Basis vom Untervektorraum < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:10 Di 16.03.2010 | | Autor: | ChopSuey |
| Aufgabe | Sei $\ U [mm] \subseteq \IR^4 [/mm] $ ein Untervektorraum, für den gilt:
$\ [mm] x_1 [/mm] + [mm] x_2 [/mm] + [mm] x_3 [/mm] = 0 $
$\ [mm] x_2 [/mm] - [mm] x_4 [/mm] = 0 $
Finden Sie eine Basis von $\ U $. |
Hallo,
diese Aufgabe kam heute in einer Klausur dran. Ich bin mir nicht zu 100% sicher, ob sie richtig wiedergegeben ist, sollte aber im Großen und Ganzen eigentlich passen.
Nur bin ich an dieser verhältnismäßigen Einfachen Aufgabe leider gescheitert.
Wie bestimmte ich denn hier so eine Basis von $\ U $?
Würde mich freuen, wenn mir jemand helfen kann.
Grüße
ChopSuey
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:20 Di 16.03.2010 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]\ U \subseteq \IR^4[/mm] ein Untervektorraum, für den
> gilt:
>
> [mm]\ x_1 + x_2 + x_3 = 0[/mm]
> [mm]\ x_2 - x_4 = 0[/mm]
>
> Finden Sie eine Basis von [mm]\ U [/mm].
> Hallo,
>
> diese Aufgabe kam heute in einer Klausur dran. Ich bin mir
> nicht zu 100% sicher, ob sie richtig wiedergegeben ist,
> sollte aber im Großen und Ganzen eigentlich passen.
>
> Nur bin ich an dieser verhältnismäßigen Einfachen
> Aufgabe leider gescheitert.
> Wie bestimmte ich denn hier so eine Basis von [mm]\ U [/mm]?
[mm]\ x_1 + x_2 + x_3 = 0[/mm]
[mm]\ x_2 - x_4 = 0[/mm]
1. Gl. -2.Gl. liefert
[mm] x_1 [/mm] = [mm] -x_3-x_4
[/mm]
[mm] x_2 [/mm] = [mm] x_4
[/mm]
Also
[mm] x_1 [/mm] = [mm] -x_3-x_4
[/mm]
[mm] x_2 [/mm] = [mm] x_4
[/mm]
[mm] x_3=x_3
[/mm]
[mm] x_4 [/mm] = [mm] x_4
[/mm]
[mm] x_3 [/mm] und [mm] x_4 [/mm] sind also frei wählbar, somit ist
$U = [mm] \{ t\vektor{-1 \\ 0 \\ 1\\0}+s \vektor{-1\\ 1\\0 \\ 1}: t,s \in \IR \}$
[/mm]
Kannst Du nun eine basis von U bestimmen ?
FRED
>
> Würde mich freuen, wenn mir jemand helfen kann.
>
> Grüße
> ChopSuey
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:26 Di 16.03.2010 | | Autor: | ChopSuey |
Hallo Fred,
Danke für Deine schnelle Hilfe.
$ U = [mm] \{ t\vektor{-1 \\ 0 \\ 1\\0}+s \vektor{-1\\ 1\\0 \\ 1}: t,s \in \IR \} [/mm] = [mm] span(\vektor{-1 \\ 0 \\ 1\\0},\vektor{-1\\ 1\\0 \\ 1}\)) [/mm] $
Basis von $\ U $:
$\ [mm] \vmat{ -1 & 0 & 1 & 0 \\ -1 & 1 & 0 & 1}$
[/mm]
$\ [mm] \vmat{ -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1}$
[/mm]
Also bilden $\ [mm] \vektor{-1 \\ 0 \\ 1\\0} [/mm] , [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 1\\1} [/mm] $ eine Basis von $\ U $.
Ist das richtig?
Grüße
ChopSuey
|
|
|
| |
|
Hallo ChopSuey,
> Hallo Fred,
>
> Danke für Deine schnelle Hilfe.
>
> [mm]U = \{ t\vektor{-1 \\ 0 \\ 1\\0}+s \vektor{-1\\ 1\\0 \\ 1}: t,s \in \IR \} = span(\vektor{-1 \\ 0 \\ 1\\0},\vektor{-1\\ 1\\0 \\ 1}\))[/mm]
>
> Basis von [mm]\ U [/mm]:
>
> [mm]\ \vmat{ -1 & 0 & 1 & 0 \\ -1 & 1 & 0 & 1}[/mm]
>
> [mm]\ \vmat{ -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1}[/mm]
Das kannst du dir sparen, denn zwei Vektoren sind genau dann linear (un)abhängig, wenn sie (keine) Vielfachen voneinander sind.
Erzeugend sind sie, Vielfache voneinander offensichtlich nicht, vgl. 2. Komponente, also bilden sie eine Basis.
>
> Also bilden [mm]\ \vektor{-1 \\ 0 \\ 1\\0} , \vektor{0 \\ 1 \\ 1\\1}[/mm]
> eine Basis von [mm]\ U [/mm].
>
> Ist das richtig? ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Klar!
>
> Grüße
> ChopSuey
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:30 Di 16.03.2010 | | Autor: | ChopSuey |
Hallo schachuzipus,
vielen Dank auch! 
Grüße
ChopSuey
|
|
|
|
