Basis, n-dim. K-Vektorraum V < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:51 Mi 18.11.2009 | | Autor: | Knuff |
| Aufgabe | | Es sei [mm] \{b_{1},..., b_{n}\} [/mm] eine Basis des n-dinemsionalen K-Vektorraumes V. Welche x [mm] \in [/mm] V haben die Eigenschaft, dass [mm] \{b_{1},..., b_{n}, x\}\backslash \{b_{i}\} [/mm] für alle i = 1,...,n eine Basis von V ist? |
Hallo alle zusammen.
ich komme bei der Aufgabe einfach nicht weiter bzw. finde keinen richtigen Anfang.
Ich weiß, dass ich mir überlegen muss wie der Vektor x aussieht, also irgendwas mit
x = [mm] \lambda_{1}b_{1} [/mm] + [mm] \lambda_{2}b_{2} [/mm] + ...+ [mm] \lambda_{n}b_{n}, [/mm] wobei die [mm] \lambda [/mm] s ne Bedingung erfüllen müssen.
und dann muss ich ja zeigen, dass dieser Vektor x existiert, und dass es nur den geben kann, also die Eindeutigkeit.
Aber wie ich das jetzt genau anstellen soll, weiß ich nicht..
Kann mir vielleicht wer nen Tip geben, wie ich anfangen kann?
Knuff
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
bevor ich versuche eine Aufgabe zu lösen mache ich mir immer klar, welche Vorraussachen ich habe, also womit ich arbeiten kann.
In diesem Fall ist das $ [mm] \{b_{1},..., b_{n}\} [/mm] $ ist eine Basis und x [mm] \in [/mm] V.
Was folgt daraus?
Das bedeutet, dass sich x als Linearkombination von $ [mm] \{b_{1},..., b_{n}\} [/mm] $ darstellen lässt, bzw. es existieren [mm] \lambda_1,...\lambda_n [/mm] mit
x = $ [mm] \lambda_{1}b_{1} [/mm] $ + $ [mm] \lambda_{2}b_{2} [/mm] $ + ...+ $ [mm] \lambda_{n}b_{n}, [/mm] $
Das hast du also schon richtig erkannt.
Jetzt überlege ich mir immer, wohin ich will, also was ich brauche. In diesem Fall ist benötigt, dass $ [mm] \{b_{1},..., b_{n}, x\}\backslash \{b_{i}\} [/mm] $ ein Erzeugendensystem von V ist. Das $ [mm] \{b_{1},..., b_{n}, x\}\backslash \{b_{i}\} [/mm] $ sogar eine Basis ist ergibt sich sofort aus der Dimension.
D. h. zu zeigen ist v [mm] \in [/mm] Spann($ [mm] \{b_{1},..., b_{n}\} [/mm] $) [mm] \gdw [/mm] v [mm] \in [/mm] Spann($ [mm] \{b_{1},..., b_{n}, x\}\backslash \{b_{i}\} [/mm] $)
wir beginnen:
Sei also v [mm] \in [/mm] Spann($ [mm] \{b_{1},..., b_{n}, x\}\backslash \{b_{i}\} [/mm] $)
[mm] \Rightarrow [/mm] es existieren [mm] \mu_1,...\mu_n [/mm] mit
[mm] v=\mu_1b_1+...+\mu_(i-1) b_(i-1)+\mu_ib_i+1+...+\mu_(n-1)b_n+\mu_nx
[/mm]
(i-1 bzw n-1 hier im Indize)
Nun setze für x $ [mm] \lambda_{1}b_{1} [/mm] $ + $ [mm] \lambda_{2}b_{2} [/mm] $ + ...+ $ [mm] \lambda_{n}b_{n}, [/mm] $ ein, möglich da x = $ [mm] \lambda_{1}b_{1} [/mm] $ + $ [mm] \lambda_{2}b_{2} [/mm] $ + ...+ $ [mm] \lambda_{n}b_{n}, [/mm] $ (siehe oben)
und forme die rechte seite so um, bis ersichtlich ist dass sie aus Spann($ [mm] \{b_{1},..., b_{n}\} [/mm] $) ist.
Ich hoffe du bekommst das hin,
viele Grüße Reticella
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:33 Mi 18.11.2009 | | Autor: | Knuff |
Vielen Dank für den Tip, Reticella!
Ich schau mal, wie weit ich komme.
liebe Grüße, Knuff
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| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:39 Do 19.11.2009 | | Autor: | Knuff |
...
> wir beginnen:
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> Sei also v [mm]\in[/mm] Spann([mm] \{b_{1},..., b_{n}, x\}\backslash \{b_{i}\} [/mm])
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] es existieren [mm]\mu_1,...\mu_n[/mm] mit
>
> [mm]v=\mu_1b_1+...+\mu_(i-1) b_(i-1)+\mu_ib_i+1+...+\mu_(n-1)b_n+\mu_nx[/mm]
>
> (i-1 bzw n-1 hier im Indize)
>
>
> Nun setze für x [mm]\lambda_{1}b_{1}[/mm] + [mm]\lambda_{2}b_{2}[/mm] +
> ...+ [mm]\lambda_{n}b_{n},[/mm] ein, möglich da x =
> [mm]\lambda_{1}b_{1}[/mm] + [mm]\lambda_{2}b_{2}[/mm] + ...+
> [mm]\lambda_{n}b_{n},[/mm] (siehe oben)
>
> und forme die rechte seite so um, bis ersichtlich ist dass
> sie aus Spann([mm] \{b_{1},..., b_{n}\} [/mm]) ist.
>
> Ich hoffe du bekommst das hin,
>
> viele Grüße Reticella
>
Hallo!
ich habe jetzt [mm]\lambda_{1}b_{1}[/mm] +[mm]\lambda_{2}b_{2}[/mm] +...+ [mm]\lambda_{n}b_{n}[/mm] für x in die Gleichung
[mm]v=\mu_1b_1+...+\mu_{i-1} b_{i-1}+\mu_{i}b_{i}+1+...+\mu_{n-1}b_{n}+\mu_{n}x[/mm] eingesetzt.
dann bekomme ich
[mm] v=\mu_1b_1+...+\mu_{i-1} b_{i-1}+\mu_{i}b_{i}+1+...+\mu_{n-1}b_{n}+\mu_{n}* [/mm] ([mm]\lambda_{1}b_{1}[/mm] +[mm]\lambda_{2}b_{2}[/mm] +...+ [mm]\lambda_{n}b_{n}[/mm])
wenn ich das jetzt ausmultipliziere und dann [mm] b_{1} [/mm] bis [mm] b_{n} [/mm] ausklammer, erhalte ich:
v = [mm] b_{1} (\mu_{1}+\mu_{n}\lamda_{1})+b_{2} (\mu_{2}+\mu_{n}\lamba_{2})+...+b_{n} (\mu_{n-1}+\mu_{n}\lamba_{n})+1
[/mm]
oder hab ich mich vertan? kann man daraus schon sehen, dass
v [mm] \in Spann(\{b_{1},...,b_{n}\}) [/mm] ist?
liebe Grüße, Knuff
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:20 Do 19.11.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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