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| Aufgabe | 1. Betrachten Sie den Unterraum des [mm] R^3, [/mm] der durch die Vektoren
[mm] u_1=\vektor{0\\ 1\\1}
[/mm]
[mm] u_2=\vektor{1 \\ -1\\1}
[/mm]
[mm] u_3=\vektor{1\\ 1\\2}
[/mm]
aufgespannt wird.
ist [mm] {u_1 ,u_2 , u_3 } [/mm] eine basis von U? welche dimension hat U? ist [mm] {u_1 ,u_2 , u_3 } [/mm] eine basis de [mm] R^3?
[/mm]
2. Gegeben sei der Unterraum V des [mm] R^4 [/mm] der durch die vektoren
[mm] v_1=\vektor{1\\ 1\\0\\0}
[/mm]
[mm] v_2=\vektor{1\\ -1\\1\\1}
[/mm]
[mm] v_3=\vektor{-1\\ 0\\2\\1}
[/mm]
aufgespannt wird.
a) bestimmen die eine orthonormalbasis von V.
b)wie sieht die Fourier-Darstellung des vektors [mm] w=\vektor{0\\5\\0\\-1}
[/mm]
aus?
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hy
ich hätte eine frage zu meiner aufgabe:
[mm] u_1 ,u_2 [/mm] , [mm] u_3 [/mm] ist eine basis von U da sie linear unabhängig sind...
dimension k=3
so nun zu meiner frage; ist [mm] u_1 ,u_2 [/mm] , [mm] u_3 [/mm] eine basis des [mm] R^3? [/mm] (wie überprüfe ich das?)
zu 2.
a)
[mm] y_1=\bruch{1}{\wurzel{2}}*\vektor{1\\1\\0\\0}
[/mm]
[mm] y_2=\bruch{1}{\wurzel{4}}*\vektor{1\\-1\\1\\1}
[/mm]
[mm] y_3=\bruch{1}{\wurzel{18}}*\vektor{-2\\2\\2\\1}
[/mm]
b)
[mm] w=\vektor{0\\5\\0\\-1}
[/mm]
[mm] w=\lambda_1*y_1+\lambda_2*y_2+\lambda_3*y_3
[/mm]
[mm] \lambda_1=w*y_1=\bruch{5}{\wurzel{2}}
[/mm]
[mm] \lambda_2=w*y_2=\bruch{-6}{\wurzel{4}}
[/mm]
[mm] \lambda_3=w*y_3=\bruch{9}{\wurzel{18}}
[/mm]
meine frage zum 2. bsp ist; ich hab jetzt die [mm] \lambda [/mm] ausgerechnet aber wie sieht jetzt die fourier darstellung aus?
in meinem skriptum steht
[mm] \vec{x}=\summe_{i=1}^{k} \lambda_i \vec{x}^{i} [/mm] mit den Fourier Koeffizienten [mm] \lambda_i=<\vec{x},\vec{x}^{i}>
[/mm]
weiß aber nicht was das genau bedeuten soll?
VIELEN DANK an alle die mir helfen
mfg
freezer
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Hi, Hellfreezer,
> 1. Betrachten Sie den Unterraum des [mm]R^3,[/mm] der durch die
> Vektoren
> [mm]u_1=\vektor{0\\ 1\\1}[/mm] [mm]u_2=\vektor{1 \\ -1\\1}[/mm] [mm]u_3=\vektor{1\\ 1\\2}[/mm]
> aufgespannt wird.
>
> ist [mm]{u_1 ,u_2 , u_3 }[/mm] eine basis von U? welche dimension
> hat U? ist [mm]{u_1 ,u_2 , u_3 }[/mm] eine basis de [mm]R^3?[/mm]
>
>
> 2. Gegeben sei der Unterraum V des [mm]R^4[/mm] der durch die
> vektoren
>
> [mm]v_1=\vektor{1\\ 1\\0\\0}[/mm] [mm]v_2=\vektor{1\\ -1\\1\\1}[/mm] [mm]v_3=\vektor{-1\\ 0\\2\\1}[/mm]
> aufgespannt wird.
>
> a) bestimmen die eine orthonormalbasis von V.
> b)wie sieht die Fourier-Darstellung des vektors
> [mm]w=\vektor{0\\5\\0\\-1}[/mm]
> aus?
>
> hy
>
> ich hätte eine frage zu meiner aufgabe:
>
> [mm]u_1 ,u_2[/mm] , [mm]u_3[/mm] ist eine basis von U da sie linear
> unabhängig sind...
Stimmt! Hab's überprüft!
> dimension k=3
Logisch - bei 3 Vektoren! Der Unterraum ist also der [mm] \IR^{3} [/mm] selbst!
> so nun zu meiner frage; ist [mm]u_1 ,u_2[/mm] , [mm]u_3[/mm] eine basis des
> [mm]R^3?[/mm] (wie überprüfe ich das?)
