Basis v. Quotientenvektorraum < Relationen < Diskrete Mathematik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:15 Do 07.05.2009 | | Autor: | math101 |
| Aufgabe | | Sei V ein K-Vektorraum, U [mm] \subset [/mm] V ein Untervektorraum und [mm] x_1,...,x_m\in [/mm] U eine Basis von U. Wir ergänzen dies zu einemr Basis [mm] x_1,...,x_n\in [/mm] V. Zeigen Sie, dass die Restklassen [mm] [x_{m+1}], [x_{m+2}],...,[x_n]\in [/mm] V [mm] \backslash [/mm] U eine Basis ist. |
Halloo, Zusammen!!
So hab ich angefangen:
[mm] [x_{m+1}], [x_{m+2}],...,[x_n]\in [/mm] V [mm] \backslash [/mm] U Basis <=> Erzeugendersystem und linear unabhängig.
"Erzeugendensystem":
Sei [mm] x\in [/mm] V [mm] \backslash [/mm] U, d.h [mm] [x]\in [/mm] V [mm] \backslash [/mm] U, dann
[mm] x=\lambda_1[x_{m+1}]+\lambda_2 [x_{m+2}]+...+\lambda_{n-m}[x_n]
[/mm]
[mm] =[\lambda_1 x_{m+1}+\lambda_2 x_{m+2}+...+\lambda_{n-m} x_n]
[/mm]
hier muss ich irgendwie Bezuf auf die Voraussetzung nehmen, dass [mm] x_1,...,x_m \in [/mm] U und [mm] x_1,....,x_m,x_{m+1},...,x_n \in [/mm] V Basen sind, also linear unabhängig und Erzeugendensystem.
Könnte mir jemand einen Kleinen Typ geben?
Danke
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:16 Fr 08.05.2009 | | Autor: | SEcki |
> [mm][x_{m+1}], [x_{m+2}],...,[x_n]\in[/mm] V [mm]\backslash[/mm] U Basis <=>
Eher [m]V/U[/m], oder?
> Erzeugendersystem und linear unabhängig.
> "Erzeugendensystem":
> Sei [mm]x\in[/mm] V [mm]\backslash[/mm] U, d.h [mm][x]\in[/mm] V [mm]\backslash[/mm] U, dann
> [mm]x=\lambda_1[x_{m+1}]+\lambda_2 [x_{m+2}]+...+\lambda_{n-m}[x_n][/mm]
>
> [mm]=[\lambda_1 x_{m+1}+\lambda_2 x_{m+2}+...+\lambda_{n-m} x_n][/mm]
Aber wieso stimmt das?
> hier muss ich irgendwie Bezuf auf die Voraussetzung nehmen,
> dass [mm]x_1,...,x_m \in[/mm] U und [mm]x_1,....,x_m,x_{m+1},...,x_n \in[/mm]
> V Basen sind, also linear unabhängig und
> Erzeugendensystem.
Irgendwie schon!
> Könnte mir jemand einen Kleinen Typ geben?
Man muss sich eben genau daran halten, wie Quotientenvektorraum defineirt ist! Dann erhält man schnell das Erz.system und auch ziemlich shcnell das lin. unabhängig.
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:01 Sa 09.05.2009 | | Autor: | math101 |
Hallo!!!!Danke dir für deine Antvort!!!
Hier ist mein neuer Einsatz:
Da [mm] =V [/mm] eine Basis von V,dann
[mm] x_m=\lambda_{m+1}(x_{m+1}+U)+...+\lambda_{n}(x_n+U)=\lambda_{m+1} x_{m+1}+\lambda_{m+1}U+....+\lambda_n x_n+\lambda_n [/mm] U= [mm] (\lambda_{m+1} x_{m+1}+...+\lambda_n x_n)+(\lambda_{m+1}U+...+\lambda_n [/mm] U),
mit [mm] \lambda_{m+1}=\lambda_{m+2}=...=\lambda_n=0 [/mm] und weil U=ker(V)
=> [mm] [x_{m+1},....,[x_n] [/mm] sind linear unabhängig
[mm] [x_{m+1},....,[x_n] [/mm] hat n-m Elemente das entspricht dim(V \ U)
das heißt aber auch das es die Basis von V\ U.
Ist es so richtig?
Gruß
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> Ist es so richtig?
Hallo,
nein, das ist nicht richtig, das ist chaotisch.
> Hier ist mein neuer Einsatz:
> Da [mm]=V[/mm] eine Basis von
> V,dann
> [mm][mm] x_m=\lambda_{m+1}(x_{m+1}+U)+...+\lambda_{n}(x_n+U)
[/mm]
Das ist doch Kokolores: auf der linken Seite der Gleichung hast Du ein Element aus V stehen, auf der rechten Seite die Summe von restklassen, also eine Restklasse.
