] Bestimmen Sie eine Basis des Unterraumes U:= [mm] \{ x \in \IR^{3} | f(x) = x \}. [/mm] |
Guten Morgen,
habe zunächst U bestimmt. Es gilt:
x [mm] =\pmat{ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 } [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 2 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 3 & 0 & 1 }*\pmat{ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 }. [/mm] Hab dann ein Gleichungssystem aufgestellt. Dann kam U = [mm] \{ \pmat{ 0 & 0 & 0 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ -b_1 & -b_2 & -b_3 } \}. [/mm] Stimmt das so? Wie kann ich daraus nun eine Basis bestimmen? Ich weiß das man drei Vektoren finden muss, aus U welche Linear unabhängig sind. Aber wie macht man das? Hoffe ihr könnt mir helfen.
LG Loriot95
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:22 Mo 04.04.2011 | | Autor: | fred97 |
> Betrachten Sie den Endomorphismus
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> f: [mm]\IR^{3} \to \IR^{3},[/mm] x [mm]\mapsto \pmat{ 1 & 2 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 3 & 0 & 1 }*x.[/mm]
> Bestimmen Sie eine Basis des Unterraumes U:= [mm]\{ x \in \IR^{3} | f(x) = x \}.[/mm]
>
> Guten Morgen,
>
> habe zunächst U bestimmt. Es gilt:
>
> x [mm]=\pmat{ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 }[/mm]
> = [mm]\pmat{ 1 & 2 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 3 & 0 & 1 }*\pmat{ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 }.[/mm]
> Hab dann ein Gleichungssystem aufgestellt. Dann kam U = [mm]\{ \pmat{ 0 & 0 & 0 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ -b_1 & -b_2 & -b_3 } \}.[/mm]
> Stimmt das so?
Nein. Was machst Du den für komische Sachen ??
Es ist x [mm] \in [/mm] U [mm] \gdw [/mm] f(x)=x [mm] \gdw [/mm] (f-I)x=0 [mm] \gdw [/mm] $ [mm] \pmat{ 0 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & 0 }\cdot{}x=0 [/mm] $
FRED
> Wie kann ich daraus nun eine Basis
> bestimmen? Ich weiß das man drei Vektoren finden muss, aus
> U welche Linear unabhängig sind. Aber wie macht man das?
> Hoffe ihr könnt mir helfen.
>
> LG Loriot95
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:32 Mo 04.04.2011 | | Autor: | Loriot95 |
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> Nein. Was machst Du den für komische Sachen ??
>
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> Es ist x [mm]\in[/mm] U [mm]\gdw[/mm] f(x)=x [mm]\gdw[/mm] (f-I)x=0 [mm]\gdw[/mm]
Was ist denn hier diese I?
> [mm]\pmat{ 0 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & 0 }\cdot{}x=0[/mm]
Wie bist du denn auf diese Matrix gekommen?
>
> FRED
>
>
> > Wie kann ich daraus nun eine Basis
> > bestimmen? Ich weiß das man drei Vektoren finden muss, aus
> > U welche Linear unabhängig sind. Aber wie macht man das?
> > Hoffe ihr könnt mir helfen.
> >
> > LG Loriot95
>
LG Loriot95
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:46 Mo 04.04.2011 | | Autor: | fred97 |
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> > Nein. Was machst Du den für komische Sachen ??
> >
> >
> > Es ist x [mm]\in[/mm] U [mm]\gdw[/mm] f(x)=x [mm]\gdw[/mm] (f-I)x=0 [mm]\gdw[/mm]
> Was ist denn hier diese I?
Die Identität, die Einheitsmatrix !!
> > [mm]\pmat{ 0 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & 0 }\cdot{}x=0[/mm]
>
> Wie bist du denn auf diese Matrix gekommen?
Berechne mal
$ [mm] \pmat{ 1 & 2 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 3 & 0 & 1 }-I [/mm] $
FRED
> >
> > FRED
> >
> >
> > > Wie kann ich daraus nun eine Basis
> > > bestimmen? Ich weiß das man drei Vektoren finden muss, aus
> > > U welche Linear unabhängig sind. Aber wie macht man das?
> > > Hoffe ihr könnt mir helfen.
> > >
> > > LG Loriot95
> >
>
> LG Loriot95
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:15 Mo 04.04.2011 | | Autor: | Loriot95 |
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> > >
> > > Nein. Was machst Du den für komische Sachen ??
> > >
> > >
> > > Es ist x [mm]\in[/mm] U [mm]\gdw[/mm] f(x)=x [mm]\gdw[/mm] (f-I)x=0 [mm]\gdw[/mm]
> > Was ist denn hier diese I?
