Basis vom Vektorraum bestimmen < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:42 Mo 17.11.2008 | | Autor: | schnuri |
| Aufgabe | Geben Sie für den folgenden Vektorraum eine Basis an:
W = { f [mm] \in Abb(\IR,\IR) [/mm] | f(x) = 0 für alle bis auf endlich viele x [mm] \in \IR [/mm] }
(Ist das wirklich ein Untervektorraum von [mm] Abb(\IR,\IR)?) [/mm] |
Wegen dem letzten Hinweis würde ich noch schnell prüfen, ob dies tatsächlich ein UVR ist.
1. das Nullelement ist drin laut Voraussetzung f(x) = 0
2. Abgeschlossenheit bzgl. der Addition:
Seien f,g [mm] \in [/mm] W
zu zeigen: f+g [mm] \in [/mm] W [mm] \Rightarrow [/mm] (f+g)(x) = 0 für alle bis auf endlich viele x [mm] \in \IR
[/mm]
wie kann ich das für beliebige, mir unbekannte Funktionen machen?
3. Abgeschlossenheit bzgl. der skalaren Multiplikation:
Seien f [mm] \in [/mm] W und [mm] \lambda \in \IR
[/mm]
zu zeigen: [mm] \lambda*f \in [/mm] W
Hier das gleiche Problem wie bei 2.
Dann bei der Bestimmung der Basis:
Es gibt zwar endlich viele x, die nicht auf die 0 abbilden, aber es kann durchaus unendlich viele Funktionen in W geben, oder? Dann wäre das eine unendliche Basis? Gibt es sowas?
Kann mir jemand einen Hinweis geben?
Danke und Gruß
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:00 Mo 17.11.2008 | | Autor: | fred97 |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Geben Sie für den folgenden Vektorraum eine Basis an:
> W = { f [mm]\in Abb(\IR,\IR)[/mm] | f(x) = 0 für alle bis auf
> endlich viele x [mm]\in \IR[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}
> (Ist das wirklich ein Untervektorraum von [mm]Abb(\IR,\IR)?)[/mm]
> Wegen dem letzten Hinweis würde ich noch schnell prüfen,
> ob dies tatsächlich ein UVR ist.
>
> 1. das Nullelement ist drin laut Voraussetzung f(x) = 0
> 2. Abgeschlossenheit bzgl. der Addition:
>
> Seien f,g [mm]\in[/mm] W
> zu zeigen: f+g [mm]\in[/mm] W [mm]\Rightarrow[/mm] (f+g)(x) = 0 für alle bis
> auf endlich viele x [mm]\in \IR[/mm]
>
> wie kann ich das für beliebige, mir unbekannte Funktionen
> machen?
Es ex. endliche Teilmengen [mm] M_f [/mm] und [mm] M_g [/mm] von [mm] \IR [/mm] mit
f(x) = 0 für jedes x [mm] \in \IR [/mm] \ [mm] M_f
[/mm]
und
g(x) = 0 für jedes x [mm] \in \IR [/mm] \ [mm] M_g
[/mm]
Dann ist [mm] M_f \cup M_g [/mm] endlich und (f+g)(x) = 0 für jedes x [mm] \in \IR [/mm] \ [mm] (M_f \cup M_g).
[/mm]
>
> 3. Abgeschlossenheit bzgl. der skalaren Multiplikation:
>
> Seien f [mm]\in[/mm] W und [mm]\lambda \in \IR[/mm]
> zu zeigen: [mm]\lambda*f \in[/mm]
ähnlich wie oben
> W
>
> Hier das gleiche Problem wie bei 2.
>
>
> Dann bei der Bestimmung der Basis:
> Es gibt zwar endlich viele x, die nicht auf die 0
> abbilden, aber es kann durchaus unendlich viele Funktionen
> in W geben, oder? Dann wäre das eine unendliche Basis? Gibt
> es sowas?
Jawoll. Betrachte mal für a [mm] \in \IR
[/mm]
[mm] f_a(x) [/mm] = 0 für x [mm] \not= [/mm] a und [mm] f_a(a) [/mm] = 1
Kriegst Du jetzt eine Basis zusammen ?
FRED
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> Kann mir jemand einen Hinweis geben?
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> Danke und Gruß
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:18 Mi 19.11.2008 | | Autor: | schnuri |
Hi,
ich verstehe es nicht. Ich habe folgende Lösung gefunden:
Basis W = $ [mm] \{ f_r \in W : f_r(x) = \delta_{xr} \} [/mm] $, wobei [mm] \delta [/mm] das Kronecker Symbol ist:
$ [mm] \delta_{xr} [/mm] := [mm] \begin{cases} 1, & \mbox{für } x = r \\ 0, & \mbox{sonst} \end{cases} [/mm] $
Dann würden ja alle Funktionen mit der Eigenschaft (alle bis auf endlich viele bilden auf die Null ab) nur entweder auf die 1 oder auf die 0 abbilden? Warum? Die Funktionen können doch durchaus auf was anderes abbilden? Oder ist die 1 irgendwie symbolisch gemeint?