Indem Du die Eigenschaften nachprüfst, die eine Basis des [mm] \IR^{3} [/mm] haben muss: Es müssen 3 Vektoren sein (sind's ja auch) und sie müssen linear unabhängig sein (sind sie ebenfalls). Ergo: Basis des [mm] \IR^{3}.
[/mm]
> zu 2.
> a)
> [mm]y_1=\bruch{1}{\wurzel{2}}*\vektor{1\\1\\0\\0}[/mm] [mm]y_2=\bruch{1}{\wurzel{4}}*\vektor{1\\-1\\1\\1}[/mm] [mm]y_3=\bruch{1}{\wurzel{18}}*\vektor{-2\\2\\2\\1}[/mm]
Hast Du auch nachgeprüft, ob die 3 gegebenen Vektoren linear unabhängig sind?
Übrigens stehen Deine Vektoren [mm] y_{2} [/mm] und [mm] y_{3} [/mm] nicht aufeinander senkrecht!
Ach ja, und: [mm] \wurzel{4} [/mm] = 2 (!)
> b)
> [mm]w=\vektor{0\\5\\0\\-1}[/mm]
> [mm]w=\lambda_1*y_1+\lambda_2*y_2+\lambda_3*y_3[/mm]
Nennen wir diese Gleichung der Einfachheit halber (***).
> [mm]\lambda_1=w*y_1=\bruch{5}{\wurzel{2}}[/mm]
> [mm]\lambda_2=w*y_2=\bruch{-6}{\wurzel{4}}[/mm]
[mm] Wieder:\wurzel{4} [/mm] = 2
> [mm]\lambda_3=w*y_3=\bruch{9}{\wurzel{18}}[/mm]
Und hier: [mm] \wurzel{18} [/mm] = [mm] 3*\wurzel{2}.
[/mm]
>
> meine frage zum 2. bsp ist; ich hab jetzt die [mm]\lambda[/mm]
> ausgerechnet aber wie sieht jetzt die fourier darstellung
> aus?
>
> in meinem skriptum steht
>
> [mm]\vec{x}=\summe_{i=1}^{k} \lambda_i \vec{x}^{i}[/mm] mit den
> Fourier Koeffizienten [mm]\lambda_i=<\vec{x},\vec{x}^{i}>[/mm]
>
> weiß aber nicht was das genau bedeuten soll?
Wenn Du die von Dir berechneten Skalare (die ich nicht nachgerechnet habe!) in (***) einsetzt, bist Du fertig!
mfG!
Zwerglein
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danke!
sind linear unabh.
[mm] w=\bruch{5}{\wurzel{2}}*y_1-3*y_2+\bruch{3*\wurzel{2}}{2}*y_3
[/mm]
die [mm] y_1, y_2 [/mm] und [mm] y_3 [/mm] soll ich auch noch einsetzen oder? (ist mir jetzt zuviel arbeit...)
bei einem vorgerechnetem übungsbsp in meinen skriptum stehen auch nur 2 von 3 vektoren senkrecht aufeinander....???
lt. meinem skriptum heißt es "orthogonalsyst. ....wenn alle vektoren paarweise zueinander orthogonal sind."
mit den [mm] y_1 y_2 [/mm] und [mm] y_3 [/mm] bilde ich eine orthonormalbasis bzw mit dem gram-schmidt´schen orthogonalisierungsverfahren...das ist doch zweck dieser rechnung aus einem nicht-orthogonalen syst eines zu machen, oder?
soweit ich es verstehe macht es nichts aus dass nur zwei meiner drei vektoren senkrecht zueinander sind...
danke
mfg
freezer
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Hi, Hellfreezer,
> danke!
>
> sind linear unabh.
>
> [mm]w=\bruch{5}{\wurzel{2}}*y_1-3*y_2+\bruch{3*\wurzel{2}}{2}*y_3[/mm]
>
> die [mm]y_1, y_2[/mm] und [mm]y_3[/mm] soll ich auch noch einsetzen oder?
> (ist mir jetzt zuviel arbeit...)
Das kannst Du ruhig so stehen lassen!
> bei einem vorgerechnetem übungsbsp in meinen skriptum
> stehen auch nur 2 von 3 vektoren senkrecht
> aufeinander....???
Die Fragezeichen kann ich da nur wiederholen: ???
> lt. meinem skriptum heißt es "orthogonalsyst. ....wenn alle
> vektoren paarweise zueinander orthogonal sind."
Eben! "Alle" stehen "paarweise" aufeinander senkrecht. Das heißt, dass jeweils (!) zwei davon aufeinander senkrecht stehen: [mm] y_{1} [/mm] auf [mm] y_{2}, y_{2} [/mm] auf [mm] y_{3} [/mm] und [mm] y_{3} [/mm] auf [mm] y_{1} [/mm] !!