Das kann nicht gleich sein.
Schade, daß Du nicht ein bißchen andeutest, was du Dir zu dieser Gleichung gedacht hast, dann könnte man nämlihc ein bißchen aufräumen und zurechtrücken.
Auch ist mir nicht recht klar, was Du mit der Gleichung bezweckst.
Weiter
> [mm] \lambda_{m+1}(x_{m+1}+U)+...+\lambda_{n}(x_n+U)=\lambda_{m+1} x_{m+1}+\lambda_{m+1}U+....+\lambda_n x_n+\lambda_n [/mm] $ U
Diese Umwandlung entspricht nicht den Definitionen der Verknüpfungen auf V / U. Du solltest nochmal nachschlagen.
> U=ker(V)
Was soll denn das sein? Ich kenne den Kern von Abbildungen, auch den kern von Matrizen, aber der Kern von Vektorräumen kam in meiner Vorlesung nicht vor. Bei Euch?
> [mm][x_{m+1},....,[x_n][/mm] hat n-m Elemente das entspricht dim(V
> \ U)
> das heißt aber auch das es die Basis von V\ U.
Wenn in der Vorlesung tätsächlich schon dran war, daß man die Dimension von V/U als Differenz der Dimensionen von V und U erhält, dann reicht in der Tat für den Nachweis der Basiseigenschaft der Nachweis der linearen Unabhängigkeit von [mm] \{[x_{m+1}],....,[x_n]\}. [/mm] Andernfalls wäre "Erzeugendensystem" auch noch zu zeigen.
Wenn man die lineare Unabhängigkeit irgendwelcher vektoren zeigen will, bedient man sich meist mit großem Gewinn zunächst mal der Definition.
Willst Du die lineare Unabhängigkeit von [mm] \{[x_{m+1}],....,[x_n]\} [/mm] zeigen, so mußt Du zeigen, daß aus
[mm] \lambda_{m+1}[x_{m+1}]+ [/mm] ... + [mm] \lambda_n[x_n] [/mm] =Null folgt, daß [mm] \lambda_{m+1}=...= \lambda_n [/mm] =0.
Zunächst einmal muß man sich gedanken machen, was mit "Null" gemeint ist: da es um Unabhängigkeit im V/U geht, ist natürlich die Null in V/U gemeint.
Was ist die Null in V/U? Das neutrale Element bzgl. + in V/U?
Schau dir vor oder beim rechnen nochmal die Verknüpfungen in V/U an, und auch, wie man erkennt, daß zwei Restklassen gleich sind.
Es kommt darauf an, daß Du nicht einfach irgendwas tust, von dem Du hoffst, daß es anderen palusibel erscheint. Sondern Du mußt ganz eng mit den Definitionen arbeiten. Nur so kann es gelingen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:52 Sa 09.05.2009 | | Autor: | math101 |
Hallo!!
Vielen dank für deine Hilfe!!!
Wir hatten wirklich schon die Demensionsformel von V\ U:
dim[V\ U)=dim V - dim U. Deswegen bin ich davon ausgegangen, dass dim(V\ U)=n-m,weil V ja die Basis [mm] [/mm] hat, die durch die Ergänzung von der Basis von U [mm] [/mm] erzäugt wurde.
Deswegen [mm] <[x_{m+1}],...,[x_n]> [/mm] die Basis von V\ U. man muss aber noch zeigen, dass dies linear unabhängig ist.
0 in V\ U, also V modulo U, sind alle Vektoren aus V, die modulo U den Rest 0 ergeben, also eigentlich selber die Vektoren aus U oder Vielfache davon. Oder? Wir haben die 0 in V\ U als 0=[0]=0+u=u , u [mm] \in [/mm] U definiert, dann
[mm] [0]=0+U=\lambda_{m+1}[x_{m+1}]+...+\lambda_n[x_n]
[/mm]
[mm] =\lambda_{m+1}( x_{m+1}+U)+...+\lambda_n(x_n+U), [/mm] ich hab das so gemacht, weil wir die Restklassen von [mm] x\in [/mm] V als die Menge x+U=[x]={x+y| [mm] y\in [/mm] U} definiert, andere Definition habe ich nicht.
Kann ich dann daraus folgern, dass [mm] <[x_{m+1}],...,[x_n]> [/mm] linear unabhängig ist??