>
> Die Identität, die Einheitsmatrix !!
>
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> > > [mm]\pmat{ 0 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & 0 }\cdot{}x=0[/mm]
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> >
> > Wie bist du denn auf diese Matrix gekommen?
>
> Berechne mal
>
> [mm]\pmat{ 1 & 2 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 3 & 0 & 1 }-I[/mm]
>
Damit erhalte ich die von dir erwähnte Matrix. Aber wenn ich nun [mm] \pmat{ 0 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & 0 }\cdot{}x=0 [/mm] auflöse erhalte ich die von mir angegeben Matrix. Ich dachte damit hätte ich U bestimmt? Ist das völlig falsch? Muss ich nicht zunächst U bestimmen, und dann eine Basis finden?
>
> FRED
LG loriot95
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:32 Mo 04.04.2011 | | Autor: | fred97 |
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> > > > Nein. Was machst Du den für komische Sachen ??
> > > >
> > > >
> > > > Es ist x [mm]\in[/mm] U [mm]\gdw[/mm] f(x)=x [mm]\gdw[/mm] (f-I)x=0 [mm]\gdw[/mm]
> > > Was ist denn hier diese I?
> >
> > Die Identität, die Einheitsmatrix !!
> >
> >
> > > > [mm]\pmat{ 0 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & 0 }\cdot{}x=0[/mm]
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> >
> > >
> > > Wie bist du denn auf diese Matrix gekommen?
> >
> > Berechne mal
> >
> > [mm]\pmat{ 1 & 2 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 3 & 0 & 1 }-I[/mm]
> >
> Damit erhalte ich die von dir erwähnte Matrix. Aber wenn
> ich nun [mm]\pmat{ 0 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & 0 }\cdot{}x=0[/mm]
> auflöse erhalte ich die von mir angegeben Matrix.
Jetzt aber mal langsam. Das kann ja wohl nicht sein !!!
Wenn ich das auflöse erhalte ich für [mm] x=(x_1,x_2,x_3):
[/mm]
[mm] x_1=0 [/mm] , [mm] x_2+x_3=0
[/mm]
> Ich
> dachte damit hätte ich U bestimmt? Ist das völlig falsch?
> Muss ich nicht zunächst U bestimmen
> Es ist [mm] $U=\{(x_1,x_2,x_3): x_1=0, x_2+x_3=0\}$
[/mm]
> , und dann eine Basis
> finden?
Ja
FRED
> >
> > FRED
> LG loriot95
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:05 Mo 04.04.2011 | | Autor: | Loriot95 |
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> Jetzt aber mal langsam. Das kann ja wohl nicht sein !!!
>
> Wenn ich das auflöse erhalte ich für [mm]x=(x_1,x_2,x_3):[/mm]
Ja, ich hab den Fehler begangen und die falsche Matrix aus [mm] \IR^{3} [/mm] gewählt bzw. meine Matrix war gar kein Element von [mm] \IR^{3}. [/mm]
> [mm]x_1=0[/mm] , [mm]x_2+x_3=0[/mm]
>
>
> > Ich
> > dachte damit hätte ich U bestimmt? Ist das völlig falsch?
> > Muss ich nicht zunächst U bestimmen
>
>
>
>
> > Es ist [mm]U=\{(x_1,x_2,x_3): x_1=0, x_2+x_3=0\}[/mm]
>
> > , und dann eine Basis
> > finden?
>
>
> Ja
>
Gut, dann wäre doch B = [mm] \{ \vektor{0 \\ 1 \\ 0}, \vektor{0 \\ 0 \\ 1} \} [/mm] eine Basis von U. Es gilt nämlich:
[mm] \lambda_{2} *\vektor{0 \\ 1 \\ 0} [/mm] + [mm] \lambda_{3}* \vektor{0 \\ 0 \\ 1} [/mm] = 0 [mm] \Rightarro \lambda_{2} [/mm] = 0 und [mm] \lambda_{3} [/mm] = 0. Hoffe so stimmts.
LG Loriot95
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:09 Mo 04.04.2011 | | Autor: | fred97 |
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> >
> >
> > Jetzt aber mal langsam. Das kann ja wohl nicht sein !!!
> >
> > Wenn ich das auflöse erhalte ich für [mm]x=(x_1,x_2,x_3):[/mm]
> Ja, ich hab den Fehler begangen und die falsche Matrix
> aus [mm]\IR^{3}[/mm] gewählt bzw. meine Matrix war gar kein
> Element von [mm]\IR^{3}.[/mm]
> > [mm]x_1=0[/mm] , [mm]x_2+x_3=0[/mm]
> >
> >
> > > Ich
> > > dachte damit hätte ich U bestimmt? Ist das völlig falsch?