> mit den [mm]y_1 y_2[/mm] und [mm]y_3[/mm] bilde ich eine orthonormalbasis bzw
> mit dem gram-schmidt´schen
> orthogonalisierungsverfahren...das ist doch zweck dieser
> rechnung aus einem nicht-orthogonalen syst eines zu machen,
> oder?
>
> soweit ich es verstehe macht es nichts aus dass nur zwei
> meiner drei vektoren senkrecht zueinander sind...
Das sehe ich anders!
mfG!
Zwerglein
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mein skriptum-bsp
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:55 Sa 28.10.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
in deinem Bsp stehen alle 3 paarweise senkrecht 1 auf 2 und 3, 2 auf 3
Gruss leduart
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in meinem bsp steht [mm] v_1 [/mm] senkrecht auf [mm] v_2 [/mm] und [mm] v_3, [/mm] das wars...
[mm] v_1*v_2=0
[/mm]
[mm] v_1*v_3=0
[/mm]
[mm] v_2*v_1=0
[/mm]
[mm] v_2*v_3=2
[/mm]
[mm] v_3*v_1=-1
[/mm]
[mm] v_3*v_2=2
[/mm]
in dem skripten-bsp sind von den drei vektoren nur der erste vektor mit dem dritten senkrecht zueinander....
meine frage: dient das gram-schmidt´sche orthogonalisierungsverfahren nicht dazu, aus den nicht orthogonalen vektoren ein orthogonalsystem zu machen?
danke
mfg
freezer
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:17 Sa 28.10.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
In dem Beispiel im Anhang gilt v2*v3= k1*k2*(1-2+1)=0
in deinem Bsp aus dem 1. post sind nur 2 senkrecht.
d.h. du hast recht, du brauchst das Gramm Schnittsche Verahren wie in deinem Anhang um den dritten Basisvektor noch orthogonal herzustellen. Im Gegensatz zu dem Bsp. in der Vorlesung hast du Glück und 2 sind schon von alleine senkrecht.
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:32 Sa 28.10.2006 | | Autor: | Zwerglein |
Hi, Hellfreezer,
> in meinem bsp steht [mm]v_1[/mm] senkrecht auf [mm]v_2[/mm] und [mm]v_3,[/mm] das
> wars...
>
> [mm]v_1*v_2=0[/mm]
> [mm]v_1*v_3=0[/mm]
>
> [mm]v_2*v_1=0[/mm]
> [mm]v_2*v_3=2[/mm]
>
> [mm]v_3*v_1=-1[/mm]
> [mm]v_3*v_2=2[/mm]
>
> in dem skripten-bsp sind von den drei vektoren nur der
> erste vektor mit dem dritten senkrecht zueinander....
>
> meine frage: dient das gram-schmidt´sche
> orthogonalisierungsverfahren nicht dazu, aus den nicht
> orthogonalen vektoren ein orthogonalsystem zu machen?
Sicher!
Und genau das ist doch in der Aufgabe verlangt:
ein Orthonormalsystem herzustellen, ob mit Gram-Schmidt oder sonst wie.
Aber am Ende musst Du 3 Vektoren dastehen haben, die PAARWEISE AUFEINANDER SENKRECHT STEHEN.
Und die sehe ich bei Deiner Lösung nicht!
mfG!
Zwerglein
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also wenn ich im mathcad die ausgerechneten vektoren [mm] y_1 y_2 [/mm] und [mm] y_3 [/mm] paarweise miteinander multipliziere (alle möglichkeiten) kommt immer 0 raus -also orthogonal...
hab ich icht verechnet, oder du zwerglein?
DANKE für eure anteilnahme
schönen sonntag noch!
mfg
freezer
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Hi, freezer,
dann schreiben wir halt mal [mm] y_{2} \circ y_{3} [/mm] (ohne die Konstanten) hin:
[mm] \vektor{1 \\ -1 \\ 1 \\ 1} \circ \vektor{-2 \\ 2 \\ 2 \\ 1}
[/mm]
= -2 - 2 + 2 + 1 = -1; aber nicht =0.
Oder stimmen die Vektoren nicht?
(Wie kommst Du eigentlich auf die [mm] \wurzel{18}?) [/mm]
mfG!
Zwerglein
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oh
sh..
tut mir leid hab mich vertippt
[mm] y_3=\bruch{1}{\wurzel{18}}*\vektor{-2\\ 2\\3\\1}
[/mm]
wie ich zu den [mm] \wurzel{18} [/mm] komm kannst du dir im anhang anschauen (bitte um verständnis, dass ist mir zuviel arbeit das abzutippen)
mfg
freezer
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:30 So 29.10.2006 | | Autor: | Zwerglein |
Hi, freezer,
naja: Nun ist natürlich alles klar!
mfG!
Zwerglein
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