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> Wir hatten wirklich schon die Demensionsformel von V\ U:
> dim[V\ U)=dim V - dim U. Deswegen bin ich davon
> ausgegangen, dass dim(V\ U)=n-m,weil V ja die Basis
> [mm][/mm] hat, die durch die Ergänzung
> von der Basis von U [mm][/mm] erzäugt wurde.
Hallo,
ja, wenn Ihr das hattet, ist tatsächlich nur noch die lineare Unabhängigkeit zu zeigen.
> Deswegen [mm]<[x_{m+1}],...,[x_n]>[/mm] die Basis von V\ U. man muss
> aber noch zeigen, dass dies linear unabhängig ist.
> 0 in V\ U, also V modulo U, sind alle Vektoren aus V, die
> modulo U den Rest 0 ergeben, also eigentlich selber die
> Vektoren aus U oder Vielfache davon. Oder?
Es geht aufwärts!
(Vielfache von Vektoren aus U sind übrigens auch wieder in U, und Dir sollte sofort ein Grund einfallen, warum das so ist.)
Jedenfalls: die Null in V/U ist U=[0]=0+U.
> [mm][0]=0+U=\lambda_{m+1}[x_{m+1}]+...+\lambda_n[x_n][/mm]
> [mm]=\lambda_{m+1}( x_{m+1}+U)+...+\lambda_n(x_n+U),[/mm] ich
> hab das so gemacht, weil wir die Restklassen von [mm]x\in[/mm] V als
> die Menge [mm] x+U=[x]=\{x+y|y\in U\} [/mm] definiert, andere
> Definition habe ich nicht.
Die Sache nimmt Formen an.
Alles goldrichtig hingeschrieben bisher.
Du hast jetzt:
[mm] [0]=\lambda_{m+1}[x_{m+1}]+...+\lambda_n[x_n]
[/mm]
==> [mm] 0+U=\lambda_{m+1}( x_{m+1}+U)+...+\lambda_n(x_n+U)
[/mm]
> Kann ich dann daraus folgern, dass [mm]<[x_{m+1}],...,[x_n]>[/mm]
> linear unabhängig ist??
Ja, bloß man muß zuvor noch ein bißchen etwas tun.
Du mußt Dir wie gesagt die verknüpfungen anschauen: es ist doch (u+U)+(v+U):=(u+v)+U und [mm] \lambda(u+U)=\lambda_u+U.
[/mm]
Also folgt
[mm] 0+U=(\lambda_{m+1}x_{m+1}+...+\lambda_nx_n)+U
[/mm]
Was folgt aus der Gleichheit der rechten und linken Seite? Ihr habt dazu bestimmt was aufgeschrieben: u+U=w+U <==> ???
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:26 Sa 09.05.2009 | | Autor: | math101 |
[mm] >0+U=(\lambda_{m+1}x_{m+1}+...+\lambda_nx_n)+U
[/mm]
>
> Was folgt aus der Gleichheit der rechten und linken Seite?
> Ihr habt dazu bestimmt was aufgeschrieben: u+U=w+U <==>
ich galube das wäre dann [u]=[w]<=>u=w
deswegen:
[mm] 0=(\lambda_{m+1}x_{m+1}+...+\lambda_nx_n) [/mm] <=> [mm] \lambda_{m+1}=...=\lambda_n=0, [/mm] da [mm] <[x_{m+1}],...,[x_n]> [/mm] V\ U erzeugt.
Also ist dann [mm] <[x_{m+1}],...,[x_n]> [/mm] eine Basis von V\ U?
Vielen vielen Dank :)))
Gruß
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> [mm]>0+U=(\lambda_{m+1}x_{m+1}+...+\lambda_nx_n)+U[/mm]
> >
> > Was folgt aus der Gleichheit der rechten und linken Seite?
> > Ihr habt dazu bestimmt was aufgeschrieben: u+U=w+U <==>
> ich galube das wäre dann =[w]<=>u=w
Hallo,
nein.
Es geht hier auch nicht um "glauben".
Man muß (im Idealfall) die Sachen wissen, und wenn nicht (im Regelfall), dann eben nachschlagen.
Lieber fünfmal zu viel nachlesen, als einmal zu wenig.
Ich hätte vermutlich keine einzige Hausübung ohne engen Körperkontakt zu meinem Skript bearbeiten können.
(Daß Du schreibst [u]=[w]<=>u=w zeigt auch, daß Du die Restklassen nicht richtig verstanden hast. Du mußt das nacharbeiten.
Natürlich gilt u=w ==> [u]=[w], aber die Umkehrung stimmt nicht )
> deswegen:
Nein, nicht deswegen. Der Grund ist ein anderer, und den brauchst Du für eine schlüssige Argumentation.