> > > Muss ich nicht zunächst U bestimmen
> >
> >
> >
> >
> > > Es ist [mm]U=\{(x_1,x_2,x_3): x_1=0, x_2+x_3=0\}[/mm]
>
> >
> > > , und dann eine Basis
> > > finden?
> >
> >
> > Ja
> >
>
> Gut, dann wäre doch B = [mm]\{ \vektor{0 \\ 1 \\ 0}, \vektor{0 \\ 0 \\ 1} \}[/mm]
> eine Basis von U.
Nein. Beide Vektoren in B liegen nicht in U !!!!!!!
FRED
> Es gilt nämlich:
>
> [mm]\lambda_{2} *\vektor{0 \\ 1 \\ 0}[/mm] + [mm]\lambda_{3}* \vektor{0 \\ 0 \\ 1}[/mm]
> = 0 [mm]\Rightarro \lambda_{2}[/mm] = 0 und [mm]\lambda_{3}[/mm] = 0. Hoffe
> so stimmts.
>
> LG Loriot95
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:52 Mo 04.04.2011 | | Autor: | Loriot95 |
Ok. Es gilt doch U = [mm] \{ \vektor{0 \\ x_{2} \\ -x_{2} } \}. [/mm] Wie schafft man es denn dann überhaupt das man zwei lineare unabhängige Vektoren findet? Ist das überhaupt möglich? Ich wüsste nicht wie.
LG Loriot95
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:49 Mo 04.04.2011 | | Autor: | fred97 |
> Ok. Es gilt doch U = [mm]\{ \vektor{0 \\ x_{2} \\ -x_{2} } \}.[/mm]
Korrekt lautet es: U = [mm]\{ \vektor{0 \\ x_{2} \\ -x_{2} }: x_2 \in \IR \}.[/mm] .
Damit ist U gerade die lineare Hülle von
[mm] \vektor{0 \\1 \\ -1 }
[/mm]
> Wie schafft man es denn dann überhaupt das man zwei
> lineare unabhängige Vektoren findet?
Wer hat denn gesagt, dass U 2 - dimensional ist ?
Ist das überhaupt
> möglich?
Es ist dim (U)=1
FRED
Ich wüsste nicht wie.
>
> LG Loriot95
>
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:16 Mo 04.04.2011 | | Autor: | Loriot95 |
> > Ok. Es gilt doch U = [mm]\{ \vektor{0 \\ x_{2} \\ -x_{2} } \}.[/mm]
>
> Korrekt lautet es: U = [mm]\{ \vektor{0 \\ x_{2} \\ -x_{2} }: x_2 \in \IR \}.[/mm]
> .
>
> Damit ist U gerade die lineare Hülle von
>
> [mm]\vektor{0 \\1 \\ -1 }[/mm]
Also ist dies eine Basis von U?
>
> > Wie schafft man es denn dann überhaupt das man zwei
> > lineare unabhängige Vektoren findet?
>
> Wer hat denn gesagt, dass U 2 - dimensional ist ?
>
>
> Ist das überhaupt
> > möglich?
>
>
>
> Es ist dim (U)=1
>
> FRED
>
> Ich wüsste nicht wie.
> >
> > LG Loriot95
> >
> >
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LG Loriot95
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:19 Mo 04.04.2011 | | Autor: | fred97 |
> > > Ok. Es gilt doch U = [mm]\{ \vektor{0 \\ x_{2} \\ -x_{2} } \}.[/mm]
> >
> > Korrekt lautet es: U = [mm]\{ \vektor{0 \\ x_{2} \\ -x_{2} }: x_2 \in \IR \}.[/mm]
> > .
> >
> > Damit ist U gerade die lineare Hülle von
> >
> > [mm]\vektor{0 \\1 \\ -1 }[/mm]
> Also ist dies eine Basis von U?
Ja
FRED
> >
> > > Wie schafft man es denn dann überhaupt das man zwei
> > > lineare unabhängige Vektoren findet?
> >
> > Wer hat denn gesagt, dass U 2 - dimensional ist ?
> >
> >
> > Ist das überhaupt
> > > möglich?
> >
> >
> >
> > Es ist dim (U)=1
> >
> > FRED
> >
> > Ich wüsste nicht wie.
> > >
> > > LG Loriot95
> > >
> > >
> >
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> LG Loriot95
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:23 Mo 04.04.2011 | | Autor: | Loriot95 |
Ok. Danke schön. Allen anschein nach brauche ich noch etwas übung...
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