Danke!
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> Hi,
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> ich verstehe es nicht. Ich habe folgende Lösung gefunden:
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> Basis W = [mm]\{ f_r \in W : f_r(x) = \delta_{xr} \} [/mm], wobei
> [mm]\delta[/mm] das Kronecker Symbol ist:
>
> [mm]\delta_{xr} := \begin{cases} 1, & \mbox{für } x = r \\ 0, & \mbox{sonst} \end{cases}[/mm]
>
> Dann würden ja alle Funktionen mit der Eigenschaft (alle
> bis auf endlich viele bilden auf die Null ab) nur entweder
> auf die 1 oder auf die 0 abbilden? Warum? Die Funktionen
> können doch durchaus auf was anderes abbilden? Oder ist die
> 1 irgendwie symbolisch gemeint?
Hallo,
Du bastelst Dir Deine Funktionen ja aus Linearkombinationen der Basisvektoren zurecht.
Nehmen wir z.B. die Funktion g,
welche überall 0 ist außer an den Stellen [mm] g(\wurzel{2})=5, [/mm] g(0)=4711 und [mm] g(12)=\pi.
[/mm]
Es ist [mm] g=5*f_{\wurzel{2}} [/mm] + [mm] 4711*f_{4711} [/mm] + [mm] \pi f_{12}.
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:04 Mi 19.11.2008 | | Autor: | schnuri |
Aahhhh, das ist ja ein toller Trick :))))
Nur noch zum Verständnis: Heisst das, das in die Basis alle die Funktionen reinkommen, die nicht auf Null abbilden? Deswegen auch die Unterscheidung: Wenn es nicht auf 0 abbildet, dann kommt 1*f in die Basis, ansonsten 0*f (=0, also nicht in die Basis)?
Sorry, wenn ich mich blöd anstelle, hatte so einen ähnlichen Aufgabentyp noch nicht!
Vielen Dank!!
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> Nur noch zum Verständnis: Heisst das, das in die Basis alle
> die Funktionen reinkommen, die nicht auf Null abbilden?
Hallo,
nein, da kommen alle Funktionen rein, die ganz [mm] \IR [/mm] auf die 0 abbilden - mit Ausnahme einer einzigen Stelle, die auf die 1 abgebildet wird.
Für jede reelle Zahl r gibt es eine Funktion [mm] f_r [/mm] mit [mm] f_r(x=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x\not=r \mbox{} \\ 1, & \mbox{für } x=r \mbox{} \end{cases},
[/mm]
und aus diesen Funktionen dann man dann per linearkombination jede der betrachteten Funktionen bilden.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 06:50 Do 20.11.2008 | | Autor: | fred97 |
> Hi,
>
> ich verstehe es nicht. Ich habe folgende Lösung gefunden:
>
> Basis W = [mm]\{ f_r \in W : f_r(x) = \delta_{xr} \} [/mm], wobei
> [mm]\delta[/mm] das Kronecker Symbol ist:
>
> [mm]\delta_{xr} := \begin{cases} 1, & \mbox{für } x = r \\ 0, & \mbox{sonst} \end{cases}[/mm]
Hab ich Dir eine andere Basis genannt ?????
FRED
>
> Dann würden ja alle Funktionen mit der Eigenschaft (alle
> bis auf endlich viele bilden auf die Null ab) nur entweder
> auf die 1 oder auf die 0 abbilden? Warum? Die Funktionen
> können doch durchaus auf was anderes abbilden? Oder ist die
> 1 irgendwie symbolisch gemeint?
>
> Danke!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:39 Do 20.11.2008 | | Autor: | schnuri |
Hi Fred,
doch, du hast genau den gleichen Hinweis gegeben! Ich hatte es nur nicht verstanden! Sorry!
Mir leuchtete einfach nicht ein, wieso die Funktionen nur 1 oder 0 als Wert ausgeben sollen, es können ja auch andere Funktionswerte rauskommen!! Aber klar: es ist sowas wie die kanonische Basis, alle anderen Werte sind einfach ein Vielfaches von der 1! Und dieser Gedankengang hat mir gefehlt. Aber jetzt ist es angekommen :)
Letztendlich supersimpel...
Ich danke euch beiden!!!!
Viele Grüße,
schnuri
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