Basis von Teilraum bestimmen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:14 Di 20.07.2004 | | Autor: | Nick |
Hallo zusammen!
Ich habe bei der folgenden Aufgabe ein Problem. Sie lautet:
Es sei [mm] V:=\IR^{3\times 1} \le W:= \IC^{3 \times 1}[/mm]. Für jeden [mm]\IC[/mm]-Teilraum U von W ist [mm] U\cap V [/mm] ein [mm] \IR [/mm]-Teilraum von V. Bestimmen sie eine [mm] \IR [/mm]-Basis von [mm] U\cap V [/mm] für
a) [mm] U = [mm] <\begin{pmatrix} 1 \\ i \\ 1 \end{pmatrix} ,\begin{pmatrix} -i \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}>_{\IC}[/mm] [mm]
b) [mm] U = [mm] <\begin{pmatrix} 1 \\ i \\ 1 \end{pmatrix} ,\begin{pmatrix} i \\ 1 \\ i \end{pmatrix}>_{\IC}[/mm] [mm].
Ich weiß nicht so recht wie ich diese [mm] \IR [/mm]-Basis bestimmen soll. Habe mir dann mal überlegt, wie [mm] U\cap V [/mm] aussehe. Man könnte doch dann [mm] U\cap V [/mm] auch als [mm] U|_V [/mm],d.h. U eingeschränkt auf V betrachten. Also quasi [mm] U>_{\IR}[/mm]. Und dazu hatten wir in der Vorlesung ein Beispiel. Es lautet:
W = [mm] [/mm] 2-dim. [mm] \IC [/mm]-Vektorraum
[mm] W_{\IR} [/mm] ist 4-dimensionaler [mm] \IR [/mm]-Vektorraum
[mm] (w_1, iw_2, w_2, iw_2) [/mm] ist [mm] \IR [/mm]-Basis
[mm] \IC [/mm] ist 2-dimensionaler [mm] \IR [/mm]-Vektorraum mit Basis (1, i)
Jedoch weiß ich nicht so recht ob ich das übertragen kann, dann hatt [mm] U \cap V [/mm] die Dimension 4 aber da [mm] U\cap V [/mm] [mm] [mm] \IR[/mm] [mm]-Teilraum von V ist (dimV=3 ), nicht stimmen kann.
Könntet ihr mir vielleicht wéiterhelfen?
Danke schon im Vorraus
Nick.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:57 Di 20.07.2004 | | Autor: | Stefan |
Lieber Nick!
Überlege dir doch mal, mit welchen Linearkombinationen der beiden erzeugenden Elemente von $U$ du überhaupt in den Vektorraum $V$ kommst.
D.h. Für welche [mm] $\lambda,\mu \in \IC$ [/mm] gilt:
[mm] $\lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ i \\ 1 \end{pmatrix} [/mm] + [mm] \mu \cdot \begin{pmatrix} -i \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \in \IR^3$ [/mm] ?
Nun ja, dazu sind offenbar die folgenden Bedingungen notwendig und hinreichend (vergleiche komponentenweise die Imaginärteile):
[mm] $Im(\lambda) [/mm] - [mm] Re(\mu)=0$
[/mm]
[mm] $Re(\lambda) [/mm] + [mm] Im(\mu) [/mm] = 0$
[mm] $Im(\lambda) [/mm] + [mm] Im(\mu)=0$.
[/mm]
Dann ist aber:
[mm] $\lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ i \\ 1 \end{pmatrix} [/mm] + [mm] \mu \cdot \begin{pmatrix} -i \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$
[/mm]
$= ( [mm] Re(\lambda) [/mm] + [mm] i\, Re(\lambda)) \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ i \\ 1 \end{pmatrix} [/mm] + [mm] (Re(\lambda) [/mm] - [mm] i\, Re(\lambda)) \cdot \begin{pmatrix} -i \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 2 Re(\lambda) \end{pmatrix}$.
[/mm]
Daraus folgt offenbar:
[mm] $Span_{\IR}(U \cap [/mm] V) = [mm] Span_{\IR}(\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}^T)$.
[/mm]
Die b) kannst du ja mal zunächst selber versuchen.
Liebe Grüße
Stefan
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