> [mm]0=(\lambda_{m+1}x_{m+1}+...+\lambda_nx_n)[/mm] <=>
> [mm]\lambda_{m+1}=...=\lambda_n=0,[/mm] da [mm]<[x_{m+1}],...,[x_n]>[/mm] V\
> U erzeugt.
??? Das wissen wir doch noch gar nicht.
Du brauchst noch einen gescheiten Grund, warum aus [mm]0=(\lambda_{m+1}x_{m+1}+...+\lambda_nx_n)[/mm] folgt, daß die Lambdas alle =0 sind.
Bedenke, daß die [mm] (x_1,...,x_n) [/mm] eine Basis von V ist...
Wenn du begründet hast, warum die Lambdas =0 sind, hast Du gezeigt, daß aus [mm] 0=\lambda_{m+1}[x_{m+1}]+ ...+\lambda_n[x-n] [/mm] folgt, daß [mm] \lambda_{m+1}=...=\lambda_n=0.
[/mm]
Damit wäre dann die lineare Unabhängigkeit der n-m Restklassen gezeigt, aus Dimensionsgründen folgt, daß es eine Basis von V/U ist.
Die Lücken müssen aber noch gefüllt werden, sonst gewinnst Du keinen Blumentopf.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:07 Sa 09.05.2009 | | Autor: | math101 |
Achso ich hab es gefunden:
wenn u+U=w+U <==> [mm] u-w\in [/mm] U,dann
[mm] 0+U=(\lambda_{m+1}x_{m+1}+...+\lambda_nx_n)+U [/mm] <==>
[mm] 0-(\lambda_{m+1}x_{m+1}+...+\lambda_nx_n) \in [/mm] U <==>
[mm] (\lambda_{m+1}x_{m+1}+...+\lambda_nx_n) \in [/mm] U =>
[mm] (\lambda_{m+1}x_{m+1}+...+\lambda_nx_n) [/mm] = [mm] \lambda_1 x_1+...+\lambda_m x_m [/mm] (weil [mm] [/mm] die Basis von U ist)
<==> [mm] \lambda_{m+1}x_{m+1}+...+\lambda_nx_n+(-\lambda_1)x_1+...+(-\lambda_m)x_m=0, [/mm] da die [mm] [/mm] die Basis von V ist
=> [mm] -\lambda_1=...=-\lambda_m=\lambda_{m+1}=...=\lambda_n=0
[/mm]
Somit für [mm] [0]=\lambda_{m+1}[x_{m+1}]+...+\lambda_n[x_n] [/mm] gilt [mm] \lambda_{m+1}=...=\lambda_n=0
[/mm]
=> Lineare Unabhängigkeit. oder?
DANKE
GrUß
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> Achso ich hab es gefunden:
> wenn u+U=w+U <==> [mm]u-w\in[/mm] U,dann
> [mm]0+U=(\lambda_{m+1}x_{m+1}+...+\lambda_nx_n)+U[/mm] <==>
> [mm]0-(\lambda_{m+1}x_{m+1}+...+\lambda_nx_n) \in[/mm] U <==>
> [mm](\lambda_{m+1}x_{m+1}+...+\lambda_nx_n) \in[/mm] U =>
es gibt [mm] \lambda_1,...,\lambda_n [/mm] mit
> [mm](\lambda_{m+1}x_{m+1}+...+\lambda_nx_n)[/mm] = [mm]\lambda_1 x_1+...+\lambda_m x_m[/mm]
> (weil [mm][/mm] die Basis von U ist)
> <==>
> [mm]\lambda_{m+1}x_{m+1}+...+\lambda_nx_n+(-\lambda_1)x_1+...+(-\lambda_m)x_m=0,[/mm]
> da die [mm][/mm] die Basis von V ist
> => [mm]-\lambda_1=...=-\lambda_m=\lambda_{m+1}=...=\lambda_n=0[/mm]
> Somit für [mm][0]=\lambda_{m+1}[x_{m+1}]+...+\lambda_n[x_n][/mm]
> gilt [mm]\lambda_{m+1}=...=\lambda_n=0[/mm]
> => Lineare Unabhängigkeit. oder?
Ja, so geht das.
Ich hoffe, Du hast gemerkt, daß es gar nicht mehr schwer oder geheimnisvoll ist, wenn man die amtlichen Definitionen verwendet.
Gruß v. Angela
> DANKE
> GrUß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 Sa 09.05.2009 | | Autor: | math101 |
[mm] DANKE^{1000000}
[/mm]
:)))))))))))
Gruß
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