Basis von Quotientenvektorraum < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:40 Mo 27.04.2009 | | Autor: | SEBBI001 |
| Aufgabe | | Es ist V ein K-Vektorraum mit der Basis [mm] v_{1} [/mm] , ... , [mm] v_{n} [/mm] und U [mm] \subset [/mm] V der von [mm] v_{1} [/mm] + ... + [mm] v_{n} [/mm] erzeugte Unterraum. Bestimmen Sie eine Basis des Quotientenvektorraumes V/U |
Ich komm da nicht weiter. Mir ist zwar klar, was ein QuotientenVR ist (die Menge aller Äquivalenzklassen [x] mit v - x [mm] \in [/mm] U) aber wie man das hier in diesem konkreten Fall anwenden soll, weiß ich nicht. Die Dimension von V/U müsste doch n-1 sein, da dim(V) = n und dim(U) = 1 ist, oder?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:12 Mo 27.04.2009 | | Autor: | statler |
Mahlzeit!
> Es ist V ein K-Vektorraum mit der Basis [mm]v_{1}[/mm] , ... , [mm]v_{n}[/mm]
> und U [mm]\subset[/mm] V der von [mm]v_{1}[/mm] + ... + [mm]v_{n}[/mm] erzeugte
> Unterraum. Bestimmen Sie eine Basis des
> Quotientenvektorraumes V/U
> Ich komm da nicht weiter. Mir ist zwar klar, was ein
> QuotientenVR ist (die Menge aller Äquivalenzklassen [x] mit
> v - x [mm]\in[/mm] U)
Ganz so geht das nicht! Es müßte dann heißen ... die Menge der Äquivalenzklassen [x] mit [v] = [x] für v - x [mm] \in [/mm] U
> aber wie man das hier in diesem konkreten Fall
> anwenden soll, weiß ich nicht. Die Dimension von V/U müsste
> doch n-1 sein, da dim(V) = n und dim(U) = 1 ist, oder?
Wenn du das schon alles weißt, dann ist es doch total einfach. Probier einfach mal, ob die n-1 Klassen [mm] [v_1], \ldots [/mm] , [mm] [v_{n-1}] [/mm] eine Basis bilden.
Sie tun es, und du solltest in der Lage sein, hinzuschreiben, warum.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:41 Mo 27.04.2009 | | Autor: | SEBBI001 |
Hallo, danke für die Antwort, aber ich hab trotzdem keine Ahnung, wie ich das hinschreiben soll. Wenn das so ist, dann müsste [mm] v_{n} [/mm] ja in irgendeiner anderen Aquivalenzklasse enthalten sein, aber wie schreib ich das hin und weise das richtig nach? Und wie zeige ich, dass [mm] v_{1} [/mm] bis [mm] v_{n-1} [/mm] dann wirklich eine Basis von V/U sind?
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Erlangen, oder? Schau mal hier ein Versuch von mir, der noch nicht beantwortet wurde:
http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=391146
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> Hallo, danke für die Antwort, aber ich hab trotzdem keine
> Ahnung, wie ich das hinschreiben soll. Wenn das so ist,
> dann müsste [mm]v_{n}[/mm] ja in irgendeiner anderen
> Aquivalenzklasse enthalten sein,
Hallo,
was Du bloß damit meinen magst:
[mm] v_n [/mm] ist in [mm] [v_n], [/mm] aber das kann ja nicht die Frage gewesen sein...
> aber wie schreib ich das
> hin und weise das richtig nach? Und wie zeige ich, dass
> [mm]v_{1}[/mm] bis [mm]v_{n-1}[/mm] dann wirklich eine Basis von V/U sind?
Momentchen: [mm]v_{1}[/mm] bis [mm]v_{n-1}[/mm] sind ganz gewiß keine Basis von V/U. Denn die Elemente von V/U sind ja Äquivalenzklassen.
Nachweisen solltest Du also, daß [mm] ([v_1],...,[v_{n-1}]) [/mm] eine Basis von V/U ist.
Da Du aus der Vorlesung offensichtlich schon weißt, daß die Dimension von V/U hier =n-1 ist, ist die lineare Unabhängigkeit der n-1 Restklassen zu zeigen.
Du mußt also zeigen, daß die triviale Linearkombination die einzige ist, mit welcher Du die Null (des V/U) erzeugen kannst.
Gruß v. Angela
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