Basis mit GJA < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:08 So 14.01.2007 | | Autor: | BWLDino |
| Aufgabe | Bestimmen Sie eine Basis der Lösungsmenge des homogenen Gleichungssystems mit dem Gauß-Jordan-Algorithmus! Geben Sie zwei weitere Basen an!
[mm] \pmat{ 2 & 0 & \wurzel{7} & 0 & 5 \\ 3 & 0 & 0 & 0 & 3 \\ 5 & 0 & 0 & 0 & 2 }*\vec{x}=\vektor{0 \\ 0 \\ 0} [/mm] |
So, wenn ich das mit dem GJA ausrechen bekomme ich als Endschema:
-18 0 0 0 0
0 0 0 0 -9
0 0 [mm] -18*\wurzel{7} [/mm] 0 0
Ausgezeichnet wurden die drei Elemente, die jetzt noch [mm] \not= [/mm] 0 sind
Aber wie muss ich das Endschema jetzt interpretieren das ich zunächst auf eine Basis komme und dann noch zwei weitere finden kann?
MfG Dino
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:47 So 14.01.2007 | | Autor: | DaMenge |
Hallo,
> So, wenn ich das mit dem GJA ausrechen bekomme ich als
> Endschema:
> -18 0 0 0 0
> 0 0 0 0 -9
> 0 0 [mm]-18*\wurzel{7}[/mm] 0 0
>
Also ich hab das jetzt NICHT nachgerechnet, aber du musst ja schon Zeilenstufenform erreichen - dies bedeutet hier also noch eine Vertauschung der Zeilen (was die reihenfolge der Variablen aber nicht aendert), also als Matrix geschrieben:
[mm] $\pmat{-18&0&0&0&0\\0&0&-18*\wurzel{7}&0&0\\0&0&0&0&-9}*\vektor{x_1\\x_2\\x_3\\x_4\\x_5}=\vektor{0\\0\\0}$
[/mm]
du siehst also, dass nur [mm] $x_1=x_3=x_5=0$ [/mm] eindeutig festgelegt sind, also waere ein allgemeiner Loesungsvektor doch: (s und t beliebig:)
[mm] $\vektor{0\\s\\0\\t\\0}=s*\vektor{0\\1\\0\\0\\0}+t*\vektor{0\\0\\0\\1\\0}$
[/mm]
und hieran siehst du schon zwei linear unabhaengige Vektoren, die den Loesungsraum erzeugen...
jetzt such dir noch zwei andere Basen, die denselben raum erzeugen...
viele Gruesse
DaMenge
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:59 So 14.01.2007 | | Autor: | BWLDino |
Vielen Dank für die schnelle Antwort...
wie kann ich daraus jetzt zwei weiter Basen erzeugen?
Einfach statt der 1 eine andere Zahl einsetzen? Also so:
[mm] s*\vektor{0 \\ 5 \\ 0 \\ 0 \\ 0}+t*\vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 5 \\ 0} [/mm] und [mm] s*\vektor{0 \\ 8 \\ 0 \\ 0 \\ 0}+t*\vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 8 \\ 0} [/mm] ??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:02 So 14.01.2007 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
ja das waeren zwei weitere Basen, aber ein wenig langweilige
eine weitere waere doch auch :
$ [mm] s'\cdot{}\vektor{0 \\ 2 \\ 0 \\ 1 \\ 0}+t'\cdot{}\vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0} [/mm] $
und sowas eben...
viele Gruesse
DaMenge
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